Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1634

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

	Доказательство.						на a,b принимает свое наименьшее
	Непрерывная функция y f (x)						на a,b принимает свое наименьшее
значение m и наибольшее M на данном отрезке. То есть на a,b										верно
неравенство m f (x) M . Проинтегрировав данное неравенство с учетом
				b	b		b
свойства 9, получим mdx f (x)dx Mdx.
				a	a		a
							b
	По	свойству		5	имеем		m(b a) f (x)dx M(b a),			или
	b						a
	b
	f (x)dx
m a		M .
	b a
	Непрерывная функция принимает все промежуточные значения (тео-
рема Коши), поэтому найдется точка c a,b , для которой верно равенст-
	b
	f (x)dx
во a		f (c), из которого следует утверждение теоремы.
	b a
	§3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
						x
	Рассмотрим функцию Ф(x) f (t)dt , где x a,b .
						a
			y f(x)			Геометрический смысл данного интеграла
			y f(x)		в случае		f (x) 0 – площадь криволинейной
					трапеции с основанием a,x (рис. 9).
						Заметим, что Ф(x) – возрастающая функ-
					ция (при		f (x) 0).
0	a	x	b			Т е о р е м а . Связь определенного и не-
0	a	x	b		определенного интегралов.
		Рис. 9			определенного интегралов.
		Рис. 9
	Определенный			интеграл		с	переменным	верхним	пределом
	x
F(x) f (t)dt			является первообразной для f (x).
	a
	Доказательство.
	Для доказательства теоремы достаточно доказать, что F'(x) f (x).
Так как F'(x) lim				F(x x) F(x), то рассмотрим разность
			x 0		x

		x x	x	x	x x	x
F(x x) F(x)		f (t)dt f (t)dt f (t)dt			f (t)dt f (t)dt
		a	a	a	x	a
	x x
	f (t)dt f (c) (x x) x f (c) x.

Последнее равенство получено на основании теоремы о среднем значении определенного интеграла; ()с x x;x . Поэтому

	F'(x) lim	f (c) x	lim f (c) f (x).

	x 0	x	x 0
При x 0	x x x, поэтому		( )c ( )x (рис. 10).

x x

Рис. 10

Итак, F'(x) f (x). Теорема доказана. Следствие.

f (x)dx f (t)dt C.

Т е о р е м а . Формула Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим y f (x)	непрерывную на a,b функцию. Пусть F(x)
	b
любая первообразная для	f (x) на a,b . Тогда f (x)dx F(b) F(a).
	a
	x
Доказательство. Рассмотрим Ф(x) f (t)dt . По предыдущей теоре-
	a

ме Ф(x) первообразная для f (x). По условию F(x) еще одна первообразная. Известно, что любые две первообразные отличаются на константу,

		x
то есть Ф(x) F(x) C;		a x b. Или f (t)dt F(x) C.
		a
		a
При x a	равенство имеет вид f (t)dt F(a) C, поэтому
0 F(a) C; C F(a).		a
0 F(a) C; C F(a).
x	f (t)dt F(x) F(a).
Получили	f (t)dt F(x) F(a).

При x b			b	f (t)dt F(b) F(a).

			a
Теорема доказана.
Примеры:					b
b
1. sindx cosx						cosb cosa.
a						a
1	x		3	1	3			0	3	1

2. x2dx					1						.
						3
0		3		0			3			3

Формальное использование формулы Ньютона-Лейбница без учета условий ее применимости может привести к неверному результату. Рассмотрим интеграл

1		dx			1
				arctgx				arctg1 arctg( 1)								.
	1 x		2	arctgx				arctg1 arctg( 1)								.
	1 x					1				4				4	2
1						1
Формула применена верно, так как F(x) arctgx непрерывна при всех
x, в частности на 1; 1 и F'(x) arctgx '									1	f (x). Теперь рассмот-
x, в частности на 1; 1 и F'(x) arctgx '										f (x). Теперь рассмот-
								1 x2							1
					1						1				1		2
		F (x) arcctg			1						1					x	2
рим функцию							.	Заметим, что	arcctg				'			x		. По-
рим функцию							.	Заметим, что	arcctg				'					. По-
		1				x						x			1 1x 2
						x						x			1 1x 2

