θ

°C

θ

°C

θу

θу

θн

θн

а)

б)

0

τ

0

τ

с

с

н

0

И

cγVdt + kT Sохл(t − tс)dτ = 0,

что соответствует уравнению

dθ

+αθ = 0

, общее решение которого (4.19а),

dτ

Дн

то есть θ(τ) = c0e−ατ

= c0e−τ / T .

Используя начальное условие θ(0) =θн,

получим, что

= c

А

проводника

температура

θ

. Поэтому

при

остывании

перегрева будет изменяться по закону

б

e−τ / T ,

θ(τ) =θ

график которого представлен на рис. 4.5,б.

и

Вопросы для самоконтроля и задания

1. Что

такое

установ вшаяся температура перегрева? Как она

С

вычисляется?

2.

Что такое постоянная времени нагрева? Как она вычисляется?

3.

Напишите

окончательную

формулу

изменения

температуры

перегрева по времени в продолжительном режиме работы

электрического аппарата.

4. Напишите дифференциальное уравнение энергетического баланса

для процесса охлаждения электрического аппарата, когда он

отключён от источника питания.

5.

Каким законом описывается этот процесс охлаждения?

При одних и тех же мощностях для продолжительного и повторно-

кратковременного режима (PПР = PПК ) максимальная температура аппарата

при повторно-кратковременном режиме

tПК =θПК + tн меньше, чем при

продолжительном – tу =θу + tн <t ПК (рис. 4.6,б).

P

Вт

а)

PД

τ р τП τ р τП τ р τП

τ р τП τ р

τ

0

с

θ

°C

б)

θу

И

θПК

Д

0

А

τ, с

Р

с. 4.6. Граф к нагрузки (а); кривые нагрева (б)

б

Для

установ вшегося

квазистационарного

режима справедлива

формула Ньютона

и

P = kТ Sохлθ .

Поэтому при равенстве коэффициентов теплоотдачи и охлаждающих

С

поверхностей для продолжительного и повторно-кратковременного режимов

с учётом (4.24) при условии,

что начальный перегрев θ(0) =θн = 0 , будет

иметь место соотношение

τ р +τ

−

П

= PПР =

θПР = 1

− e

T

k p

.

(4.26)

−τ р

PПК

θПК

1− e

k p

T

Здесь

отношение

называется

коэффициентом

перегрузки

по

мощности. Он показывает, во сколько раз можно увеличить мощность

источников теплоты электрического аппарата, если перейти от

продолжительного режима его работы к повторно-кратковременному.

Поскольку

при прочих равных условиях мощность источников

теплоты пропорциональна

квадрату

тока

( P ~ I 2R ),

то можно ввести

коэффициент перегрузки по току kI =

.

k p

Если

τ р +

τП

≤ 0,1 ,

то тем

более

τ р < 0,1T .

Воспользовавшись

T

формулой разложения экспоненты в степенной ряд (ex =1 + x +

x2

+

x3

+...),

2!

3!

−

τ р +τ П

τ

р

+

τ

τ

р

+τ

П

T

1− e

П

≈1− 1

−

=

,

T

T

−

τ р

τ р

τ р

1− e

T

≈1

=

.

− 1−

T

T

Тогда выражение коэффициента перегрузки по мощности примет более

простой вид

τ р +τП

k p =

.

(4.27)

τ

р

И

Погрешность этой формулы не превысит 5 %.

Часто

в расчётах используетсяД

понятие «относительная

продолжительность включения». Эту величину определяют как

А

ПВ% =

τ

р

100 %.

(4.27а)

τ р +τП

б

Тогда выражен е

коэффициента перегрузки по мощности можно

и

представить через ПВ% как

С

k p =

100

.

(4.27б)

ПВ%

Вопросы для самоконтроля и задания

Однако для токоведущих частей из разных материалов существуют и

И

разные ограничения допустимым температурам их нагрева:

– в неизолированных токовых частях из меди эта температура не

должна превышать 300 °С;

Д

– в неизолированных алюминиевых токовых частях – 200 °С;

– в токоведущих частях (не из алюминия), которые соприкасаются с

А

При коротком замыкании режим нагрева будет адиабатным, так как

и

dτ

материал за столь короткое время успеет отдать в окружающую среду лишь

незначительное кол чество теплоты, которым в расчётах можно пренебречь.

С

Тогда из уравнен я энергетбческого баланса (4.18) получим

I 2Rdτ = cmdt

или

J 2ρ = cγ

dt

,

(4.28)

I

где J =

−

плотность тока,

А

;

ρ − удельное

сопротивление

материала,

S

l

м2

Ом·м;

R = ρ

− электрическое

сопротивление

токоведущей

части,

Ом;

γ = m

S

− плотность материала,

кг

;

c − теплоёмкость материала,

Дж

; t −

V

м3

кг К

температура

токоведущей

части,

°С;

l,S,m,V − длина,

м;

площадь

температуры

ρ(t) = ρ0 (1 +αt) , где α − термический коэффициент

сопротивления,

1

;

ρ0 − удельное электрическое сопротивление при

К

коэффициент теплоёмкости,

1

.

