1873

а2 < 0, что означает, что изображение «мнимое», в отличие от предыдущего

– «действительного». В первом случае изображение есть действительное – точка пересечения преломленных лучей, во втором преломленные лучи, идущие во второй среде, остаются расходящимися и не образуют реального пересечения. Точка изображения получается продолжением этих лучей в первой среде и называется мнимой.

Так же можно получить формулу сферического зеркала, приняв n1=-n2. Тогда

1 1 2 . a1 a2 R

1.4. Тонкая линза. Формула тонкой линзы

Оптические линзы представляют собой тела из прозрачного вещества (стекла, прозрачные кристаллы, пластмассы и т.д.). Линза называется тонкой, если обе ее вершины можно считать совпадающими, т.е. если толщина линзы мала по сравнению с R1 и R2, радиусами кривизны ограничивающих поверхностей (рис. 1.7).

В дальнейшем будем полагать, что точки пересечения образующих линзы с осью О1О2 сливаются, обозначим их буквой О. Точка О носит название оптического центра линзы. Любой луч, проходящий через т. О, практически не испытывает преломления. Луч, проходящий через оптический центр, называется осью линзы, а та из осей линзы, которая проходит еще и через центры обеих поверхностей, называется главной, остальные – побочными. ОО1 = R1; ОО2 = R2 – радиусы кривизны сферических поверхностей. Лучи, параллельные главной оптической оси, после прохождения линзы пересекаются в точке, которая называется фокусом линзы F. У линзы два фокуса: первый (передний) F1 и второй (задний) F2.

Расстояние от линзы до фокуса есть фокусное расстояние тонкой линзы, т.е. OF1=f1, а OF2=f2. Если линза помещена так, что по обе стороны ее располагается одинаковая среда (n1 = n2), то фокусные расстояния линзы

12

мером может служить хрусталик глаза). Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно к главной оптической оси, называется фокальной плоскостью. Любой луч, идущий параллельно побочной оси (ОА), пересекается в соответствующей точке А фокальной плоскости. Формула тонкой линзы:

где а1 – расстояние от предмета до линзы, считая по главной оптической оси; а2 – расстояние от линзы до изображения, считая также по главной оптической оси. n21= nл/nср – относительный показатель преломления; nл – абсолютный показатель преломления линзы; nср – абсолютный показатель преломления среды.

Величина D = 1/f называется оптической силой линзы и измеряется в диоптриях. 1дптр=1/м.

Это общая формула линзы – для выпуклых и вогнутых линз при любом расположении источника. Нужно только принять во внимание знаки расстояний, считая их положительными, если они отложены вправо от оптического центра линзы, и отрицательными, если они отложены влево от оптического центра линзы.

В зависимости от знака a1, a2, R1, R2, а также от знака (n21 – 1), величина f может быть положительной либо отрицательной, т.е. фокус может быть мнимым или действительным. Если фокусы действительны, т.е. параллельные лучи после преломления в линзе сходятся, то линзы называются собирающими. При мнимых фокусах параллельные лучи после преломления в линзе становятся расходящимися, поэтому такие линзы называются рассеивающими. Если материал тонкой линзы оптически более плотный, чем окружающая среда, то собирающими линзами будут двояковыпуклые, плосковыпуклые и вогнуто-выпуклые, т.е. линзы, утолщающиеся к середине; к рассеивающим линзам принадлежат двояковогнутые, плосковогнутые и выпукло-вогнутые, т.е. утончающиеся к середине. Если материал тонкой линзы – оптически менее плотная среда, то ситуация меняется на противоположную.

