4.14. Влияние переходного сопротивления контактов на нагрев проводников
Для цилиндрических проводников с контактным α-пятном, расположенным на оси проводника, зона стягивания практически ограничена плоскостями, отстоящими на три четверти диаметра проводника от плоскости контакта. Охлаждающая поверхность в зоне стягивания невелика, и можно считать, что в этой зоне теплота распространяется лишь за счёт теплопроводности материала симметрично по обе стороны от плоскости
контакта с интенсивностью p1 = p2 = 12 I 2Rк. А на достаточном удалении от
зоны стягивания, наоборот, можно будет пренебречь теплообменом за счёт теплопроводности и рассматривать только процесс теплоотдачи теплоты с поверхности проводника, по которой распределено статическое температурное поле.
Дифференциальное уравнение, описывающее превышение температуры (перегрев) поверхности проводника, в данном случае будет
иметь вид |
|
|
|
Вт |
|
Д |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
j2ρ = −λ d 2θ + k |
П |
θ, |
|
|
|
|
|
(4.59) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
T |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где ρ − |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
удельное электрическое сопротивлениеИматериала контакт-детали, |
||||||||||||||||||||||
Ом·м; |
j − |
плотность |
тока, |
|
/м2; |
λ − |
коэффициент |
теплопроводности |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
превышение |
температуры |
|
||||||||
материала |
контакт-детали, |
|
м |
K |
; θ |
= t − tc − |
t |
|||||||||||||||
поверхности проводника |
над |
температурой |
окружающей |
среды |
tc , |
°С; |
||||||||||||||||
S = |
πd 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x −координата, по |
||||||
|
|
− площадь поперечного сечения проводника, м ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П =πd − |
|
которой |
отсчитывается |
расстояние |
от контактной плоскости, м; |
|||||||||||||||||||
периметр поперечногоисечения проводника, м; d − диаметр поперечного |
||||||||||||||||||||||
сечения проводника, м; |
k |
−коэффициент такой теплоотдачи , |
Вт |
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м2К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными |
|||||||||||||||||||||
коэффициентами, которое преобразуется к виду |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d 2θ |
− p |
2θ + |
|
j2ρ |
|
= 0, |
|
|
|
|
(4.60) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
λ |
|
|
|
|
||||||||
где p = 
kλTSП − коэффициент, который можно принять постоянным, м-1.
При x → ∞ величина |
d 2θ |
→ 0, и из (4.60) следует, что перегрев |
|
dx2 |
|
поверхности проводника на достаточно большом расстоянии от контактной плоскости будет равен
97
θп = |
j2 |
ρ |
= |
|
j |
2ρ S |
. |
(4.61) |
||
p2λ |
|
|
kT П |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Интегрируя уравнение (4.60), получим распределение перегрева по |
||||||||||
длине проводника |
|
|
|
2R |
|
|
|
|
|
|
θ(x) = e− px |
|
I |
к |
|
+θп. |
(4.62) |
||||
|
2 pλS |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Из (4.62) следует, что влиянием переходного сопротивления контактов |
||||||||||
Rк можно пренебречь лишь на достаточном удалении от контактной |
||||||||||
площадки. Это удаление должно соответствовать |
x ≥ 5/ p . При этом |
|||||||||
e−5 < 0,007 ≈ 0, и θ(5/ x) ≈θп.
В зоне контакта ( x = 0 ) перегрев будет наибольшим и его значение согласно (4.62) составит
1.В каких границах от контактнойДИплоскости заключена зона стягивания для проводника круглого сечения с α-пятном, расположенным на осиАпроводника?
2.Напишите дифференциальное уравнение теплового баланса и определите, какиебвеличины в нём не зависят от координаты x .
3.Напишите функцию распределения температуры перегрева по длине проводникаи.
4.Чему равен перегрев поверхности проводника на достаточно2 (4.63)4.15. ТемператураСплощадки касания электрических контактов
В 1900 году Кольрауш1 доказал теорему о том, что в симметричной области стягивания все эквипотенциальные поверхности являются изотермическими.
Рассмотрим трубку тока в зоне стягивания и некоторый элемент этой трубки между двумя эквипотенциальными поверхностями. Пусть одна из этих поверхностей имеет потенциал ϕ . Тепловой поток, проходящий через
элементарный участок ds такой поверхности, есть вся мощность, выделяемая в трубке в пределах от контактной площадки с потенциалом ϕa до
эквипотенциали ϕ . Тогда согласно закону Джоуля – Ленца эта мощность
dp = (ϕ −ϕa ) jds, |
(4.64) |
где j − плотность тока, А/м2. Она определится из закона Ома: |
|
1 Фридрих Вильгельм Георг Кольрауш (Friedrich Wilhelm Georg Kohlrausch 1840 – 1910) — немецкий физик и электротехник.
