2.НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Функцию

y = F(x),

заданную на промежутке

X ,

называют

первообразной

для функции

y = f (x), заданной

на

том

же

′

промежутке, если для всех x X выполняется равенство F (x)= f (x)

[7].

x3

Например,

из определения

следует,

что функция

F (x)

=

x3

3

является первообразной для функции f (x)

= x

2

, так как

(

)′ = x

2

.

3

Теорема. Если F1 (x)

и F2 (x)

− две первообразные для функции

f (x) на отрезке [a b;],

разность

между

ними равна

постоянному

Следовательно, если функция F (x) является первообразной для

функции f (x),

И

f (x)

то любая другая первообразная для функции

имеет вид F (x)

+C , где C = const .

Д

f (x),

Если функция F(x)

является первообразной для функции

то выражение

F (x)+C

называетсяАнеопределенным интегралом

б

и

этой функции и обозначается ∫ f (x)dx = F(x) +C . При этом функцию

5. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух или

И

нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов:

∫[f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x) dx ± ∫g(x) dx .

Д

Таблица основных неопределенных интегралов

I. ∫xndx

xn+1

А

=

n +1

+C, где n ≠ −1.

II. ∫dx = ln

x

+C .

x

и

a x

б

III. ∫a x dx =

+C .

ln a

С

IV. ∫ex

dx = ex

+C .

V. ∫

dx

=arcsin

x

+C .

a

a

2

− x

2

arctg x

+C ;

VI. ∫

dx

=

2

1+ x

−arctg x +C.

dx

+C .

VII. ∫

= ln

x +

x2 ± a

x2 ± a

XI. ∫

dx

= −ctg x +C .

2

x

sin

XII.

dx

1

a + x

+C .

∫

=

ln

a2 − x2

2a

a − x

XIII. ∫

dx

=

1 arctg

x

+C .

2

2

a

+ x

a

a

Интегралы этой таблицы принято называть табличными.

При вычислении неопределённых интегралов бывает полезно

применять следующие правила:

1. Если ∫ f (x)dx = F(x) +C , то

1

∫ f (ax)dx = a

F(ax) +C .

И

2. Если ∫ f (x)dx = F(x) +C , то

∫ f (x +b)dx = F(x +b) +C .

3. Если ∫ f (x)dx = F(x) +C , то

∫ f (ax +b)dx = 1a F(ax +b) +C .

А

Пример 1. Найти ∫

dx

.

Д

5x

3

и

Решение. Преобразуем данный интеграл к табличному виду,

воспользовавшись действ ями со степенями:

dx

−

1

1

3

2

б1

∫

=

∫ x

3dx =

x3 +C .

3

3

3

2

5x

5

5

Пример 2. Найти ∫

(

2

+6x −3x2 +7)dx.

1+ x2

Решение.СПреобразуем данный интеграл к табличному виду,

воспользовавшись свойствами 4 и 5:

(

2

+6x −3x2 +7)dx = 2

dx

+6

xdx −3 x2dx +7

dx =

∫1+ x2

∫

∫

∫ 1+ x2

x2

x3

∫

= 2arctg x +6

+7x +C.

−3

2

3

множитель –2 под знак

интеграла, затем заменив

− 2dx через

d(3 − 2x), получим

∫(3 − 2x)7 dx = − 1

∫

(3 − 2x)7 d(3 − 2x) = −

1

(3 − 2x)8 + C .

2

2

8

2x2

+ x −3

Пример 5. Найти ∫

dx.

x3

Решение. Разложим подынтегральную функцию на слагаемые,

деля числитель на знаменатель. Затем интегрируем каждое слагаемое

отдельно:

И

∫

2x2 + x −3

dx = 2∫ dx. + ∫ x−2dx −

3∫ x−3dx = 2ln

x

− 1

+

3

+C.

x3

x

(3x +1)dx.

Д

x

2x

2

Пример 6. Найти ∫ sin

∫

А

(ax +b)dx = 1a F(ax +b) +C и

Решение.

Применим

правило

∫ f

получим

и

1 cos(3x +1) .

sin(3x +1)dx = −

2

3

С

(б−4 x +5x4 −6)dx.

Пример 7. Найти ∫

x

Решение. Разложим интеграл на алгебраическую сумму

интегралов и получим табличные интегралы:

1

∫(2

−4

+5x4 −6)dx = 2∫ dx −4∫ x2 dx +5∫ x4dx −6∫dx =

x

x

x