На рис.1.8, а, б, в, г, д, е показаны различные типы собирающих и рассеивающих линз: а) двояковыпуклая; б) плосковыпуклая; в) выпукловогнутая; г)двояковогнутая; д)плосковогнутая; е) вогнуто-выпуклая. К собирающим линзам относятся типы а, б, в, к рассеивающим – г, д, е. У первых середина линзы толще, чем края, у вторых края толще, чем середина. При пользовании формулой линзы и построении на ее основе изображений необходимо иметь в виду, что вход световых лучей в линзу должен проис-

13

ходить слева от линзы, т.е. все предметы при построении их изображений обязательно должны располагаться в левой половине пространства от линзы. В свою очередь, изображения получаются действительными в правой от линзы половине пространства и мнимыми – в левой (приложения к этой главе). Оба фокуса у собирающих линз действительные, а у рассеивающих линз оба фокуса мнимые.

Рис. 1.8. Типы линз. Здесь r – радиусы; С – центры кривизны линзы

1.5. Аберрации оптических систем

Рассматривая образование изображений протяженных объектов в линзах, мы предполагаем, что изображение образуется узкими световыми пучками и они падают на линзу под небольшими углами к ее главной оптической оси. И то, и другое предположения практически в линзах не выполняются. Для получения больших освещенностей приходится пользоваться широкими световыми пучками, т.е. применять линзы большого диаметра.

14

Второе предположение также не выполняется во всех тех случаях, когда прибор должен дать изображение точек, значительно удаленных от его главной оптической оси, например в фотоаппаратах. Отказываясь от этих ограничений, мы ухудшаем оптическое изображение: изображение оказывается не вполне резким, расплывчатым; мелкие детали смазываются и становятся неразличимыми. Кроме того, иногда теряется точное подобие между предметом и его изображением, возникают искажения изображений, называемые аберрациями. Теория аберраций очень сложна. Поэтому мы рассмотрим здесь лишь физические представления, определяющие их сущность. Существует несколько видов аберрации: сферическая, хроматическая, астигматизм, дисторсия и др.

Сферическая аберрация, астигматизм и дисторсия возникают даже в том случае, если на линзу падают монохроматические лучи. Поэтому эти аберрации называют монохроматическими.

Сферическая аберрация

Сферическая аберрация заключается в том, что световые лучи, выходящие из точки А на оптической оси и падающие на преломляющую поверхность под разными углами, преломляются под разными углами. Лучи, падающие на линзу под большими углами, преломляются сильнее. Благодаря этому вместо одного изображения А получается бесконечное количество изображений от Аr до А0 (рис.1.9).

A0

A

Ar'

Рис. 1.9. Поперечная сферическая аберрация

Если в любой точке из совокупности изображений поместить экран, то вместо точки получим пятно. Это поперечная сферическая аберрация.

Если на линзу направить параллельный пучок света (рис.1.10), то лучи, более удаленные от её оси, пересекутся в т. fr (ближе к линзе), а лучи, которые ближе расположены к главной оптической оси, пересекутся в т. f (дальше от линзы). Это продольная сферическая аберрация.

15

f '

A

fr'

Рис. 1.10. Продольная сферическая аберрация

Сферическая аберрация может быть устранена 2-мя способами: 1) уменьшением ширины пучка с помощью диафрагмы (но при этом уменьшается светосила линзы); 2) сочетанием собирающих и рассеивающих линз. У собирающих линз крайние лучи собираются ближе к центру, у рассеивающих – наоборот.

Кома – аберрация, родственная сферической. Если через линзу проходит широкий пучок лучей, но от точки, расположенной на побочной оси, то получаемое изображение будет в виде освещенного пятнышка, напоминающего кометный хвост. Устранение комы проводят примерно так же, как и сферической аберрации.

Астигматизм

Эта погрешность оптических систем проявляется в тех случаях, когда желают получить изображение точки, находящейся на значительном расстоянии от главной оптической оси, точнее, при использовании световых пучков, составляющих значительный угол с главной осью

= 30 – 40о (рис.1.11).