98
j = |
1 |
|
dϕ |
, |
(4.65) |
ρ |
|
dn |
|||
|
|
|
|
где ρ − удельное электрическое сопротивление материала контакт-детали, Ом·м; ddnϕ = gradϕ − градиент потенциала ϕ, В/м; n − вектор нормали к
поверхности ds, м.
По закону Био – Фурье для той же площадки тепловой поток dp будет пропорционален градиенту температурного поля t :
|
|
|
|
|
|
dp = −λ |
dt |
ds, |
|
|
|
(4.66) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn |
|
|
|
|
|
Вт |
|
|
где λ − коэффициент теплопроводности |
материала контакт-детали, |
|
; |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м K |
|
|
= gradt − градиент температуры t , K /м. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Тогда из (4.64), (4.65) и (4.66) получается уравнение |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
dp = (ϕ −ϕa ) |
1 |
|
dϕ |
ds = −λ |
dt |
ds |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
dn |
|
|
|
|
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
ρ dn |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
А1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(ϕ −ϕa )dϕ = −λdt. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ϕ = 0 |
Потенциал контактной площадки можно выбрать произвольно. При |
|||||||||||||||||||
получим уравнение Хольма – Кольрауша |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
и |
|
|
ϕdϕ = −λdt. |
|
|
|
(4.67) |
||||||||||
|
|
|
С |
|
|
|
ρ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Если Uк − паден е напряжения |
на контакте, то |
потенциалы на |
|||||||||||||||
эквипотенциалях, принимаемых за границу зоны стягивания, будут по обе
стороны отличаться от |
потенциала ϕa |
на |
величину |
1Uк |
. |
С учётом |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
сказанного проинтегрируем (4.67) при условиях t(0) = ta |
|
1 |
Uк |
|
= tк |
||||
; t |
2 |
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2U к |
ta |
Uк |
2 |
ta |
|
|
|
|
|
∫ϕdϕ = ∫λρdt |
|
= ∫λρdt. |
|
|
|
|
|
||
0 |
tк |
8 |
|
tк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Величины λ и ρ зависят от температуры. Чтобы проинтегрировать
правую часть последнего уравнения, воспользуемся теоремой о среднем. Получим
|
Uк2 |
= (λρ)ср(ta − tк). |
(4.68) |
|
8 |
||||
|
|
|||
|
|
99 |
|
|
Из (4.68) следует, что превышение температуры контактной плоскости над температурой границы зоны стягивания θак = ta − tк пропорционально
квадрату падения напряжения на контакте.
Для каждого материала существуют свои падения напряжения на контактах, при которых температура контактного α-пятна достигает значений рекристаллизации t р (размягчения), плавления tпл и кипения tкип. В табл. 4.5
приведены падения напряжений для разных материалов, которым соответствуют эти температуры.
Таблица 4.5
Падения напряжений на контактах
Металл |
|
U р, |
|
В |
|
|
|
|
Uпл, |
|
В |
|
Uкип, |
В |
|
Cu – медь |
|
0,12 |
|
|
|
|
|
0,43 |
|
|
0,79 |
|
|||
Ag – серебро |
|
0,09 |
|
|
|
|
|
0,37 |
|
|
0,67 |
|
|||
Pt – платина |
|
0,25 |
|
|
|
|
|
0,65 |
|
|
1,50 |
|
|||
W – вольфрам |
|
0,40 |
|
|
|
|
|
1,10 |
|
|
2,10 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
||
Au – золото |
|
0,08 |
|
|
|
|
|
0,43 |
|
|
0,90 |
|
|||
На температурном |
интервале, |
где упругие свойства материала |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Д3 |
|
|
|
|
|
||||
изменяются не сильно, переходное сопротивление контакта Rк |
этого |
||||||||||||||
материала при заданной |
силе сжатия зависит только от температуры. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
р |
|
|
||||
Приближённо такая зависимость задаётся следующей формулой: |
|
||||||||||||||
|
|
R |
(t |
a |
) ≈ R |
(t |
к |
)[1 + |
2αθ |
aк |
]. |
|
|
|
|
|
|
к |
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Эта функция монотонно возрастает. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
размягчения U |
|
упругие свойства |
||||||
При достижении |
напряжения |
|
|
|
|||||||||||
металла в |
зоне α-пятна резко изменяются (металл размягчается), и под |
действием |
силы нажат бя площадь α-пятна увеличивается, резко снижая |
сопротивление Rк (р с.4.12). |
|
|
Rк |
|
С |
U р |
Uпл |
Uк |
Рис. 4.12. Зависимость переходного сопротивления от падения напряжения на контакте
Напряжение размягчения учитывается для нормирования контактов малой мощности. Для них допустимое падение напряжения не должно превосходить (0,5 0,8)U р.
100