Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1634

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

1.			2				3		7							x		2
			2				3		7				2. xe						dx.

					2			x			dx.
	x							x		11 x2
	5																		3x
3.	5			tgx 2						dx.			4.						3x					dx.
3.			cos			2	x			dx.			4.	4x x						2				dx.
			cos				x		x 1					4x x								8
5.									x 1			dx.	6. (3x2						8)cos4xdx.
5.												dx.	6. (3x2						8)cos4xdx.
		(x 1)(x 3)(x 7)
																					1		dx.
7. cos2 3x sin2 4xdx.													8.		2x 1						1


																	2x 1

Вариант 13

	2		5			3
1.								dx.
		2	4 x	2	6

1 x							x

4tgx 1 3. cos2 x dx.

x 1

5. (x 5)(x2 7)dx.

7. sin x dx. cosx 1

Вариант 14

2.		dx		.

	1 (8x)2
	1 (8x)2
4.		4x			dx.


		x2 x 2
6. (2x 1)e4xdx.
8.		xdx	dx.
8.			dx.
	x 1 2

1. 2 3x2 5x 7ex dx.

3. (3log7 x 2)3 dx. x

7x2 1

5. (x2 x 1)(3x 1)dx. 7. sin3 xcos4 xdx.

2. 54x 1dx.

2x 1

4. x2 9x 2dx.

6. (4x 8)sin8xdx.

8.	x	2	dx.

	x 1

			Вариант 15
1. (3sin x		2	3	)dx.	2. 75x 11dx.


	1 x2		6 x2

3.	(4arctgx 3)		4	dx.
3.	1 x	2		dx.
	1 x
5.	x 1			dx.
5.				dx.
	(x 8)(x 11)

7. sin3 4xcos3 4xdx.

Вариант 16

1.			7			8
								2x dx.
				2		4 x	2	2x dx.
	4 x					4 x
3. 2x3			x2dx.
5.				2x 1					dx.
5.		(x 1)(x			2				dx.
		(x 1)(x				3x 5)

7. sin5xcos5xsin10xdx.

Вариант 17

3cosx 7sinx 26

dx.

x 8

dx.

(x 3)(x 5)

7. sin5 3xdx.

Вариант 18

		x		7		8
	3 7	x	x	7		8
					3
1.					3	x	2	dx.
						x

4.		x 1	dx.

	x	2
	x	6x 8

6. (5x 8)cos3xdx.

8. x 1 1dx. x 1 5

2. 38x 1dx.
4.			3x 1		dx.

		x2 6x 8
		x2 6x 8
6. arcctg3xdx.
8.		x		dx.
8.				dx.
	x 1

2.				dx		.
	cos			2
				(6x 3)
4.			x 8		dx.
	x	2	4x 6

6. arcsin8xdx.

8. x 3x 24x dx.

2. e8x 1dx.

3. xsin7x2dx.			4.				x 1		dx.

						x2 6x 6
	x 8					x2 6x 6
5.	x 8	dx.	6. e3x x3dx.
5.	(x 3)(x 3)(x 1)	dx.	6. e3x x3dx.
	(x 3)(x 3)(x 1)

7. sin4 3xcos3xdx.			8.		1		x	dx.
7. sin4 3xcos3xdx.			8.	1				dx.
				1			x

Вариант 19

1. (2cosx 3x 4x 6x x6)dx.

exdx

3. 1 e2x .

x 8

5. (x2 5)(x 5)dx.

7. cos2xsin2 6xdx.

Вариант 20

2. cos(12 11x)dx.

4.	x	dx.

	x2 10x
	x2 10x

6. (4x 1)23xdx.

8.	x	1	dx.

	x 1 1

1.			2				5		7
			2				5		7				2. cos(8x 3)dx.
										2
								5 x2	7 x	2	dx.
				4 x2				5 x2	7 x
			1
3.		3x											4.				3x 1		dx.
					dx.
		x	2
			2														x2 10x 1
					7x												x2 10x 1
5.					7x		dx.					6.		x3 log4 xdx.
5.	(x 1)(x 6)						dx.					6.		x3 log4 xdx.
	(x 1)(x 6)
7.					cosx								3x 1			dx
						dx.					8.							.
		sin x cosx													4
		sin x cosx										3x 1			4

	3		6			7
1.
		6			7
		6		x	7		x
x				x			x

3. 5lnxx 1dx.

2 dx.

Вариант 21

2.	dx			.

	4 x
4.				x	dx.
	x	2	10x 2

3x2 1

5. (4 x)(x2 4)dx. 7. cos4 5xdx.

