Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1634

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Таблица интегралов

1.0dx C.

2.1dx dx x C.

xndx

xn 1

n 1.

n 1

x 0.

axdx

a 0, a 1;

lna

exdx ex C.

6.cosxdx sinx C.

7.sinxdx cosx C.

tgx C .

cos

ctgx C .

sin

10.

arctg

arcctg

a 0.

2 a2

x a

a 0,

x a.

11.

2 a2

x a

12.

arcsin

C arccos

a 0.

a2 x2

13.

x2 a

a 0,

x2 a

Формулы 1 9 таблицы получаются непосредственно из таблицы производных простым обращением соответствующих формул. Формулы 10 13 будут выведены позже в разделе «Замена переменных». Их правильность можно проверить дифференцированием.

Вычисление интегралов на основании таблицы и с помощью основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием. Метод заключается в преобразовании интеграла в сумму табличных интегралов.

Примеры:

1. (x 37x 22x)dx (x2 37 x3 4x)dx x2dx 37 x3dx 4xdx

33 7

x x

x3 x

ln4

x3 3x x2x 1

dx ( x2 3 2x

)dx

x2dx

3 dx 2xdx

ln2

sin2x cos2x

dx tgx ctgx C.

sin

xcos

sin

xcos

sin

cos

5 3x2

x2 (5 2x2)

5x2 2x4

x2(5 2x

(5 2x2)

5 2x2

x 2dx

5 2x2

x2(5 2x2)

arctg

5. tg

xdx

1 dx

dx tgx x C.

cos2x

2 x

sin

cos

sin

cos

2sin

cos

dx 1 sinx dx

x cosx C.

x4 7. x2 1.

Разделим числитель на знаменатель:

Отсюда получа-

ем

х4

dx x

x arctgx C.

3 2ctg2x

ctg2x

dx 3

cos2x

sin2x

3tgx 2ctgx C.

9.					cos2x								dx				cos2 x sin2 x						dx			(cosx sinx)(cosx sinx)									dx
9.													dx										dx												dx
		cosx sinx															cosx sinx															cosx sinx
(cosx sinx)dx sinx cosx C.
						3													2
				х		3		8						(		x 2)( x			2	2				x 4)										1
10.				х				8			dx			(		x 2)( x				2				x 4)			dx					(x 2x		2 4)dx
10.											dx																dx					(x 2x		2 4)dx
			2						х								2				x
			2							3									2
										2
	x							2x		2										4
	x							2x				4x						x		4		x x 4x								C.
												4x										x x 4x								C.
		2					3			2										3
		2								2							2			3

															Задачи для самостоятельного решения
			Вычислить следующие интегралы:
																												37				1	dx.
			1. (x2 3)3dx.																			2.			x			37			x	1
			1. (x2 3)3dx.																			2.
																													5 x
																													5 x

	x3			1
3.					dx.
3.					dx.
x2				1
5.				dx				.
5.								.
x2(x2						1)
										8
										8
7.		3cosx 7							x		dx.
7.		3cosx 7							x	x	dx.
				dx						x
9.				dx			.


			6x2 8
			6x2 8

cos2x

dx.

cosx sin x

1 x2

dx.

1 x4

dx.

4 x2

3 x2

10. 3 2x 7x2 8x10 dx.

§3. Интегрирование методом подстановки

Метод основан на применении следующей теоремы.

Т е о р е м а о подстановке под знаком неопределенного интеграла. Пусть функция f (u) на множестве a,b имеет первообразную F(u).

Пусть u (x) функция, имеющая на c,d производную и принимающая на этом сегменте значения, не выходящие из a,b . Тогда верна формула

f (x) '(x)dx F (x) C.

Схема применения метода подстановки состоит в следующем. Пусть надо вычислить интеграл g(x)dx, который не считается непосредственно.

Тогда этот интеграл преобразуют:

g(x)dx f (x) '(x)dx f (x) d (x) f (u)du,

где u (x).

Интеграл f (u)du должен получиться легче, чем исходный. После на-

хождения его первообразной F(u) выписывается ответ для исходного примера по формуле из теоремы: F (x) C .

Метод называется также «Подведение под знак дифференциала».

Примеры:


1. cos7xdx						1			cos7x 7dx				1	cos7xd(7x)		u 7x				1	cosudu
						1							1							1
						7							7							7
						7							7							7
	1		sinu C				1			sin7x C.
			sinu C							sin7x C.
7			x3dx 1		7					4x3dx				dx4
2.											1				u x4		1		du			1	arctgu C
											1						1		du			1

		1 x8		4				1 ( x4 )2			4	1 ( x4 )2					4	1 u2				4
		1 x8		4				1 ( x4 )2			4	1 ( x4 )2					4	1 u2				4

1arctgx4 C.

