1634

Это уравнение в полных дифференциалах. Функцию U найдем из условий

U 1 x;

pU p.

x

Имеем U 1 x dp p xp x .

Дифференцируем по x и используем второе уравнение

Теперь вернемся к прежней неизвестной функции y и запишем уравнение (42) так:

dy

1 x dx С1.

Интегрируя, находим y С1 ln1 x С2.

Это общее решение исходного уравнения.

2) Если дифференциальное уравнение явно не содержит x, например,

F y,y',y'' 0,

получим уравнение порядка на единицу ниже:

Проинтегрировать уравнение второго порядка y y 0.

Решение. Применив подстановку (43), преобразуем уравнение к виду y dp ydy 0.

Это уравнение первого порядка. Общий интеграл его есть

Возвращаясь к прежним переменным x, y, записываем (44) в виде

dy

С12 y2

dx.

Знак включен в постоянную С1.

Это общее решение исходного уравнения. Его можно преобразовать к

виду

y С3 sin x С4 cosx, где С3 С1 cosС2; С4 С1sinС2.

§11. Линейные дифференциальные уравнения

1. Однородные линейные дифференциальные уравнения имеют

где Pi(x),i 1,2,3,...,n – непрерывные функции (коэффициенты уравнения). Общее решение уравнения (45) имеет вид y0 С1y1 С2y2 .. Сn yn, где y1, y2,...,yn линейно независимые решения уравнения (45) (фунда-

ментальная система решений); C1,...,Cn произвольные постоянные. Функции y1, y2,...,yn называются линейно-зависимыми, если сущест-

вуют такие постоянные С1,С2,...,Сn, не равные нулю одновременно, что С1y1 С2 y2 ... Сn yn 0; в противном случае данные функции линейно

цы;

б) продолжить решение уравнения методом вариации произвольных постоянных.

В этом случае общее решение неоднородного уравнения (46) ищется в виде y С1 x y1 С2 x y2 ... Сn x yn, где функции Сi x , i 1,2,...,n определяются из системы уравнений

С1 cosx С2 sin x 0;С1sin x С2 cosx tgx.

§12. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка

спостоянными коэффициентами

1.Однородные уравнения. Линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и q без правой части имеет вид

то общее решение уравнения (52) записывается в одном из следующих трех видов:

1) y С1ek1x С2ek2x, если k1 и k2 вещественны и k1 k2; 2) y ek1x С1 С2x , если k1 k2;

2. Неоднородное уравнение. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

можно записать в виде суммы

y y0 Y,

где y0 общее решение соответствующего уравнения (52) без правой части, определяемое по формулам (1)–(3); Y – частное решение данного уравнения (54).

Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в простейших случаях, указанных в таблице.

В общем случае для решения уравнения (54) применяется метод вариации произвольных постоянных.

Примеры:

1. Найти общее решение уравнения

Остается найти какое-либо частное решение Y уравнения (55). Правая часть (55) имеет вид, указанный в случае 2.1 таблицы, причем P x 3 многочлен нулевой степени и число 1/2 не является корнем характе-

ристического уравнения. Поэтому частное решение (55) будем искать в

r1 1; r2 2, так что общее решение однородного уравнения

y0 С1ex С2e2x.

Правая часть уравнения (56) является многочленом второй степени и число 0 не является корнем характеристического уравнения (случай 1.1 таблицы). Поэтому частное решение (56) будем искать в виде

Y Ax2 Bx C.

Подставляя Y в (56), получаем равенство

2Ax2 2B 6A x 2C 3B 2A x2 3x.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему

2A 1;

2B 6A 3;

2C 3B 2A 0,

из которой находим A 1; B 3; C 4, так что

2

Y1 x2 3x 4. 2

Общее решение (56) есть

y С1ex С2e2x 1 x2 3x 4. 2

Решение. Здесь P1 x x и число 1 есть двукратный корень харак-

теристического уравнения r2 2r 1 0. Выбираем в таблице случай 2.2: частное решение имеет вид

Y Ax3 Bx2 ex.

После подстановки Y в (58) получаем

6Ax 2B ex xex.

Приравнивая коэффициенты при членах с одинаковыми степенями x, получаем систему 6A 1; 2B 0, так что

Y1 x3ex. 6

Общее решение уравнения (58) есть

1; 2. Комплексные числа i 1 2i не являются корнями ха-

рактеристического уравнения y2 1 0. Уравнение (59) имеет частное решение вида

y ex A cos2x B sin2x .

Поставляя Y в (59), приходим к равенству

2A 4B cos2x 4A 2B sin2x ex 10 ex sin2x

2A 4B 0;

иполучаем систему 4A 2B 10.

Она дает A 2; B 1, так что Y ex 2cos2x sin2x .

Общее решение (59) есть

yС1 cosx С2 sinx ex 2cos2x sin2x .

6.Найти общее решение уравнения

Решение. ЗдесьP x 0; Q x 4x(старшая степень многочленов P и Q – первая); 0; 1. Комплексные числа i i являются корня-

ми характеристического уравнения r2 1 0. Уравнение (60) имеет частное решение вида (случай 3.2)

Y x A1x B1 cosx A2x B2 sin x ;

Y A1x2 B1x cosx A2x2 B2x sin x.

Подставляя в (60), приходим к равенству

4A2x 2B2 2A1 cosx 4A1x 2B1 2A2 sin x 4xsin x

и получаем систему

4A2 0;

2B2 2A1 0;

4A1 4;

2B1 2A2 0.

Она дает A1 1; B1 0; A2 0; B2 1, так что Y x2 cosx xsin x.

Общее решение уравнения (60) есть

y С1cosx С2 sin x x xcosx sin x .

3. Принцип наложения решений. Если правая часть уравнения (54)

нения (54).

§13. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка выше второго

1. Однородное уравнение. Фундаментальная система решений y1, y2,...,yn однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами

А именно:

1) если k есть вещественный корень уравнения (62) кратности m, то ему соответствует m линейно независимых решений уравнений (61):

y1 ekx;y2 xekx;...;yn xm 1 ekx;

2) если i пара комплексных корней уравнения (62) кратности m, то ей соответствует 2m линейно независимых решений уравнения (61):

y1 e x cos x;y2 e x sin x; y3 xe x cos x;y4 xe x sin x;...; y2m 1 xm 1e x cos x;y2m xm 1e x sin x.

2. Неоднородное уравнение. Частное решение неоднородного урав-

Для области ax b 0 вводим новую независимую переменную t, полагая ax b et.

Тогда

и уравнение Эйлера преобразуется в линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

Примеры:

1. Решить уравнение

x2 y xy y 1.

Решение. Полагая x et, получим

получим характеристическое уравнение, из которого можно найти показатель k.

Если k действительный корень характеристического уравнения кратности m, то ему соответствует m линейно независимых решений:

y1 xk ; y2 xk ln x; y3 xk ln x 2,....,ym xk ln x m 1.

Если i пара комплексных корней кратности m, то ей соответствует 2m линейно независимых решений

y1 x cos ln x ;y2 x sin ln x ;y3 x ln xcos ln x ;y4x ln xsin ln x ;...;y2m 1 xa ln x m 1 cos ln x ;y2m

x ln x m 1 sin ln x .

2. Решить уравнение

x2 y 3xy 4y 0.