1	dx		1		1
этому			arcctg
		2		x
11 x					1

arcctg1 arcctg( 1)		3			.
			2
4	4			2

Получили два разных результата вычисления одного и того же интеграла. Ошибка сделана во втором варианте вычисления. При x 0 1; 1

функция y arcctg 1 разрывна, поэтому не может быть первообразной. x

При этом если бы интеграл мы рассматривали по любому отрезку, не со-

2 dx

держащему 0, например, 11 x2 , то в качестве первообразной можно было

бы выбрать и функцию y arctgx и y arcctg 1. x

§4. Замена переменной в определенном интеграле

Т е о р е м а . Рассмотрим интеграл f (x)dx. Выполним замену

x (t); dx '(t)dt при условиях:

1.x (t) непрерывно дифференцируема на A; B .

2.a; b множество значений функции x (t).

3.y f (x) непрерывна на a; b .

	b		B	f (t) '(t)dt, где a (A);
Тогда f		(x)dx		f (t) '(t)dt, где a (A);												b (B).
	a		A
Примеры:
			замена
			замена
1	xdx		t x2 1;				1	2	dt	1			2	1	ln2 ln1 ln
			t x2 1;

1.			dt 2xdx;								ln	t					2	.
	2		dt 2xdx;								ln	t					2	.
	2					2				2				2
0	1 x		при x 0		t 1;	2		1 t		2			1	2
0			при x 0		t 1;			1 t					1
			при x 1		t 2.

	a					x asint;
	a											2
2.	x2			a2 x2dx		dx acostdt;				a4		sin2 tcos2 tdt
	0					при0 x a,0 t			.			0


	a2 2					a4 2		2
			sin2					a4			1		2	a4	a4
								a4			1		2	a4	a4
					2tdt		(1 cos4t)dt		t			sin4t				.
	4				2tdt	8	(1 cos4t)dt		t		4	sin4t				.
	4	0				8	0	8			4		0	8 2 16

Проверим правильность выполнения замены переменных в данном примере:

1)	f (x) x2	a2 x2 – непрерывна на		0;	a ;
	x asint
2)		– дифференцируема на	0;			;
				2

x' acost – непрерывна на
	0;			;
	0;		2	;
			2
3) при изменении t от 0 до		x asint возрастает от 0 до a.
3) при изменении t от 0 до		x asint возрастает от 0 до a.
2

Итак, замена выполнена верно.

3. dx x	.
0	0

Рассмотрим другой способ решения:

																														t tgx;
								dx																dx						dt					dx			;			0		dt			0 !
dx								dx																dx									cos2 x										dt
dx			sin			2	x cos						2	x						cos		2	x(1 tg				2	x)					cos2 x									1 t		2
0	0		sin				x cos							x	0					cos			x(1 tg					x)		x 0 t 0;											0	1 t
0	0														0															x 0 t 0;											0
																														x 0 t 0.
Результат 0 неверен, так как замену t tgx																																		в данном примере исполь-
зовать нельзя: функция t tgx																					разрывна при x														0,				.
зовать нельзя: функция t tgx																					разрывна при x														0,				.
	2																			2												2
	2			dx					1								x			2			1	arctg1 arctg( 1)															1
4. а)											arctg																																				.
4. а)				2	4				2		arctg						2						2																								.
	2 x				4				2								2		2				2																2 4						4 4
								x		1		;
										1

										t				dt
	2			dx										dt	;										2			dt									2				dt
	2			dx				dx t2							;										2			dt									2				dt
																								1												1
б)
б)		x2 4																		1									1
	2	x2 4																		1					1	2			1								1			4t2 1
								x 2,t													;				2 t			4									2
																															t2
																				2
																1				2
								x 2,t								1		.
								x 2,t										.
															2

			1
	1	arctg2t	2
	1

2			1
			2

4 4

Получили ошибочный результат, так как замена x 1 не может быть t

использована, потому что t 0 2; 2 точка разрыва.