1 3dx

d(3x 2)

1 du 1

u 3x 2

2 3x

3x 2

1ln3x 2 C.

4. ctgxdx

cosx

dsinx

u sinx

C ln

sinx

x2 a2

x a

d( x a)

x a

С.

x a

В этом примере мы не выписывали, чему равны функции u(x)

в полу-

чившихся интегралах, держа их «в уме». В простых случаях так и будем поступать.

		exdx								dex					1				ex
6.																arctg					C.
6.		4 e2x							(ex )2				4		2	arctg		2			C.
					2			1										1				1						1			sin2x
7.	cos						xdx			(1 cos2x)dx										x					cos2xd(2x)				x				C.
7.	cos						xdx	2		(1 cos2x)dx										x		2			cos2xd(2x)			2	x		2		C.
								2										2				2						2			2
8. sin				3		xdx sin					2		sinxdx (1 cos										2							cos3x
				3							2	x											2									C.

																								x)dcosx cosx
																													3
																	1											3
			3lnx 8									1					1									1 (3lnx 8)		3	2
9.			3lnx 8					dx				1		(3lnx 8)2 d(3lnx 8)												1 (3lnx 8)			2	C
9.								dx						(3lnx 8)2 d(3lnx 8)																C
							x					3														3	3
							x					3														3	2

(3lnx 8)3

arcsin3 x

arcsin4 x

10.

arcsin3 xd(arcsin x)

1 x2

Замена переменных может проводиться еще по одной схеме. Рассмотрим ее на примерах.

Примеры:

1. cos(7x 3)dx.

Обозначим аргумент косинуса одной буквой: t 7x 3. Теперь вычисляем равенство для дифференциалов:

t'dt (7x 3)'dx; dt 7dx.

Отсюда dx dt . 7

Теперь выполним замену:
	t 7x 3;				dt		1		1
cos(7x 3)dx	dt 7dx;			cost	dt		1	costdt	1	sint C
cos(7x 3)dx	dt 7dx;			cost				costdt		sint C
	dx	1	dt.	7		7		7
	dx		dt.
	7

1sin(7x 3) C

(в конце вместо t вновь подставили его значение 7х+3).

3x2 6x 1

x3 3x2 x 5 t;

dt (3x2 6x 1)dx.

3dt

3x2 x 5 2

t 3

C 3

t C 3 x

x 5 C.

sinx

cosx t;

3. tgxdx

C ln

cosx

dt sinxdx.

xdx

t x2 a;

dt 2xdx;

xdx

6sinx 3 t;

1 t

5. cosx

t2dt

6sinx 3dx

dt 6cosxdx;

cosxdx

(6sinx 3)3

tgx

6. tg

xdx

tgx tg

xdx

tgx

1 dx

tgx dx

cos2x

sinx

cosx t;

cosx

dt sinxdx.

cos

cosx

2cos2x

;

t t

1 x

dx.

1 ex ;

exdx

2tdt

1 ex

;

t2 1

2 1 ex

dt.

t2 1

t 1

dt 2 dt

2 t

t 1

21 ex ln 1 ex 1 C 21 ex 2ln( 1 ex 1) x C.

1 ex 1

t 3x 8;

1 t101

(3x 8)101

100

9. (3x 8)

dt 3dx;

3101

303

10.I

x arctg

xdx

arctgxdx

1 x

Вычислим эти интегралы отдельно :

xdx

t x2 1;

dt 2xdx;

ln1 x2

x2 1

t 2

xdx

arctgx

t arctgx;

tdt

arctg

1 x

1 x2

Итак, I 1ln x2 1 arctg2x C. 2 2

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы методом подведения под знак дифференциала (или заменой переменной).

1.			dx
						.
	3
	3		5 3x
		cos		1
		cos
3.			x		dx.
3.			x2		dx.
5.			arcsinx				dx.


			1 x2
7.		2x 5x3 dx
									.
									.
				1 x4

9.			3tgx 7					dx.
9.			cos2x					dx.

x arctgx 11. 1 x2 dx.

1 tgx

13. cos2x dx.

2. 26x 3.

4. xdxlnx.

6.	dx	.

	4x x2
	4x x2

8. 2x 3 x 1dx.