Главная оптическая ось

Рис.1.11. Астигматизм

Если медленно передвигать экран относительно линзы, то найдем, что имеются два положения экрана I и II на рис.1.11, в которых изображение довольно резкое. Однако изображение в указанных двух положениях экрана имеет вид не точки, а отрезка прямой. Направление отрезка в положении I перпендикулярно к направлению отрезка в положении II. Во всех остальных положениях экрана изображение расплывчатое, овальное. Это и

16

есть та погрешность линзы, которая носит название астигматизма. Астигматизм исправляется подбором радиусов кривизны преломляющих поверхностей и их фокусных расстояний.

Дисторсия

Этот вид аберрации характерен тем, что увеличение в оптической системе непостоянно. Хотя изображение будет резким, но непостоянство увеличения приводит к тому, что прямые линии становятся искривленными.

Поэтому, например, прямоугольная сетка изображается сеткой с кривыми линиями. Если увеличение растет с удалением от оптической оси, то изображение прямоугольной сетки (а) превращается в “подушку” (б). Если же увеличение падает с удалением от оптической оси, то изображение прямоугольной сетки превращается в “бочонок” (в) (рис.1.12).

Рис. 1.12. Дисторсия

Хроматическая аберрация

Если освещение линзы производить немонохроматическим светом, то в результате неодинаковости показателя преломления для различных длин волн изображение, даваемое линзой, оказывается размытым и по краям окрашенным, т.к., из формулы линзы, фокусное расстояние зависит от показателя преломления, и свет с раз-

17

различных сортов стекла (флинты – тяжелые, с большим n; кроны – легкие, с малым n), добиваются совмещения фокусов 2-х (ахроматы) или 3-х (апохроматы) различных цветов, устраняя тем самым хроматическую аберрацию.

И это еще не все существующие погрешности оптических систем. Для исправления всех этих недостатков строят сложные оптические системы, состоящие из наборов собирающих и рассеивающих линз, используют диафрагмы, которые необходимы еще из ряда соображений. Современный окуляр, а особенно объектив современного оптического прибора, – весьма сложная, а потому и дорогая, конструкция.

1.6. Лупа. Оптическое строение глаза

Основными оптическими элементами глаза являются роговица и хрусталик, играющие роль собирательной линзы переменной оптической силы, и сетчатка, как воспринимающий изображение экран, на который оно проецируется. Хотя глаз не представляет собой тонкую линзу, но в нем можно найти точку О (рис.1.14), играющую роль оптического центра системы. Она расположена внутри хрусталика, вблизи его задней поверхности на расстоянии h = 15 мм от сетчатки (h – глубина глаза). Изображение на сетчатке действительное, уменьшенное и перевернутое (обратное). Угол i, под которым виден предмет SS1 из оптического центра глаза О, называется углом зрения. Сетчатка, как известно, состоит из светочувствительных клеток – колбочек и палочек. Если лучи от 2-х точек предмета (S и S1) попадают на одну клетку, то глаз воспринимает предмет как точку. Этим определяется предел разрешения глаза. Нормальный глаз плохо распознает детали предмета, которые он видит под углом i<1 .

O P

i i1

P1

D

h

Рис.1.14. Оптическая система глаза

Это угол, под которым виден отрезок длиной 1 см на расстоянии 34 м от глаза. При плохом освещении φmin может дойти до 1 . Приближая предмет к глазу, мы увеличиваем угол i и, следовательно, получаем возможность

18

лучше видеть детали. Однако очень близко к глазу мы поднести предмет не можем, так как способность глаза к аккомодации ограничена. Для нормального глаза расстояние D, при котором глаз хорошо различает детали без чрезмерного утомления, равно примерно 250 мм. Это расстояние назы-

вается расстоянием наилучшего зрения.

Значительное увеличение угла зрения достигается использованием оптических приборов. Их можно разделить на 2 группы:

1.Приборы, служащие для рассматривания очень мелких предметов (лупа, микроскоп). Они увеличивают предметы.