§5. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Рассмотрим функции u u(x); v v(x) непрерывные вместе со своими частными производными u'(x), v'(x) на a, b .

d(uv) du v u dv; udv d(uv) v du.

Проинтегрируем по отрезку a, b :

b b b

udv d(uv) vdu.

a a a

d(uv) (uv)'dx (uv)

Поэтому

udv uv

vdu.

Получили формулу интегрирования

по частям по a, b .

Примеры:

u x, du dx;

xex

1 1

1. xexdx

dv e

dx, v e

exdx (e 0) ex

e (e e0) e0 1.

u ln x,

;

2. ln xdx

xln x

(elne 1ln1) dx

dv dx,

v x.

1 1

e (e 1) 1.

1	u arctgx,					du			dx		;		1	1		xdx
1									dx				1	1
3. arctgxdx								1 x2				xarctgx
3. arctgxdx								1 x2				xarctgx				2
0	dv dx, v x.												0	0	1 x
0	dv dx, v x.												0	0
	1		x	2			1			1


(arctg1 0)		ln			1						(ln2 ln1)				ln 2.
(arctg1 0)		ln			1						(ln2 ln1)				ln 2.
	2						0	4		2				4
	2						0	4		2				4

§6. Несобственные интегралы

Определенным интегралом в собственном смысле слова (собственным интегралом) называется интеграл от непрерывной функции по конечному отрезку. При нарушении хотя бы одного из этих условий получаем несобственный интеграл.

Несобственным интегралом I рода (интегралом с бесконечным преде-

лом интегрирования) называют интеграл f (x)dx, где f (x) непрерывна

на a, .

О п р е д е л е н и е 1 . Несобственным интегралом I рода называют число, равное пределу

			N		С, интегралсходится;
			N
	f (x)dx	lim		f (x)dx	, интегралрасходится к ;
	f (x)dx	lim		f (x)dx	, интегралрасходится к ;
a		N a
					несуществует, интеграл расходится.

Если этот предел существует и равен числу С, то говорят, что несоб-

ственный интеграл сходится и равен С:

f (x)dx C .

Если предел не существует или равен ,

то говорят,

что интеграл

f (x)dx расходится.

Геометрический смысл. Пусть

f (x) 0

на a, .

Тогда

f (x)dx S(N),

значение интеграла

S(N)

равно площади криволинейной тра-

пеции.

Рис. 11

Тогда

f (x)dx

lim S(N), и

несобственный интеграл равен площади криволинейной трапеции с беско-

нечным основанием (рис. 11).

Примеры:

lim e

1. e

dx lim

N 0

lim e

lim

1 1.

y x

Интеграл сходится, равен 1 (рис. 12).

Площадь криволинейной трапеции

Рис. 12

ST = 1.

N dx

lim

ln x

N 1 x

lim

ln N ln1

lim ln N .

Интеграл расходится к бесконечности

(рис. 13).

Рис. 13

lim

( cosN cos0)

sin xdx

lim

sin xdx

cosx

lim

(1 cosN).

Предел не существует, т.е. интеграл расходится, его значение не определено.

О п р е д е л е н и е 2 . Несобственным интегралом f (x)dx назы-

вается предел

a		a
f (x)dx	lim		f (x)dx
f (x)dx	lim		f (x)dx	.
	N N

Сходимость или расходимость определяются так же, как в предыдущем определении.


О п р е д е л е н и е 3 . Несобственный интеграл f (x)dx разбива-

a
ется в сумму f (x)dx	f (x)dx, где a – произвольное число.
	a

Интеграл f (x)dx сходится, если сходятся оба указанных интеграла.

Если хотя бы один из них расходится, то f (x)dx расходится.

