3.

Вычислить площадь фигуры,

ограниченной кривой

y2 = x,

прямой y =1 и вертикалью x =8 .

4.

Вычислить площадь фигуры,

ограниченной кривой

y = tg x ,

осью абсцисс и прямой x = π .

5.

3

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной

параболой

y = 2x − x2 и прямой y = −x.

6.

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной

параболами

y =

x2

и y = 4 −

2x2

.

3

3

ограниченной кривыми y = ex ;

7.

Вычислить площадь фигуры,

y = e−x

и прямой x =1.

И

Ответы

Д

1.

32 . 2. 1. 3. 17

. 4. ln 2

. 5.

9

. 6.

32

. 7. e +

1 −2.

3

4

А

e

2

3

б

§4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

и

Интегралы с бесконечными пределами или от разрывных

функций называются несобственными.

Несобственные

интегралы

с

бесконечными

пределами

интегрирования определяются посредством предельного перехода:

С

∞∫ f (x)dx = blim→∞ b∫ f (x)dx ;

a

a

b

b

f (x)dx ;

∫

f (x)dx = lim ∫

−∞

a→−∞ a

∞

f (x)dx =

c

b

f (x)dx,

∫

lim ∫

f (x)dx + lim ∫

−∞

a→−∞ a

b→∞ c

Пример

1.

Установить

сходимость

или

расходимость

несобственного интеграла

∞ dx

.

∫

Решение.

1 x

2

x

−2

+1

∞

b

b

∫ dx = lim

∫ dx

= lim

∫ x−2dx

=

lim

|b = lim −

1 −(−1) =

1 x

2

b→0

1 x

2

b→∞

1

b→∞

−

2 +1

1

b→∞

b

= lim

1

+ lim1

= 0 +1

=1.

А

И

b→∞ b

b→∞

Следовательно, интеграл сходитсяД.

или

расходимость

Пример

2.

Установить

сходимость

несобственного интеграла

∞ dx

(a >1).

∫

С

a x

Решение.

По определенбю, имеем

∞ dx

= lim

b dx

= lim ln x

b

= lim (ln b − ln a)= ∞ − ln a = ∞.

∫

|a

x

и∫

b→∞

a

b→∞ a x

b→∞

Следовательно, интеграл расходится.

Пример

3.

Установить

сходимость

или

расходимость

несобственного интеграла

∞ sin x

dx .

1∫

x5

sin x

1

Решение. Так как

sin x

≤1

,

то

≤

, т.е. подынтегральная

x5

x5

функция удовлетворяет неравенству

f (x)

≤

M

, где m = 5 >1 и M ≤1.

xm

0

0

0

1 lim e3x

0a =

∫

e3xdx

= lim

∫e3xdx = 1

lim

∫e3xd(3x) =

−∞

a→−∞ a

3 a→−∞ a

3 a→−∞

=

1

lim

(е3а

−

е0 )=

1

(е−∞

−1)=

1

1

−1

=

1 (0 −1)

= 1 .

3

3

3

а→−∞

е∞

3

3

Следовательно, интеграл сходится.

Задачи для самостоятельного решения

И

Установить сходимость или расходимость интегралов.

∞

dx

∞

∞

∞

dx

∞

∞ ln xdx

1.

∫

.

2. ∫

cos xdx

. 3. ∫ e−xdx. 4. ∫

.

5. ∫ ln xdx . 6.

∫

.

1

x

0

0

Д

1

1

x2

−∞ x2 +1

7.

∞

dx

. 8.

∞

dx

.

∫

x5

∫

x ln x

1

2

б

и

Ответы

1. Интеграл расход тся.

2А. Интеграл расходится.

3. 1.

4. π .

С

6. 1.

7. 2 .

8. Интеграл расходится.

5. Интеграл расход тся.

а) 1∫

5x4 − x2

х + 23 dx;

б) 9∫

y −4 dy ; в)

∫(2x −π )sin xdx .

π

0

х +1

+ 2

4

y

0

∞

dx

И

интеграла

2∫

x ln3 x .

Вариант 2

1. Вычислить определенный интеграл:

x − 2

2

dx

а) ∫

dx ;

б) ∫

2 ; в) ∫

x3 ln xdx .

2

−1

e

Д1

б

1

x

−2

(8 +3x)

2.

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной графиками

1

и

А

функций

y

=

x

2

+1

y =

2

x .

3. Установить

сход мость

или расходимость несобственного

интеграла

∞

dx

.

2∫

x ln x

С

Вариант 3

1. Вычислить определенный интеграл:

1

а) ∫

x −1 3 dx ; б) ∫

e

y

+1dy

; в)

∫ (x +1)dx .

1

(

)

2

π /3

sin2 x

0

1

y2

π /6

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками

функций

y = x2 / 2; y = x3 / 8.