К

Тогда из (4.28) получим уравнение

dt

=

J 2ρ0 (1 +αt)

.

(4.29)

dτ

γc0 (1 + βt)

Полагая J = const, проинтегрируем уравнение (4.29) при начальном

условии t(0) =0 °С. Получим

2

t

γc0 (1 + βt)

γc0

t

dt

β t

αt

γc0

1

β

βt

J τ = ∫

dt =

∫

+

∫

=

−

ln(1

+αt) +

.

ρ

(1 +

αt)

ρ

1 +αt

α

1

+αt

И

α2

α

0

0

0

0

0

0

Откуда

Д

2

γc0

α

− β

βt

(4.30)

J τ

=

ρ

ln(1 +αt) +

α

.

0

α2

А

Уравнение (4.30) задаёт трансцендентную функцию температуры от

переменной

J 2τ

в

неявном

виде.

График этой

функции

t = t(J 2τ)

представлен на рис. 4.7.

б

и

t

°С

С

tк

tн

J 2τ

J 2τн

0

J

2

А2

Рис.4.7. Кривая адиабатного нагрева

τ,

м4 с

Величина

J 2τ

А2

,

измеряемая

в

единицах

м4 с ,

называется

абсцисс от значения

J 2τн

откладывают

отрезок

J 2τ и

по

кривой

адиабатного нагрева находят конечную температуру tк.

J = const,

что

имеет

Уравнение (4.30)

было

получено при

условии

τ

2

2

(4.31)

∫ J

dτ = J yτф,

o

И

где J y −установившееся значение плотности тока короткого замыкания.

Д

А

– это время,

Таким образом, фиктивное время короткого замыкания τф

Фиктивное время короткого замыкания может быть как больше, так и

б

меньше действительного. Его можно определить из справочной литературы

по кривым

и

′′

τф = f (β ) ,

где β′′ =

iП

;

iП − пиковое значение тока короткого замыкания;

I Д −

2I

С

Д

термической стойкости. При этом

I 2

= 5I 2

=10I 2 .

1

5

10

При расчётной продолжительности

короткого замыкания до одной

Вопросы для самоконтроля и задания

1.

Что называется термической стойкостью электрических аппаратов?

2.

Напишите дифференциальное уравнение энергетического баланса

3.

для режима короткого замыкания.

И

Что называется квадратичным импульсом плотности тока?

4.

Каков характер зависимости температуры электрического аппарата

при работе в режиме короткого замыкания от квадратичного

импульса плотности тока?

5.

Что представляют собой кривые адиабатного нагрева?

6.

Где используется уравнение J2τ =

γc

0

α −β

βt

?

ln(1 + αt) +

α2

Дρ0

α

I

А

θ °С

θmax

I1

θ′y

θ = f (τ)

θmin

I2

A

B

C

D

θ′у′

0 τ1 τ2 τ1 τ2 τ1 τ2 τ1 τ2 τ1 τ2 τ1 τ2 τ1 τ2

τ, с

В установившемся режиме температура перегрева

θ будет иметь

максимум

И

θmax и минимум

θн =θmin . Если по аппарату продолжительно

пропускать ток I1, то установившаяся температура перегрева будет равна θ′y ,

а при длительном пропускании тока

Д

I2 установится температура перегрева

θ′у′. В таком установившемся режиме температура перегрева будет меняться

по некоторой ломаной кривой

Аτ

τ

θ = f (τ)

(см. рис. 4.8).

На участке D в течение времени τ1

по проводнику проходит ток I1, а

б

начальная температура перегрева

здесь

θн =θmin . Тогда

согласно (4.24)

можно записать

и

−

1

−

1

θmax =θ′у

1 − e

T

+θmine

T .

(4.32)

её к участку C, на котором в течение времени τ2

по проводнику проходит

ток I2

С

−

τ2

−

τ2

T

+ θmaxe

T .

(4.33)

θmin = θ′′у 1− e

−

τ1

−

τ1

−

τ1

+τ2

− e

θ′у 1− e

T

+ θ′′у e T

T

θmax =

.

(4.34)

1

− e

−

τ1 +τ2

T

86

I

2R

I

2R

Из (4.21) следует, что θ′у

=

1

и θ

′у′

=

2

. Тогда

k

k

T

S

охл

S

охл

T

−

τ1

−

τ1

−

τ1 +τ2

I

2 1

− e

T

+ I

2 e

T − e

T

R

1

2

θmax =

×

.

(4.35)

kTSохл

1− e

−

τ1 +τ2

T

нашем случае θmax =

Iэкв2R

. Для перемежающегося режима эквивалентный

kT Sохл

ток будет вычисляться по формуле

τ1

τ1

τ1 +τ2

I 2 1 − e−

+

2

e−

− e−

T

I

T

T

2

1

Д

2