Основные свойства интегралов с бесконечными пределами

1.	f (x)dx и	f (x)dx сходятся или расходятся одновременно.
	a	b
Действительно,
		b	b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx С.
a	b	a

		собственный				c
		N	интеграл			c
		N	lim c N c a
2. cdx		lim cdx	lim c N c a		,	S
a		N a	N
значит, интеграл расходится (рис. 14).						a
						a
						Рис. 14
3. Если	f (x) 0, то		f (x)dx	либо сходится,		Рис. 14
3. Если	f (x) 0, то		f (x)dx	либо сходится,

либо расходится к бесконечности.

Действительно, Ф(N) f (x)dx является воз-

растающей функцией. При N возрастающая функция стремится к конечному пределу или к

Ф (N )

a N

Рис. 15

(рис. 15).

4. Признак сравнения неравенством.			Пусть	f (x) и (x)		– непре-
			Пусть	f (x) и (x)		– непре-
	y (x)	рывные на a, функции, при-
	y (x)	чем	выполняется		неравенство
		0 f (x) (x) на a, . Тогда

	y f (x)		а) если	(x)dx		сходится,
				a
a
a	Рис. 16	то f (x)dx тоже сходится;
	Рис. 16	a

б) если	f (x)dx расходится, то	(x)dx расходится (рис. 16).
	a	a	lim f (x) k ,
5. Признак сравнения отношением. Если			lim f (x) k ,		k 0; k ,
			x g(x)

то интегралы f (x)dx и	g(x)dx сходятся или расходятся одновременно.
a	a

Хотя в случае сходимости значения этих интегралов могут существенно различаться, даже в случае k 1; a b.

Чаще всего исследование сходимости несобственных интегралов на основании признаков сравнения неравенством или отношением проводят

сравнением с интегралом 1 xp . Выясним, при каких p он сходится.

Если p 1, то

lim ln

ln1 , т.е. интеграл

lim

расходится.

Если p 1, то интеграл сходится:

lim x pdx

lim

N 1

N (1 p)xp 1

N 1 p N p 1

p 1

N1 p 1 , инте-

Если p 1, то

lim x pdx

lim

грал расходится.

N 1

N 1 p

dx сходится при p 1;

Итак, получили, что

расходится при p 1.

Примеры:

												dx
1. Исследуем сходимость интеграла															. Используем для срав-


dx									0	3 x2 1
dx			p			2		1, то интеграл расходится.
нения интеграл		. Так как
нения интеграл	2	. Так как				3
0	x 3			1		3

												x	2			0
		3
		3	x	2	1
Заметим также, что lim			x		1		lim		3					1		, поэтому, исполь-
Заметим также, что lim				1			lim		3			2		1		, поэтому, исполь-
		x		1				x			x	2	1
		x	x	2	3			x			x		1
			x		3

зуя признаки 1 и 5, устанавливаем расходимость исследуемого интеграла.

Интеграл

сходится,

т.к.

сходится

интеграл

0 x 1

Кроме того, lim

lim 3

1 x 2

x3 1

что позволяет использовать свойства 1 и 5.

6. Если

f (x)

сходится,

то f (x)dx

также сходится. В этом слу-

чае

f (x)dx

называется абсолютно сходящимся, а функция

y f (x) аб-

солютно интегрируемой на a, .

Пример:

sin x

dx сходится абсолютно,

( p 2 1) сходит-

Интеграл

т.к.

sinx

ся и верно неравенство

(использовали признак сравнения нера-

венством).

Несобственные интегралы II рода (интегралы с бесконечными разрывами подынтегральных функций)

Рассмотрим функцию y f (x), определенную и непрерывную наa,b . Но в точке b, например, функция имеет разрыв.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021321.16 Кб5163.pdf
#
07.01.20211.44 Mб71630.pdf
#
07.01.20211.44 Mб71631.pdf
#
07.01.20211.45 Mб251632.pdf
#
07.01.20211.45 Mб51633.pdf
#
07.01.20211.45 Mб61634.pdf
#
07.01.20211.45 Mб31635.pdf
#
07.01.20211.45 Mб31636.pdf
#
07.01.20211.45 Mб41637.pdf
#
07.01.20211.46 Mб411638.pdf
#
07.01.20211.46 Mб141639.pdf