2

x2

3

4

1

2

1

f (x; y)dy . 2.

y

1. ∫dx ∫ f (x; y)dy + ∫dx∫

∫dy ∫

f (x; y)dx + ∫dy ∫ f (x; y)dx .

0

0

2

0

0

y

1

y

3. 320 .

16 .

6. 3

7. 1 .

2

2

4. 24 . 5.

.

8. 38.

3

3

4

4

§2. Замена переменных в двойном интеграле

При

вычислении

двойных интегралов

в

некоторых

случаях

u = u

(x, y);

бывает полезно сделать замену переменных.

Пусть

v = v(x, y) −

И

функции,

определенные на всей плоскости x0y

или в некоторой ее

Д

области σ и имеющие непрерывные частные производные в области

σ .

Допустим также,

что

систему

уравнений

можно однозначно

А

x

= x(u,v);

разрешить относительно x

и

тогда каждой точке

y :

y = y (u,v),

M (x, y) из области σ будет взаимно-однозначно соответствовать пара

и

чисел (u,v), называемых криволинейными интегралами этой точки.

Если область σ

расположена в той части плоскости x0y , в которой

С

введены криволинейные коордбнаты u , v , то справедлива следующая

формула:

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f

[x(u, v), y(u, v)]

J (u, v)

dudv ,

′

σ

σ′

координат u и v,

где σ

– область изменения

криволинейных

∂x

∂x

∂x

∂y

− ∂x

∂y .

отвечающая области σ , а J (u,v)=

∂u

∂v

=

∂u

∂v

∂y ∂y

∂v

∂u

∂u

∂v

Пример

2.

Вычислить

двойной

r = a cosϕ

интеграл

∫∫ y dxdy ,

если

область

σ

ограничена

σ

верхней

половиной

дуги

окружности x2 + y2 = ax и отрезком оси 0x

от точки с абсциссой, равной 0, до точки с

абсциссой, равной a (рис. 4.18).

Решение.

Введем

полярные

координаты x = r cosϕ;

y = rsinϕ.

Рис. 4.18

Тогда

уравнение

окружности

примет

вид

(r cosϕ)2 +(r sinϕ)2 = ar cosϕ;

r2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ = ar cosϕ;

r2 (cos2 ϕ +sin2 ϕ)= ar cosϕ; r2 1 = ar cosϕ

или окончательно имеем

r = a cosϕ .

Найдем область определения этой функции. Так как, по

определению, r ≥ 0 , то a cosϕ ≥ 0

, то есть − π

≤ ϕ ≤ π

. Верхняя часть

И

2

2

дуги окружности лежит в первой четверти,

для которой ϕ меняется в

пределах от

0

до

π

Д

2 .

Применим формулу перехода от декартовых

координат

к

полярнымАв

двойном

интеграле

∫∫

f (x, y)dxdy

= 2πdϕr(ϕ)f

(r cosϕ, r sin

ϕ)r dr

и

получим

∫

∫

б

σ

0

0

π

a cosϕ

и

π

a cosϕ

2

2

y dxdy =

r sinϕ r dr

=

=

∫∫

∫

∫

dϕ

∫

sinϕ

∫

r2dr dϕ

σ

0

0

0

0

С

t = cosϕ;

π

π

dt = −sinϕdϕ;

= 2∫sinϕ r3

a cosϕ dϕ = 2∫sinϕ a3 cos3 ϕdϕ =

ϕ =

0 t =1;

=

0

3

0

0

3

ϕ =

π

t = 0

2

= −

a3

0

a3 1

a3

t4

1

a3

.

3

∫t3dt =

3

∫t3dt =

3

4

=

12

1

0

0

Рис. 4.19

Рис. 4.20

Решение.

Сверху данное

тело

(см. рис. 4.19) ограничено

параболоидом

z = 3 − x2

И

− y2 , поэтому, воспользовавшись формулой

для

вычисления

объема

цилиндрического

тела,

ограниченного

плоскостью

σ

Д

плоскости x0y , имеем

V = ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫

(3 − x2 − y2 )dxdy .

σ

А

σ

σ

Область

(р с.

4.20) есть круг, его границу получим

б

подстановкой z = 0 в уравнен е

z = 3 − x2 − y2 .

Введем полярныеикоординаты. Тогда уравнение окружности

примет

вид

(r cosϕ)2 + (r sinϕ)2 = 3;

r2 (cos2 ϕ +sin2 ϕ)= 3;

r2 = 3;

r =

. Угол ϕ

меняется от 0 до 2π .

3

С

и y0z ,

Учитывая симметрию тела относительно плоскостей x0z

найдем

π

V

2

3

2

2

=

∫

∫ (3 −

[(r cosϕ) +

(r sinϕ)

])r dr

4

dϕ =

0

0

π

[cos

])r dr

π

2

2

3

2

2

2

3

2

= ∫

∫ (3 − r

ϕ + sin

ϕ

= ∫

∫ (3 − r

)r dr

dϕ

dϕ =

0

0

0

0

π

π

2

r4

2

2

r

3

3

3

3

3

= ∫

3 ∫r dr −

∫ r

=

3

−

dr dϕ

∫

2

|0

4

|0

dϕ =

0

0

0

0

π

(

)2

(

)4

π

9

9

9

π

9

π

9

2

3

3

3

2

−

2

ϕ

=

π.

= ∫

2

−

4

dϕ =

∫

4

dϕ =

4

∫dϕ =

4

|2

8

0

0

2

0

0

9 π .

Следовательно,

V =