Вопросы и задания для самопроверки

1.Дайте понятие дифференциального уравнения первого порядка и его общего решения. Сформулируйте задачу Коши и её геометрическую интерпретацию.

2.Укажите методы решения дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных).

3.Дайте понятие дифференциального уравнения второго порядка, его общего решения и общего интеграла. Сформулируйте задачу Коши и её геометрическую интерпретацию.

4.Укажите методы решения дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка.

5.Дайте определение однородногоИлинейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Сформулируйте теоремуДо структуре общего решения.

6.Дайте определение неоднородного линейного дифферен-

циального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Сформулируйте теоремуАо структуре общего решения.

7.В чём состоит суть метода неопределённых коэффициентов для нахождения частногобрешения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами? иС

Вариант 1

Найти решения дифференциальных уравнений.

1.(xy2 + x)dx = (y − x2 y)dy .

2.(1+ x2 )y′− xy = 2x, если y = 0 при x = 0.

3.2y′′+ y′ = 0 при x = 0; y = 0; у′ =1.

4.9y′′+12y′+ 4y = 0.

5.y′′−6y′+9y = 2x2 − x +3 .

102

Вариант 2

Найти решения дифференциальных уравнений.

3. y′′" −4y′' + 4y = 0 при y (0)=1; y′(0)= 3.

4.25y′′−8y′+ y = 0 .

5.y′′−3y′+ 2y = (1−2x) .

Найти решен я д фференциальных уравнений.

2. (x +1)y′−2y = (x +1)4 .

4.4y′′+9y = 0 .

5.9y′′+6y′+ y = 2x +5.

103

6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

§1. Комплексные числа и действия над ними

Комплексным числом называется выражение следующего

вида:

геометрический образ ед нственного комплексного числа z = x +i y .

При этом множество всех действительных чисел изображается точками оси абсцисс, которая поэтому называется действительной

действительное число нуль. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Внекоторых случаях удобно считать геометрическим

104

Тригонометрическая форма комплексного числа будет иметь

вид

z = z (cos(arg z + 2k π )+i sin (arg z + 2k π )).

Пусть z = x + iy = z (cosarg z + isinarg z). Используя формулу

Эйлера cos ϕ +i sin ϕ = eiϕ , получаем так называемую показательную форму записи комплексного числа:

z = z ei argz.

Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов с

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1); z2 = r2 (cosϕ2 +isinϕ2 ),

то действия над ними выполняют следующим образом:

z1 z2 = r1r2 (cos(ϕ1 +ϕ2 )+ isin(ϕ1 +ϕ2 ));

z1 = r1 (cos(ϕ1 −ϕ2 )+ isin(ϕ1 −ϕ2 )).

z2 r2

106

Для возведения комплексных чисел в целую степень применяют формулу Муавра

zn = rn (cosnϕ + isin nϕ).

Формула справедлива для целых положительных и отрицательных n.

Правило извлечения корня n-й степени из комплексного числа

(nz )k = n z cosϕ +n2πk + isin ϕ +n2πk ,

где k = 0,1,2,...,n − 1.

Следовательно, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Подставим в формулу и получим тригонометрическую форму z = 2(cos 34π +isin 34π ) .

Пример 3. Представить в показательной форме комплексное число z = −1−i .

107

Пример 4. Вычислить eπ i .

Решение. По формуле Эйлера можно представить eπ i = cos π +i sin π = −1.

108

2. Следующие комплексные числа изобразить векторами и записать в тригонометрической форме:

1) z = 2 −2i ; 2) z =1+i 3 ; 3) z = −3 −i ; 4) z = −2; 5) z = −2i .

109

3.Вычислить по формуле Муавра:

1) (1+i)10 ; 2) (1−i3)6 ; 3) (−1+i)5 .

4.Найти все значения корней:

Ответы

1. 1) z =12 +5i ; 2) z = 5 −12i ; 3) z = −2 + 2i ; 4) z = i ; 5) z =1+i .