11.

y′′+5y′+6y = 0 при

12.

9y′′+12y′+ 4y = 0.

y(0)= 3; y′(0)= −8.

13.

9y′′+ y = 0.

14.

y′′− 6y′+10y = 0 при

y (0)=1; y′(0)= 3.

15.

y′′− y′−6y = 0.

16.

y′′−7 y′+10 = 0.

17.

y′′+8y′+16y = 0.

18.

y′′− 6y′+8y = 0.

Ответы

1. y = C ex

+C

e−2x . 2. y = C

+C

e−3x .

1

2

1

2

3. y = e2x (

С cos x+С

2

sin x).

1

4. y = (C cos 2x +C

2

sin 2x). 5. y = 4ex −7ex х. 6. y = −e−x sin x.

1

7. y = e3x +e5x . 8.

y = ex (cos 2x +sin 2x). 9.

y = cos4x +sin 4x .

y = 2 e3x

Д

10.

+e3x х. 11. y = e−2x

+ 2

e−3x .

y = e−

2x

(С +С

x).13.

x

И+С sin

x

12.

3

2

y = С cos

.

1

1

3

2

3

14. y = e3x cos x . 15.

y = С e3x +С e−2x .

б

2

y = С e2x + С

e5x .

1

16.

2

1

y = e−4x

(С

и

y = С e4x +С

e2x .

17.

+

С

2

x).

18.

2

1

А1

С

Рассмотрим метод подбора частного решения yч

уравнения

y′′ + p y′ + q y = f (x) по специальному виду правой части

f (x).

1. Пусть правая часть

И

f (x) уравнения представляет собой

f(x) = Р (x) eαx ,

где

α −const;

Д

n-й степени

P (x)

−

многочлен

п

n

относительно х.

А

Тогда дифференциальное уравнение примет вид

y′′+ p y′+ q y = Рп(x) eαx .

При этом возможны следующие частные случаи:

а) Число α

не является корнем характеристического уравнения

и

k2 + pk + q = 0.

Тогда

частное

решение

нужно

искать

в

виде

y = (A x

n

+

A x

n−1

+...+

αx

α x

,

где

Q (x)−многочлен той

A б)e = Q (x) e

ч

0

1

n

n

n

же степени,

что и данный многочлен Pn (x),

но с неопределенными

коэффициентами.

Действительно, подставляя yч

в уравнение

Сy′′+ p y′+ q y = Рп(x) eαx

и сокращая все члены на множитель eαx , будем иметь

Qn′′(x) +(2α + p)Qn′(x) +(α2 + pα + q)Qn (x) = Pn (x) ,

где

Qn (x)−многочлен степени n;

Qn′(x)

многочлен степени

n −1;

Qn′′(x) многочлен степени n −2.

от

знака равенства

стоят

Таким

образом,

слева и

справа

нужно искать в виде y

ч

= Q (x) eα x x2.

n

2. Пусть правая часть

f (x) уравнения имеет вид

f (x) = eαx (P(x)cos βx +Q(x)sin x),

где P(x) и Q(x) – многочлены от x .

Форма частного решения yч определяется следующим образом:

а) Если число α + βi

И

не является корнем характеристического

уравнения , то частное решение yч следует искать в виде

y = eαx

Д

(U (x) cos βx +V (x) sin βx),

ч

б) Если

число

α + βi

является корнем характеристического

уравнения, то

y = eαx (U (x) cos βx +V (x) sin βx) x.

ч

А

3. Рассмотр м

далее важный частный случай. Пусть правая

б

часть f (x) линейного уравнен

я второго порядка имеет вид

f (x) = M cos βx + N sin βx ,

и

где M и N – постоянные числа.

Тогда вид частного решения yч определяется следующим образом:

а) Если

Счисло βi не

является корнем характеристического

уравнения , то частное решение yч следует искать в виде

yч = A cos βx + B sin βx,

где А и В – постоянные неопределенные коэффициенты.

б) Если число βi является корнем характеристического

уравнения, то

yч = (A cos βx + B sin βx) x.

Заменить y′′,

y′ и y соответственно на k 2 , k

и 1. k2 + pk +q = 0 .

Найти корни характеристического уравнения k

=

− p ±

p2

−4q

.

1,2

2

Случай

1.

Корни

k2 ≠ k1

характеристического

y = C ek1x +C

ek2 x

2

уравнения действительны и

1

различны

Случай

2.

