x ≠ 0 ; е) круг x2 + y2 ≤1. 3. а)

1

; б) 1;

в) e2

; г) 8.

4. а) одна

2a

точка разрыва (1;−1); б) линия разрыва – прямая y = 2x; линия

разрыва − гипербола x2 −2y2

= 4 .

§2. Частные производные функции нескольких переменных

Производная

от

функции

z = f (x, y)

по

х,

взятая в

предположении, что у

остаётся постоянным, называется частной

производной от z по х

и обозначается ∂z или z′x , т.е.

∂x

z′x =

lim

f (x + ∆x, y) − f (x, y)

.

∆x→0

∆x

Аналогично определяется и обозначается частная производная

от z

по у: ∂z или

z′y .

∂y

А

z′y =

f (x, y

+ ∆y) − fИ(x, y)

lim

.

∆y

Частные производные функции многих переменных находятся по

С

известным

прав лам бд фференцирования функции

одной

действительной переменной.

Если

функцияиz = f (x, y) имеет непрерывные

частные

плоскости) определяется уравнениями

(x − x )

=

(y − y )

=

(z − z

)

0

0

0

.

′

′

(M0 )

′

Fx (M0 )

Fy

Fz (M0 )

Функцию многих

переменных

u = f (x, y, z,...,t) можно

частные производные первого порядка

∂u

,

∂u

, …,

∂u

обычно

∂x

∂y

∂t

обозначаются:

Д

∂z

∂z

∂

∂

∂2 z

∂

∂2 z

∂у

х

′′

И

′′

∂у =

∂х = ∂х2 = zхх;

∂у2 = zуу ;

∂z

б

∂

∂z

∂

∂

∂2 z

∂у

∂2 z

и

х

=

′′

=

= z

′′

.

∂у

∂x∂y

ху

∂х

∂y∂x

ух

∂3 z

∂3 z

∂3 z

∂3 z

∂3 z

∂3 z

∂3 z

∂3 z

∂x3

,

С,

,

,

,

,

,

.

∂x2∂y

∂x∂y2

∂y∂x2

∂y∂x∂y

∂2 y∂x

∂y3

∂x∂y∂x

Теорема. Если функция z = f (x, y)

имеет непрерывные частные

находим производную z′x

= 2x +5y2 , аналогично,

считая z функцией

только

одного

аргумента y ,

находим

другую

производную

z′y =10xy −3y2 .

Затем вычисляем их частные значения в указанной

точке: z′x (−1;1) = 3;

z′y (−1;1) = −13.

Пример 2. Найти частные производные первого порядка от

функции u =

x

+

y

−

z

.

y

z

x

Решение. Считая u функцией только одного аргумента х, затем

только y и только z , получим три частные производные:

∂u =

1

+

z

; ∂u = −

x

+ 1 ; ∂u

= −

y

− 1 .

2

2

∂x y

x

∂y

y

z ∂z

z

2

x

А

Пример 3.

Найти частные производныеИпервого порядка от

функции z = x ey .

б2

Решение. Заменяя корень степеньюДс дробным показателем и

затем дифференцируя

как сложную функцию по каждой из двух

и

переменных, получим

y

y

y

z = e

x

; z′x = −

y

e

; z′y =

1 e

x

.

2

x

С2

x

x

Пример 4. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к

поверхности, заданной уравнением z = 3x2 + 4y2

в точке M (2;1).

Решение.

Преобразуя

уравнение

поверхности

к

виду

3x

+ 4y

− z = 0 и обозначив его левую часть через F(x, y, z),

найдём

частные

производные

Fx′

=

3x

;

Fy′

=

4y

;

3x2 + 4y2

3x2 + 4y2

Fz′ = −1. Затем вычислим их значения в данной точке Fx′(M ) =

3

;

2

Подставляя z ,

∂z и

∂z

И

в данное уравнение, получим тождество

∂x

∂y

x(ln

y

−1) + y

x

= x ln

y

;

0=0.

Это значит, что функция

z = x ln

y

x

y

x

Д

x

удовлетворяет уравнению x ∂z + y

∂z

= z .

∂x

А

∂y

Пример 6. Найти полный дифференциал функции

z = 3x2 y5 .

б

Решение. Находим частные производные данной функции:

∂z

= 6xy5 ; ∂z =15x2 y4 .

и

∂y

∂x

Пример

7.

dz = 6xy5dx +15x2 y4dy .

Найти частные производные второго порядка

функции z = x

3С2 3

2

.

−5x

y − y

∂z

= 3x2 −10xy3 ;

∂z

= −15x2 y2 −2y ;

∂x

∂y

∂2 z

= 6x −10y

3

;

∂2 z

=

∂2 z

= −30xy

2

;

∂2 z

= −30x

2

y −2.

∂х2

∂x∂y

∂y∂x

∂у2

Пример 8. Проверить,

что

для функции

z = cos(ax −by)

выполняется равенство

′′

′′

zxy = zyx .

′

′

′′

′

= ab cos(ax −by).

(zx )y

= zxy = (−a sin(ax −by))y

Аналогично (zy )x = zyx = (b sin(ax −by))x

= ab cos(ax −by).

′

′

′′

′

Сопоставляя полученные результаты, заключаем, что для

данной функции выполняется равенство zxy

= zyx .

′′

′′

Пример

9.

Проверить,

что

в

точке M (2

;− 4)

функция

z = x3 +3x2 + 4xy + y2 является

3

3

стационарной (производная

в любом

направлении равна нулю).

И

Решение. Найдём частные производные первого порядка:

z′x = 3x2 +6x + 4y; z′y = 4x + 2y.

Д

Подставляя в них координаты данной точки, вычисляем

z′x (M ) = 3 4 +6 2 −4 4

= 0;

z′y (M) = 4 2 −2 4 = 0.

9

3

А

3

3

3

Задачи для самостоятельного решения

x

б

1. z = x2 − 2xy + 2y2

. Найти (z′x

− z′y ) в точке (−1;1).

и

2. Найти сумму частных производных первого порядка функции

z = arctg

в данной точке M (1;1) .

y

3. Проверить, что функция

z = ln(

+

)

удовлетворяет

x

y

уравнению x

∂z + y

∂z =

1 .

∂Сx ∂y

2