3. Установить

сходимость

или

расходимость

несобственного

∞

dx

интеграла ∫

.

2 x

ln3 x

Вариант 4

1. Вычислить определенный интеграл:

1

5

e

ln

3

π /2

а) ∫

4x3

− х5 +

dx

; б) ∫

x −5 dx; в)

∫ (x − π )cos xdx .

х2 −4

0

1

x

0

4

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками

функций y = 3 −2x − x2 ; y = 0.

3. Установить

сходимость или

расходимость

несобственного

интеграла ∞∫

dx

.

И

2 x

3 ln2 x

Д

А

4. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. Двойной интеграл, его вычисление в декартовых

координатах

и

материальной

Рассмотрим задачу о нахождении массы

двумерной пластинки σ б, если известна плотность ρ(x; y)

в каждой

С

ее точке. Разделим данную

область произвольным

образом

на n частей (рис. 4.1) P(x; y). В

каждой элементарной части ∆σi

выберем по одной точке Ρi (ξi ; ni )

и вычислим плотность ρ(ξi ; ni ) в

точке

Ρi .

Тогда

масса

элементарной

пластинки

части

Рис. 4.1

∆σi

приближенно

будет

равна

пластинки σ получаем

ρ(ξi ; ni ) ∆σi .

Для

массы

всей

(ξi ; ni ) ∆σi .

m ≈ ∑ ρ

i

m = lim

∑ρ(ξi ;ni ) ∆σi ,

λ→0

i

где λ −наибольший из диаметров

элементарных

частей

∆σi

(диаметр ∆σi − это наибольшее

расстояние между произвольными

ее точками). К

аналогичному

И

выражению

приходим

при

рассматривании

задачи вычис-

Д

ления объемов

цилиндрических

тел.

Пусть требуется

вычислить

Рис. 4. 2

А

объем тела, ограниченного сверху

(f (x; y)≥ 0), снизу – конечной

непрерывной поверхностью

z = f (x; y)

замкнутой областью σ

б

i

i

плоскости 0xy

и с боков – цилиндрической

поверхностью,

и

на границе области σ и

имеющей

построенной

образующие, параллельные оси 0z (рис. 4.2).

С

Делим область

σ на элементарные области ∆σ . В каждой ∆σ

с этим дается следующее определение. Пусть функция

f (x; y)

определена в некоторой области σ . Делим область σ

на

n

элементарных частей ∆σi . В каждой части ∆σi

выбираем по одной

точке Ρi (ξi ;ni ) и составляем выражение

Sn = ∑ f (ξi ; ni ) ∆σi ,

i

f (x; y)

которое называется интегральной суммой для

функции

в

S = lim

∑ f (ξi ; ni ) ∆σi ,

σ

λ→0

i

И

σ

который не зависит

от способа деления области

σ

на части σi и

интегралом

от функции f (x; y)

по области и

обозначается

∫∫ f (x; y)dσ ,

или

∫∫ f (x; y)dxdy .

Здесь

f (x; y)

называется

подынтегральной функцией;σ – областью интегрирования; x

и y –

переменными интегрирования; dσ (илиДdxdy ) – элементом площади.

Таким образом, по определению,

) ∆σ

∫∫

f

(x; y)dxdy = lim∑ f (ξ

;n

i

.

Аi

i

σ

λ→0 i

Функция f (x; y)

называется интегрируемой в области σ . Всякая

б

f (x; y)

непрерывная в огран ченной замкнутой области σ функция

интегрируется в нейи. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением

только непрерывных функций.

С

Свойства двойного интеграла

и пусть функция

f (x, y) непрерывна в области σ .

Тогда существует точка (ζ ;η) σ , для которой выполнено

равенство

∫∫ f (x; y)dxdy =f (ζ ;η)

σ

.

σ

И

Область σ

Д

на плоскости x0y назовем

простой областью:

1) относительно оси

0x

если она ограничена сверху линией

y =ψ (x), снизу

y =ϕ(x)

[функции ψ (x)

и ϕ(x) непрерывны] и с

боков отрезками прямых x = a

А

и x = b (рис. 4.3); в частных случаях

б

и

С

Рис. 4.3

Рис. 4.4

2) относительно оси

0y, если она ограничена слева линией

x =ψ1

(y), справа x =ϕ1

(y)

[функции ψ1

(y)

и ϕ1(y) непрерывны] и

b ψ

(x)

b ψ (x)

∫∫ f (x; y)dxdy = ∫

∫ f (x; y)dy dx = ∫dx ∫ f (x; y)dy ,

σ

a ϕ(x)

Д

a ϕ(x)

где σ – простая область относительно оси 0x ;

d

ϕ1

(y)

И

∫∫ f (x; y)dxdy = ∫dy

∫ f

(x; y)dx ,

σ

c

ψ1 (y)

где σ – простая область относительноАоси 0y .

