|
|
|
|
|
таб |
|
(18) |
|
Используя |
уравнение регрессии, можно получить предсказываемое |
|||||||
|
р) |
= ± |
|
∙ . |
|
|
||
значение результата ( |
с помощью точечного прогноза путем подстанов- |
|||||||
ки в уравнение |
|
|
соответствующего (прогнозного) значения |
|
||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
точечный прогноз на практике не реален, поэтому допол- |
|||||||
= + |
∙ |
|
|
|
|
. |
||
няется расчетом |
стандартной ошибки прогнозирования |
и интерваль- |
||||||
ной оценкой прогнозного значения.
Интервальный прогноз заключается в построении доверительного
считывается1 ( − ) |
(19) |
интервала прогноза, т.е. верхней и нижней границы интервала, содержащего точную вел ч ну для прогнозного значения р. Предварительно рас-
стандартная оши ка прогнозирования [1, 2].
тандартная ош ка прогнозирования рассчитывается по формуле |
|||||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|||
шибку |
|
|
|
|
|||||
= |
∙ |
|
|
+ |
∑( − |
) |
. |
|
|
Ошибка прогнозирования индивидуального значения результата |
|||||||||
включает не только стандартную |
|
, но и случайную ошибку S: |
|||||||
|
А1 ( − ) |
|
(20) |
||||||
= |
∙ |
1+ |
+ ∑ |
. |
|
|
|||
Доверительный интервал для прогнозируемого( − ) |
значения [5]: |
|
|||||||
= |
± табД∙ . |
(21) |
|||||||
2.2. Нелинейная регрессияИ
Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью нелинейных функций.
Классы нелинейных функций
1.Регрессии, нелинейные относительно включенных объясняющих переменных,нолинейныепооцениваемымпараметрам,включают:
полиномы разных степеней:
= |
+ |
∙ |
+ |
∙ |
+ |
, |
= + |
∙ |
+ |
∙ |
+ |
∙ |
+ ; |
|
|
|
22 |
|
|
|
гиперболическую функцию
=+ + .
Полиномиальная функция характеризует процессы с монотонным
развитием и отсутствием пределов роста. Парабола второй степени при- |
|||||||||||||
Суть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
меняется, когда для определенного интервала значений фактора меняется |
|||||||||||||
характер связи рассматриваемых признаков. |
|
|
|
||||||||||
|
Для оценки параметров нелинейной модели используется процесс |
||||||||||||
линеаризац . |
л неаризации нелинейных по независимым перемен- |
||||||||||||
раметровуравнения= ++ ∙ + . |
|
|
|
|
|||||||||
ных |
заключается в замене нелинейных факторных переменных на линей- |
||||||||||||
ные: |
|
|
нейного |
|
. Уравнение нелинейной регрессии можно за- |
||||||||
писать=в в де, |
л = |
, |
= |
+ |
|
|
|
|
= |
|
|||
= |
+ |
∙ |
+ ∙ |
+ |
∙ |
ė. Для |
|
гиперболической функции |
. |
||||
|
|
степеннуюпреобразованной |
|
|
|
||||||||
Исходное уравнен |
|
|
|
|
ė |
|
Для нахождения неизвестных па- |
||||||
|
|
|
|
|
модели применяется метод наименьших квад- |
||||||||
ратов и стандартные методы проверки гипотез. |
|
|
|
||||||||||
|
2. Регрессии,нелинейныепооцениваемымпараметрам,включают: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
∙ |
∙ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
показательную |
= |
∙ |
∙ ; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
экспоненциальную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Д |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
моделей данного класса широкое использование |
||||||||
|
Среди нелинейныхА= ∙ . |
|
|
|
|||||||||
получила степенная функция, поскольку параметр b имеет четкое эконо- |
|||||||||||||
мическое содержание, а именно является коэффициентом эластичности. |
|
||||||||||||
Нелинейные модели по оцениваемым параметрам подразделяются на два |
|||||||||||||
типа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1.Нелинейная модель внутренне линейна – с помощью соответст- |
||||||||||||
вующих преобразований может быть приведена к линейному виду (например логарифмированием).