Корни

k1 = k2 = k

характеристического

y = ekx (C1 +C2 x)

Д

уравнения действительны и

И

равны

Случай

3.

Корни

p

2

характеристического

−4q < 0. Введем

i2

= −1.Тогда

уравнения комплексные

y = eax (C1 cosbx +C2 sin bx)

б

(4q − p2 )

p

2

−4q = i2

и

или

k1,2 =Аa ± bi

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэфф циентами y′′+ py′+ qy = f (x) ;

y = yч + yo ,

где уо – решение однородного уравнения; уч – частное решение неоднородного

уравнения

Случай 1.

а ≠ k1,а ≠ k2

y

ч

= Q (x) eax

f(x) = Р (x) eax

п

a = k2 ≠ k1

y

=

x Q (x) eax

п

С

ч

п

a = k2 = k1

y

ч

=

x2 Q (x) eax

п

Случай 2.

z=a+bi

не

является

корнем

f(x) = eax (Р (x)cos bx + Q sin bx)

характеристического уравнения

п

n

y = eax (S

(x)cosbx +T (х)sin bx)

п

ч

n

z=a+bi

является

корнем

характеристического уравнения

y = хeax (S

п

(x)cosbx+T (х)sin bx)

ч

n

k2 +6k +5 = 0;

k =

−6 ±

= −6 ± 4 .

36 −20

1,2

2

2

k1 = −5;

k2 = −1.

Запишем общее решение соответствующего однородного

дифференциального уравнения по формуле

y = C ek1x + C

ek2x :

1

2

y = C e−5x

+C

2

e−x .

0

1

yч

Запишем формулу, по которой следует искать частное решение

данного

уравнения.

Проверяем,

что

правая часть

уравнения

f (x)= 25x2 −2 соответствует

общиму виду

f (x)= eα x P (x), где

Д

n

25x2 −2 – многочлен второй степени с коэффициентами 25; 0; –2.

α x

В данном случае показательная функцияИe =1, т. е. α = 0. Так

как α = 0 не совпадает ни с одним из корней характеристического

уравнения,

то

б

нужно

искать

в

виде

частное

решение

yч

= Ax2 + Bx +C.

Q

(x)= Ax2 + Bx + C − многочленА

второй

степени

(n = 2) ,

n

коэффициенты А, В,

С

неизвестные

(неопределенные)

этого

С

yч , yч' , yч" в данное

многочлена нужно найти, подставив выражения

уравнение.

и

Запишем yч , yч' , yч

"

столбиком:

5

y

= Ax2 + Bx +С;

ч

6

y'

= 2Ax + B;

ч

1

y"

= 2A.

ч

Слева указаны коэффициенты 5, 6, 1, на которые следует

умножить

yч , yч' ,

yч" ,

чтобы

получить

левую

часть

уравнения

y′′+6y′+5y = 25x2 −2. В левой части

получим многочлен второй

x2

5A = 25;

x1

12A +5B = 0;

x

0

2A +6B +5C = −2.

коэффициентами А, В, С.

Решив ее, найдем

значения неопределённых коэффициентов

А = 5; В = −12; С = 12.

y = 5x2 −12x +12.

Частное решение запишем в виде

ч

y = y0 + yч

Общее решение данного уравнения по формуле

примет вид

И

y = С e−3x +С

e−4x

+5x2 −12x+12.

1

2

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Д

y′′ + 7 y′

+12y

= 24x2 +

16x −15.

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его

корни:

А2

2

k2 +7k +12 = 0;

б

k

=

−7 ±

49

− 48

=

−7 ±1

.

и

1,2

С

k1 = −3;

k2 = −4.

Запишем общее решение соответствующего однородного

дифференциального уравнения по формуле y = C ek1x

+ C

ek2x :

1

2

y

= C e−3x

+C

2

e−4x .

0

1

Выберем формулу, по которой следует искать частное решение

yч данного уравнения. Для этого сравним

правую часть уравнения

f (x)= 24x2 +16x −15 с общим видом правой части:

f (x)= eα x P (x).

n

24x2 +16x −15 – многочлен второй степени с коэффициентами

24; 16; –15.

В данном случае показательная функция eα x =1, т. е.