В случае прямоугольной о ласти σ , ограниченной прямыми

x = a , x = b , y = c , y = dб(р с. 4.7)

формула перехода от двойного

и

интеграла к повторному

меет вид

С

∫∫

f (x; y)dxdy = d dyb

f (x; y)dx .

∫

∫

σ

c

a

то

Заметим, что если область σ не является простой областью,

ее разбивают на конечное число простых областей σ1 , σ2 , …, σn

и

b

b ψ (x)

b

ψ (x)

V = ∫S(x)dx = ∫

∫ f (x; y)dy dx = ∫dx ∫ f (x; y)dy.

a

a

ϕ(x)

a

ϕ(x)

Рис. 4.8

И

Рис. 4.7

Масса материальной пластины

Приведём формулу для вычисленияДмассы материальной

двумерной пластинки σ , если в каждой точке известна её плотность

ρ(x; y).

А

m =

∫∫ρ(x; y)dxdy.

σ

Пример 1.

б

Измен ть порядок интегрирования в двойном

интеграле

и

С

2

1+x2

∫dx

∫ f (x; y)dy .

0

0

записываем уравнение четырех линий,

ограничивающих

область

интегри-

y

√5

рования σ ; x=0; x=2; y=0;

y =

1+ х2 .

y =

х2 +1

Строим эти линии. Разрешаем уравнение

дуги гиперболы

y =

1+ х2

относитель-

σ1

но абсциссы

x =

y2 −1.

Область

1

x

σ2

интегрирования

σ

не

принадлежит ко

0

2

2-му типу, т.к. слева ограничена двумя

Рис. 4.9

различными

линиями

x=0

и y =

1+ х2

.

Поэтому прямой y=1

разбиваем ее на две области 2-го типа: σ1 и σ2

(рис. 4.9). Тогда

2

1+х2

∫dx

∫

f (x; y)dy = ∫∫ f (x; y)dxdy = ∫∫ f (x; y)dxdy + ∫∫ f (x; y)dxdy =

0

0

σ

σ1

σ 2

1

2

2

5

= ∫dy∫

f (x; y)dx +

∫dy

∫ f (x; y)dx .

0

0

1

y2−1

Пределы интегрирования в повторном интеграле определяются

Пример 2. Вычислить двойной

интеграл

x

dxdy ,

если

область

∫∫

Иσ y

ограничена

параболами

y = x2

и

Д2

x = y

(рис. 4.10).

Решение. Область σ (см. рис.

А

4.10) – простая вида 1. Она

ограничена снизу кривой

ϕ(x)= x2 ,

б

Рис. 4.10

и

сверху – кривой

x = y

2

, т.е.

y =

x

или

ψ(x)= x

2

(перед

радикалом

ставим

только

знак

“+”,

так

как

область

σ находится

в

I

квадранте,

где

y > 0);

при

любом

С

x из отрезка [0;1]

y

меняется от

y = x

2

до

фиксированном значении

y =

. Поэтому при f (x; y)=

x

имеем

x

y

x

1

x

1

1

1

x

x

x

∫∫

dxdy

= ∫

∫

∫

|

y

y

dy dx = ∫

x ∫

y

dy dx =

x ln y

dx =

σ

0

x2

0

x2

0

x2

1

1

1

1

3

=

x − ln x2 )dx

ln x −

∫ x(ln

=

∫ x

2

2ln x dx

= ∫ x −

2

ln x dx =

0

0

0

= −

3

1

= −

3

1

x

2

1

1

1

2 dx

=

2

∫ x ln x dx

2

2

ln x | −

2

∫ x

x

0

0

0

3

1

1

1

3

1

x2 1

3

1

3

= −

2

2

1 ln1

−

2

∫ x dx

= −

2

−

|

=

4

2

=

8

.

0

2

2 0

lim x2 ln x = lim ln x

= lim

(ln x)′

= − lim

x3

= −

1 lim x2

= −

1

0 = 0.

′

2x

2

x→0

x→0

1

x→0

1

x→0

2 x→0

x2

2

x

И

Пример 3. Вычислить двойной интеграл ∫∫

x

dxdy , если область

σ

2

ограничена слева кривой x = 2 + sin y, справа

− прямой

x = 0 и с боков

прямыми y = 0;

y = 2π.

Д

Решение.

Область

σ

(рис. 4.11)

является простой вида 2. При любом

фиксированном

y из отрезка [0;2π]

x

меняется

от

x = 0

б

до

x

= 2 + sin y .

Поэтому имеем

2π 2+sin y

А

x = 2 + sin y

x

x

∫∫

dxdy =

∫

∫

dx

dy =

2

2

σ

0

0

С

2π

2

2

+sin y

=

∫

x

dyи=

Рис. 4.11

0

4