2.Приборы для рассматривания удаленных объектов (зрительная труба, бинокль, телескоп). Они приближают предметы.

Благодаря их использованию размер изображения на сетчатке возрастает по сравнению с невооруженным глазом (P1 против P). Их отношение на-

зывается увеличением оптического прибора: N P1 i1 .

P i

Простейшим оптическим прибором является лупа. Лупа – одна или несколько линз с небольшим фокусным расстоянием (от 10 до 100 мм). Лупа L помещается перед глазом (по возможности ближе к нему), а рассматриваемый предмет Р – на расстоянии, немного меньшем фокусного расстояния лупы.

Лупа создает мнимое, прямое, увеличенное изображение предмета (рис.1.15). Увеличение лупы можно получить из отношения углов зрения (см. рис.1.14) вооруженного и невооруженного глаза. Угол зрения i невооруженного глаза ≈ Р/D, где D – расстояние наилучшего зрения; Р – размер предмета. Для вооруженного глаза i1 = Р1/a2. Из рис. 1.15 ясно, что a2/a1=Р1/Р, или Р1 = a 2Р/a1. Тогда i1 = Р/a1. Отсюда для увеличения лупы находим

N i1 РD D. i a1Р a1

L

P1

O

a2 a1

Рис. 1.15. Оптическая схема действия лупы

Поскольку предмет находится возле фокуса F, а D=250мм, то N=250/f, где f – в миллиметрах.

Лупы с N>40 не применяются, так как это требует приближения лупы к глазу менее чем на 5 мм, да и линзы с такими фокусными расстояниями слишком малы.

19

Приложения к главе 1

Приложение 1.1. Построение изображений в линзах и оптических приборах

a1= OB<0; a2=OB/>0; R1>0; R2<0 (см. формулу тонкой линзы):

Таким образом, f>0 и изображение получается действительным. Помещая предметы на различных расстояниях от линзы, учитывая знаки рас-

1)a1= , тогда b=f, то есть изображение получаем в фокальной плоско-

сти;

2)a1 =f, в нашем случае a1 <0, тогда 1/a2=0 и 1/0=а2= – изображения

нет;

Построение изображения в рассеивающей линзе показано на рис.1.17. Лучи 1 и 2 после линзы идут расходящимся пучком и при наблюдении их

20

возникает иллюзия, что они вышли из точки А. Поэтому изображение получается мнимым и имеет меньший размер.

A’

O

2

Рис. 1.17. Построение изображения в рассеивающей линзе

Приложение 1.2. Оптические приборы, вооружающие глаз

Оптические системы, состоящие из линз, смонтированных определенным образом с помощью механических приспособлений, представляют собой оптические приборы. Существует огромное количество различных оптических приборов, применяемых для решения тех или иных задач практической оптики. Мы рассмотрим наиболее часто применяемые оптические приборы: микроскоп и телескоп (зрительную трубу). Оба прибора – микроскоп и телескоп – имеют объектив и окуляр. Объектив представляет собой хорошо исправленную от аберрации систему линз. Ёе назначение – давать действительное изображение предмета, рассматриваемого через оптический прибор. Окуляр также представляет исправленную от аберрации систему линз. Назначением окуляра является увеличение изображения, даваемого объективом.

Если требуемое увеличение невелико (10 – 20-кратное), а предмет, увеличенное изображение которого можно получить, находится в непосредственной близости от наблюдателя, то можно обойтись одним окуляром, который в этом случае представляет собой лупу. При рассмотрении очень мелких предметов (микропредметов) нужны значительные увеличения, которые не могут быть получены с помощью простой лупы. Для этой цели необходима сложная оптическая система, которой является микроскоп.

Микроскоп

Принципиальная оптическая схема микроскопа изображена на рис. 1.18. Короткофокусная линза L1 служит объективом, а другая короткофокусная линза L2 – окуляром. Предмет АВ помещается перед объективом на рас-

21