10. x2sin(3x3 4)dx.

12. cosx 72sin x 4dx.

14.		dx	.

		x2 1
	x

§4. Интегрирование по частям

Рассмотрим тождество d(u ) ud du или ud d(u ) du, где u u(x); (x) – две функции, имеющие на данном сегменте производ-

ные, причем существует интеграл u(x) '(x)dx ud . Тогда

ud d(u ) du d(u ) du.

Так как d(u ) u C, то
ud u du.	(1)

Формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Метод заключается в сведении интеграла ud к более простому интегралу du.

Простейшие виды интегралов, вычисляемых по частям

1. xnsinxdx.

3. xnaxdx.

5. xnarctgxdx.

7. xnarcsinxdx.

9. excosxdx.

2. xncosxdx.

4. xnlog xdx.

6. xnarcctgxdx.

8. xnarccosxdx.

10. exsinxdx.

В этих интегралах указано, что следует обозначить за u(x).

Схема вычисления интегралов по частям состоит в следующем. Сначала интеграл разбивается на части u(x) и d (x). Затем вычисляются

du u'(x)dx и (x) d (x). Теперь можно применить формулу (1).

Примеры:

u x du dx;

x sin xdx

d sin xdx d sin xdx cosx.

При вычислении (x) константу интегрирования опускают.

x ( cosx)

cosxdx xcosx

cosxdx xcosx sinx C.

sin xdx

u x2 du 2xdx;

d sin xdx sin xdx cosx.

x2( cosx) cosx 2xdx x2 cosx 2 xcosxdx.

u d

Получившийся после применения формулы (1) интеграл более простой, но для его вычисления нужно еще раз применить формулу (1).

u x du dx;

d cosxdx cosxdx sinx. x2cosx 2 xsinx sinxdx

x2cosx 2 xsinx cosx C.

3. Вместо xn в интеграле может быть многочлен любой степени:

(3x

u 3x2 6x 7 du (6x 6)dx;

7)sinxdx

dv sinxdx v sinxdx cosx.

(3x2

6x 7)( cosx) ( cosx)(6x 6)dx

u x 1;du dx;

(3x2

6x 7)cosx 6

( x 1)cosxdx

dv cosxdx;

v cosxdx sinx.

(3x2

6x 7)cosx 6( x 1)sinx

sinxdx (3x2 6

x 7)cosx

6( x 1)sinx 6cosx C (3x2 6x 1)cosx 6( x 1)sinx C.

(3x 1)cos7xdx

u 3x 1 du 3dx;

dv cos7xdx v cos7xdx

cos7xd(7x)

sin7x.

(3x 1)

sin7x

sin7x 3dx (3x 1)

sin7x

sin7xd(7x)

(3x 1)

sin7x

cos7x C.

5. x

2e3xdx

u x2 du 2xdx;

e3x

2xdx

dv e3xdx

v e3xdx

u x du dx;

e3x

3 3

3 9

e3x C e3x

6. x 7x dx

u x du dx;

dv 7

dx v 7

ln7

x 7x

ln7

ln2 7

log

xdx

u log8 x du

dx;

xlog

xln8

dv dx v dx x.

xln8

xlog8 x ln8 dx xlog8 x ln8 x C.

u ln x du

dx;

(7x3 3)ln xdx

dv (7x3 3)dx v (7x3 3)dx 7

3x.

lnx

ln x

3 dx

lnx

9. arctgxdx

u arctgx du

;

xarctgx

xdx

1 x2

dv dx v dx x.

1 x

xarctgx

d(x2 1)

xarctgx

ln(1 x2) C.

1 x

u arcctgx du

;

10. xarcctgxdx

1 x2

arcctgx

1 x2

dv xdx v

xdx

1 (1 x2) 1

arcctg

arcctgx

1 x

1 x2

arcctgx

(x arcctgx) C.

11.I ex cosxdx.

Этот интеграл является круговым (циклическим), вычисляется на основании формулы (1).

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021321.16 Кб0163.pdf
#
07.01.20211.44 Mб31630.pdf
#
07.01.20211.44 Mб11631.pdf
#
07.01.20211.45 Mб201632.pdf
#
07.01.20211.45 Mб21633.pdf
#
07.01.20211.45 Mб21634.pdf
#
07.01.20211.45 Mб01635.pdf
#
07.01.20211.45 Mб01636.pdf
#
07.01.20211.45 Mб11637.pdf
#
07.01.20211.46 Mб241638.pdf
#
07.01.20211.46 Mб21639.pdf