2.Нелинейная модель внутренне нелинейна – не может быть сведена в линейную модель [7, 10].
Уравнение нелинейной регрессии, так же как и в случае линейной зависимости дополняется показателем тесноты связи, а именно индексом
корреляции (R): |
|
|
|
∑( |
− |
) |
(22) |
= 1− ∑( |
− |
) . |
|
23
Величина данного показателя находится в пределах |
|
|
, чем ближе |
|
связь к единице, тем теснее связь рассматриваемых |
признаков, тем более |
|||
0 ≤ |
≤ 1 |
|
||
надежно найденное уравнение регрессии. |
|
|
|
|
Индекс детерминации |
= . |
|
|
|
С |
|
|
(23) |
|
|
|
|
||
|
|
характеристикой, |
||
Индекс детерминации является количественной |
||||
объясненной построенным уравнением регрессии дисперсии результативного признака. Индекс детерминации используется для проверки сущест-
венности в целом |
|
|
|
нелинейной регрессии по F-критерию Фи- |
|||||||||
шера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F-кр тер й Ф шера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
уравн= |
ения ∙ |
− |
− 1 |
, |
|
|
(24) |
||||||
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где n – ч сло |
|
|
й; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– индекс детерминации; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
m – число параметров при переменных х [1, 4]. |
|
||||||||||||
|
наблюден |
|
|
|
|||||||||
Величина m характеризует число степеней свободы для факторной |
|||||||||||||
суммы квадратов отклонений, а |
|
|
– число степеней свободы для |
||||||||||
остаточной суммы квадратов отклонений. |
|
|
|
||||||||||
|
|
А− − 1 |
|
||||||||||
t – критерий Стьюдента |
|
− |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
фак |
= |
|
н |
|
|
|
|
(25) |
||
|
|
|
|
|
|
Д, |
|
||||||
где – коэффициент детерминации, |
− . |
|
И(26) |
||||||||||
н – ошибка разности между |
|
||||||||||||
|
н |
|
|
|
( |
|
|
) ( |
)∙ |
( ) |
|||
|
|
= 2∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если фак > крит, между изучаемыми переменными существует нелинейная взаимосвязь. Если < 2, разность между коэффициентом и индексом детерминации для нелинейных форм связи несущественна, то возможно применение линейной регрессии.
В экономических исследованиях широкое применение находит такой показатель, как коэффициент эластичности.
24
Общий коэффициент эластичности |
|
Э = ′ ∙ , |
(27) |
где ′ – первая производная результативной переменной по факторному признаку. Коэффициент общей эластичности показывает, на сколько процентов приблизительно изменится результативный показатель при изменении величины факторного показателя на 1%.
редн й коэфф ц ент эластичности |
|
|||
С |
Э |
|
|
(28) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
редн й коэфф ц ент эластичности характеризует процентное изменение результат вного признака относительно своего среднего значе-
при= ∙ .
1.Что понимаетсябАпод парной регрессией?
2.Какие методы применяются для выбора вида модели регрессии?
3.Какие задачи решаются при построении уравнения регрессии?
4.Какие функции чаще всего используются для построения уравнения парной регрессии? Д
5.Что показывает коэффициент детерминации?
6.Как строится доверительный интервал для линейного коэффициента парной корреляции?
7.КаковыосновныепараметрыоценкилинейногоИуравнениярегрессии?
8.Что означает коэффициент корреляции?
9.Как проверяется значимость уравнения регрессии?
10.Как строится доверительный интервал для линейного коэффициента парной корреляции?
11.Как вычисляется и что показывает индекс детерминации?
12.Как осуществляется построение доверительного интервала прогноза в случае линейной регрессии?
25