7.

Вычислить

значение

полного

дифференциала функции

z = arcctg

x

при

x =1; y = 3;dx = 0,01;dy = −0,05 .

y

8.

Для

функции

z = x3 − xy2 + x + y + y4

найти

значение

′′

′′

′′

выражения ( zxx

+ zxy

+ zyy ) в точке M (−1;1).

x

9.

Проверить,

что

функция

z = 2cos2 ( y −

)

удовлетворяет

∂2 z

∂

2 z

2

уравнению

2

+

=

0 .

∂x2

∂x∂y

10.

Проверить, что

для

функции

z =

x2

выполняется

y

2

равенство

∂2 z

=

∂

2 z

.

∂х∂у

∂y∂x

Д

11.

Проверить,

что

функция

z = ln(x2

+ y

2 )

удовлетворяет

уравнению

∂2 z + ∂2 z = 0.

А

И

∂x2

∂y2

Ответы

б

− уравнение касательной

1. −10 . 2. 0. 4. −1. 5.

x

− 2y

+ 3z − 6 = 0

плоскости,

(x −1) =

(y +1)

= (z −1) − уравнения нормали.

С

3

1

−2

6. 8x +8y − z −12 = 0

−

уравнение

касательной

плоскости,

(x −2)

(y −1)

(z −и12)

7. −0,008.

8. 6.

8

=

8

=

−1

− уравнения нормали.

§3. Элементы скалярного поля

Поверхностью

уровня

функции

u = F(x, y, z)

называется

F(x, y, z) = const = C .

Для функции двух переменных в

таком случае

это будут

линии уровня – линии, на которых

выполняется

равенство

F(x, y) = const = C.

gradu =

∂u ,

∂u

,

∂u

.

∂x

∂y

∂z

Аналогично в случае функции двух переменных u = F(x, y) это

будет вектор на плоскости: gradu =

∂u

, ∂u

.

∂x

∂y

Градиент

функции

характеризует

направление и

величину

И

максимальной скорости возрастания этой функции в точке.

Рассмотрим в

области

D

функцию

u = F(x, y, z)

и точку

M (x, y, z). Проведем из точки M вектор a , направляющие косинусы

которого соответственно равны cosα ,

cos β ,

cosγ . На векторе a на

расстоянии

∆a

от

его

начала

рассмотрим

точку

M1(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) . Таким образом,

б

2

2

2

.

∆a = ∆xД+ ∆y + ∆z

Предположим,

что функция

u = F(x, y, z) непрерывна и имеет

и

D .

∆a

непрерывные частные про зводныеАв области

Производной от функц

u = F(x, y, z)

в точке M (x, y, z) по

направлению вектора a называется

предел отношения

∆u при

∆a → 0 и обозначается

∂u

[5], т.е.

С

∂a

∆u = ∂u .

lim

∆a→0 ∆a

∂a

Пример 2. Определить градиент функции

u =

x2

y3

в точке

+

2

3

M (2;−1) .

Решение. Найдём частные производные первого порядка и затем

вычислим их значения в точке M :

∂u

И

∂u = x ; ∂u = y2 ; ∂u (M ) = 2 ;

(M ) = (−1)2 =1.

∂x

∂x

Д

∂y

∂y

Следовательно, искомый вектор равен

А

gradu

Пример

3.

Найти

производную

функции

u = xy + yz +1 по

направлению вектора a = (12,−3,−4) в точке M (0;−2;−1).

Решение.

Найдём

частные производные первого порядка

и

:

функции u , а также направляющие косинусы вектора a

∂u = y ,

∂u

= x + z ,

∂u = yб, т. к. модуль вектора a равен

∂x

∂y

∂z

2

2

2

a

=

12

+ (−3)

+

(−4)

=13, то

cosα

= 12 ;

cos

β = −

3

; cosγ = −

4

.

13

С13

13

Вычисляя значения частных производных в точке M (0;−2;−1) и

подставляя в формулу

∂u

=

∂F

cosα +

∂F

cos β +

∂F

cosγ , получим

∂a

∂x

∂y

∂z

∂u

(M ) = −2

12

3

4

∂a

−1 −

− 2

−

= −1.

13

13

13

∂u

=

2x

;

∂u

(M ) =

6

;

∂x

x2

+ y2

∂x

25

∂u

=

2y

;

∂u

(M ) =

8

.

∂y

x2

+ y

2

∂y

25

6

8

Поэтому

gradu(M ) =

;

, а искомая наибольшая скорость

25

25

возрастания

функции

в

направлении

градиента

max

∂u

gradu(M )

6

2

8 2

2

.

∂a

=

=

+

=

25

25

5

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти и построить

линию уровня

функции z = x2 + 2y ,

проходящую через точку M (−1;1) .

2. Найти величину градиента функцииИu = 2x + y2 +

z3

в точке

M (1;1;−1) .

Д

3

xy

3. Найти модуль градиента функции

z

=

в точке M (0;1) .

x + y

+1

А

4.

x2 + y2 по направлению

Найти про зводную функции z =

вектора a = (4,−3) в точкебM (3;4).

5. Найти производную функции z = 4x3 −3y2

в точке M1(1;1)

по

и

направлению, идущему к точке M 2 (4;5) .

u = y2 z − 2xyz + z2

6.

Найти производную

функции

в

точке

M (3;1;1)

по

С

вектора

если

образует

с

направлению

a ,

a

координатными осями углы α

, β,γ , причём α =

π ;

β =

π .

7.

3

4

С какой наибольшей скоростью может возрастать функция

u =

10

при

переходе

точки

M (x, y, z)

через

точку

x2 + y2 + z2 +1

M0 (−1;2;−2) ?

точки,

в

которых

производная

функции

8.

Найти