α = 0. Так

как α = 0

не совпадает ни с одним из корней характеристического

уравнения

(k1 = −3; k2 = −4), частное решение нужно искать в виде

Q

(x)

= Ax2 + Bx + C − многочлен второй

степени

(n = 2) ,

n

А, В,

С

неизвестные (неопределенные) коэффициенты

этого

многочлена нужно найти, подставив выражения

yч , yч' , yч"

в данное

уравнение.

Запишем yч , yч' , yч" столбиком:

12

yч = Ax2 + Bx + С;

7

yч' = 2Ax + B;

1

yч" = 2A.

Слева указаны коэффициенты 12, 7, 1, на которые следует

умножить

yч , yч' , yч" , чтобы

получить левую часть

уравнения

y′′ + 7y′

+12y = 24x2 +16x −15.

И

В левой части

получим многочлен

должен быть равен данному многочлену второй степени в правой

Д

части. Два многочлена будут равны тогда и только тогда, когда равны

коэффициенты при одинаковых

степенях х.

Запишем столбиком

полученные уравнения:

А

x2

12A = 24;

x1

14A +12B =16;

x0

2A + 7B +12C = −15.

2

и

Имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными

коэффициентами А, В, С. б

Решив ее, найдем A = 2;

B = −1; C = −1.

Частное решение запишем в виде yч = 2x

− x −1.

Общее решение данного уравнениясоставим по формуле

С

y = y0 + yч.

Окончательно получим

y = С e−3x +С

e−4x + 2x2

− x −1.

1

2

корни:

k2 + k −2 = 0; k = −2; k

2

=1.

1

f (x)= 3ex с

f (x)= eα x P (x). Отметим, что α =1 совпадает с одним

n

−2

y = A ex x;

ч

= A ex + A ex x;

1

y'

ч

И

1

y"

= A ex + A ex + A ex x.

ч

Подставив

выражения

yч , yч'

,

yч"

с

указанными

Д

коэффициентами в данное дифференциальное уравнение, получим

2A ex + A ex x + A ex

+ A ex x − 2A ex

x = 3ex ,

или

А

3A ex

= 3ex ,

откуда

A =1.

б

= x ex .

Частное решение: yч

и

Искомое общее решение данного уравнения:

y = С e−2x

+С

2

ex + x ex .

С

1

Пример 4. Найти общее решение уравнения y′′ − y = x e−x .

Решение. оставим характеристическое уравнение и найдем

его корни: k 2 −1 = 0;

k

= −1;

k

2

=1.

1

Запишем общее решение соответствующего однородного

дифференциального уравнения по формуле y = C ek1x

+ C

ek2x :

= С e−x + С

ex .

1

2

y

0

2

1

f (x)= x e−x с

Сравним

правую

часть

данного

уравнения

f (x)= eα x P (x).

Отмечаем,

что число

α = −1

совпадает

с одним

n

Pn (x)= x

корнем

характеристического

уравнения

и

является

Подставим выражения yч ,

yч" с указанными коэффициентами в

данное уравнение. Получим равенство

2A e−x − 2(2Ax + B) e−x +

(Ax2 + Bx) e−x − (Ax2 + Bx) e−x = x e−x .

Разделим уравнение на

e−x ≠ 0

и упростим:

2A −2(2Ax + B)= x;

2A − 4Ax − 2B = x.

x1

− 4A =1;

A = −1/ 4;

И

x0

2A − 2B = 0,

А

B = −1/ 4.

б4

−x

Частное решение:

yч = −

1

(x

2

+

4

Дx) e .

Общее решение дифференциального уравнения:

y = С e−x +С

2

ex − 1

(x2 + x) e−x .

1

С

′′

′

Пример 5. Реш ть уравнение y

+ 3y

+ 2y = 4sin 3x + 2cos 3x.

Решение. оставимихарактеристическое уравнение и найдем его

корни:

k 2 +3k + 2 = 0;

k =

−3 ±

9 −8

=

−3 ±1

.

1,2

2

2

k1 = −1;

k2 = −2.

Запишем общее решение соответствующего однородного

дифференциального уравнения по формуле

y = C ek1x

+ C

ek2x :

1

2

y

0

= С

e−x +

С

2

e−2x .

1

f (x)= 4sin3x + 2cos 3x с

Сравним правую

часть уравнения

f (x)= M cos βx + N sin βx .

Здесь

M = 2; N = 4;α = 0;β = 3. Так как

числа ± βi = ±3i не