1634

5.

dx

6.

x2dx

.

.

x

3

x

4

x

2

2

1

7.

dx

.

8.

dx

.

x

4

2x

2

(x

2

2

9

4)

9.

x4

2x2 9

dx.

10.

x5 7x3 8x

dx.

(x 1)(x 3)

x

2

3x 22

Введем обозначения:

P(x)

правильная рациональная дробь;

Q(x)

Q1(x)

наибольший общий делитель (НОД) многочлена Q(x)

и его

производной Q'(x);

Запишем равенство

Q2(x) Q(x):Q1(x).

P(x)

dx

X(x)

Y(x)

dx,

(7)

Q(x)

Q1(x)

Q2(x)

Примеры:

1. Найти

5x2 6x 9

dx.

(x 3)2(x 1)2

Решение:

Q(x) (x 3)2(x 1)2;

5x2 6x 9

Ax B

Cx D

dx

dx.

(x 3)2(x 1)2

(x 3)(x 1)

(x 3)(x 1)

5x2 6x 9

A(x 3)(x 1) (Ax B)(2x 2)

Cx D

.

(x 3)2(x 1)2

(x 3)2(x 1)2

(x 3)(x 1)

Равенство для числителей имеет вид

5x2 6x 9 A(x 3)(x 1) (Ax B)(2x 2) (Cx D)(x 3) (x 1).

Теперь при различных значениях x получаем

x 3

72 4(3A B);

x 1

8 4( A B);

x 1

20 4A 4(C D);

Получим систему

x 0

9 3А 2B 3D.

A 5;

B 3.

Поэтому C 0; D 0.

Таким образом,

5x2 6x 9

5x 3

5x 3

dx

0dx

C.

(x 3)2(x 1)

2

(x 3)(x 1)

(x 3)(x 1)

Ответ:

5x 3

C.

(x 3)(x 1)

2. Найти

dx

dx.

(x2 1)2

Решение.

Q'(x) 2(x2 1) 2x 4x(x2 1);

Q (x) НОД Q(x);Q'(x) x2 1;

1

Q (x) x2

1.

Так как Q1(x) и Q2(x)

2

– многочлены второй степени, то многочлены с

неопределенными коэффициентами X(x)

и Y(x)

имеют первую степень.

Записываем равенство

dx

dx

Ax B

Cx D

dx.

(8)

(x2 1)2

x2 1

x2 1

Для нахождения коэффициентов продифференцируем (8):

1

A(x2 1) (Ax B) 2x

Cx D

.

(x2 1)2

1)2

(x2

x2 1

x 0:

1 A D;

x 1:

1 2A 2(A B) 2(C D);

x 1:

1 2A 2( A B) 2( C D);

x 2:

1 5A 4(2A B) 5(2C D).

Делаем упрощения

A D 1;

2B 2C 2D 1;

2B 2C 2D 1;

3A 4B 10C 5D 1.

Сложим второе и третье уравнения:

1

4D 2; D

,

1

1

2

из первого уравнения A 1

. Из второго уравнения B C, а четвер-

2

2

тое уравнение принимает вид 6C 0, поэтому C 0;

B 0.

Равенство (8) принимает вид

dx

1

x

1

1

x

1

2

2

dx

2

arctgx C.

(x2 1)2

x2 1

x2 1

x2 1

2

1

x

1

Ответ:

2

arctgx C .

x

2 1

2

dx

3. Найти

.

(x

3 1)2

Решение.

Q(x) (x3 1)2;

Q'(x) 2(x3

1) 3x2

6x2(x3 1);

Q (x) НОД Q(x);Q'(x) x3 1;

1

Q (x) x3

1.

2

и Q2(x) – многочлены третьей степени, то X(x) и Y(x)

Так как Q1(x)

dx

Ax2 Bx C

Dx2 Ex F

dx.

(x3 1)2

x3 1

x3 1

Дифференцируя это тождество, получим

1

(2Ax B)(x3 1) 3x2(Ax2 Bx C) Dx2

Ex F

,

(x3

(x3 1)2

1)2

x3 1

или

1 (2Ax B)(x3 1) 3x2(Ax2 Bx C) (Dx2 Ex F)(x3 1).

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

x5

D 0;

x4

E A 0;

x3

F 2B 0;

x2

D 3C 0;

x

2A E 0;

C

B F 1.

Отсюда A 0;B

1

;C 0;D 0; E 0; F

2

, и, следовательно,

3

3

dx

1

x

2 dx

.

(x3 1)2

3

x3 1

3

x3 1

Для вычисления интеграла

dx

разлагаем подынтегральную дробь

x

3 1

на элементарные:

1

L

Mx N

,

x 1

то есть

x3 1

x2 x 1

1 L(x2

x 1) (Mx N)(x 1).

(9)

x2

L M 0;

x

L M N 0;

C

L N 1.

Отсюда находим

1

2

M

; N

.

Поэтому

3

3

dx

1

dx

1

x 2

dx

1

x 1

1

ln(x2 x 1)

ln

x3 1

3

x 1

3

x2

x 1

3

6

1

arctg

2x

1

C.

3

3

Теперь

1 x2 x 1

dx

x

2

2x 1

C.

ln

arctg

(x3

1)2

3(x3 1)

9

(x 1)2

3

3

3

x

1 x2 x 1

2

2x 1

Ответ:

ln

arctg

C .

3 1)

9

2

3(x

(x 1)

3 3

3

Задачи для самостоятельного решения

1.

dx

.

2.

x

2 8x 7

dx.

x(x 1)

2

2

3x 10)

2

(x

3.

2x 3

dx.

4.

3x 5

dx.

(x

2

3

(x

2

2x 2)

2

3x 2)

5.

dx

.

6.

x3 1

dx.

(x

1)(x

2

x

1)

2

(x

2

4x 5)

2

7.

dx

.

8.

dx

.

(x

1)

2

(x

2

1)

2

(x

4

1)

2

dx

4

2x

2

9.

.

10.

x

2

dx.

(x

2

4

2

2

1)

(x

2x 2)

Ответы:

1

x

C.

1.

ln

x 1

1 x

8

27

30

x 5

C.

2.

ln

49(x 5)

49(x 2)

x 2

343

3.

1

C.

2(x2 3x 2)2

4.

2x 1

arctg(x 1) C.

2(x

2 2x 2)

5.

ln

x 1

x 2

5

arctg

2x

1

1

ln(x2 x 1) C.

3(x

2 x 1) 3 3

3

2

6.

3x 17

1

ln(x2

4x 5)

15

arctg(x 2) C.

2(x

2 4x 5)

2

2

7.

x2 x

1

ln

x 1

1

ln(x2

1)

1

arctgx C.

4(x 1)(x2 1)

2

4

4

10. x

x 1

2ln(x2

2x 2) 3arctg(x 1) C.

x2 2x 2

t tg

x

. Отсюда

x 2arctgt;dx

2dt

. Теперь используем тригонометри-

1 t2

2

1 tg

2 x

1 t2

2tg

x

2t

2