1.	2				3				7
	2				3				7
									7	x dx.
			6			x	2		7	x dx.
	x					x
3.		3tgx 4						dx.
3.		2						dx.
		cos			x
5.						x2					dx.
5.		(x	2								dx.
		(x		10)(x 1)

7. sin5 3xdx.

1.				2				1 x
									7

	3				x	3		x		1 dx.
						3

3.		arcsin x					dx.


			1 x2
5.						x2		11			dx.
5.											dx.
		(x 1)(x 1)(x 2)

7. sin2 4x cos3xdx.

1. (3cosx 6x 8x10)dx.

3. sin x55cos 1dx.

5.	2x 1			dx.

	(x 1)(x 8)
7.	sin х		dx.
	3	х
	1 cos

6. (x3 1)ln xdx.

8. 4x 1 x 1.

Вариант 22

2.					dx		.
2.	cos				2		.
	cos				(7x 3)
4.					x 2			dx.


			x2 12x 8
6. (4x 1)cosxdx.
8.				dx		.


3		x 4 x

Вариант 23

2.						dx		.
		sin				2
						(6x 1)
4.						x 8			dx.
		x		2
					6x 20
6. (x 8)e3xdx.
	3				1		dx.
8.			x

				x 1

Вариант 24

2.	dx		.
2.			.
	4 3x
4.			2x	dx.

		x2 4x 20
		x2 4x 20

6. (7x 8)cos11xdx.

		dx
8.				.
	1
			5x 4

Вариант 25

1. (3sin x 2ex e 3x 11)dx.

3. x3ex4dx.

5. (x 1)(x 10)dx.

7. sin xcosxsin6xdx.

Вариант 26

2.	dx		.
2.	6 (8x)	2	.
	6 (8x)
4.	3x 6	dx.
4.	2	dx.
	x 8x

6. (5x 11)e3xdx.

8. 3x 1 2dx.

1. (x3x 7 3x 3 7x cosx)dx.

3. x32ln x 4.

5. (x 8)(x 8)(x 3)dx. 7. sin2 2xdx.

Вариант 27


2.		dx		.
	1 (3x)		2

4.		3x 8				dx.
	x	2
		6x 1
6. xcos2 xdx.
8.		dx			.

3		x 1 1

1.	(		3			6		2	2x)dx.	2. sin(11x 8)dx.
1.	(		2	x		2			2x)dx.	2. sin(11x 8)dx.
			sin	x	cos		x x								x
3. x3 cos(2x4						1)dx.				4.					x			dx.

												7 x2 2x
			x 1									7 x2 2x
5.							dx.			6. arctg
																xdx.
		(x 8)(x 2)														xdx.
		(x 8)(x 2)
											2				1		dx.
7. sin2 3xcos2 3xdx.										8.	2			x	1
											3
											3
													x 1

Вариант 28

1. (	3		6			7		)dx.
		2		2
	1 x		1 x		6
							x

3. cosxsin xdx.

2. 26x 2dx.

4.	2x 4	dx.


	3 x2 6x

x 3

dx.

6. (7x 1)cosxdx.

(2 x)(x 4)(x 1)

7. cos35xdx.

dx.

x 1

Вариант 29

3x 1

(

7cosx

)dx.

2. e

dx.

7x 1

3. sin x(3cosx 1)4dx.

dx.

7x 2

x 5

dx.

6. x2e xdx.

(x 1)(x 8)

7. sin8xcos3xdx.

dx.

x 1

Вариант 30

1. (3sin x 2cosx x23x)dx. 3. x2 sin(3x3 4)dx.

5. (x 1)(x 11)dx.

7. sin6xcos2 xdx.

2. cos(3x 2)dx.

3x 1

4. x2 20x 2dx.

6. x 3xdx.

8. x 3x .

Раздел 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§1. Задача о площади криволинейной трапеции

	y f (x)
	T
a	b
	Рис. 1
	Решение.
a x0 x1 x2
k 1,2,...,n.

Пусть задана непрерывная функция y f (x) 0 на отрезке a,b . Задача: найти площадь криволинейной трапеции ST , то есть площадь плоской фигуры T , ограниченной кривой y f (x), прямыми y 0; x a; x b (рис. 1).

Разобьем	отрезок	a,b произвольно точками
... xk 1 xk	... xn b.	Обозначим xk xk xk 1,

f (~xk ) f (~x1)

a x

x x

1 1

k 1

n 1 x b

Рис. 2

В каждом из получившихся отрезков xk 1,xk

выберем произвольно

и вычислим значение функции

y f

в выбранных точках.

точки xk

(xk )

Составим ступенчатую фигуру из прямоугольников, основаниями которых

служат отрезки xk 1,xk , а высоты равны		~
		f (xk ) (рис. 2).
Площадь ступенчатой фигуры равна			n
~	~	~		~
Sn f (x1) x1	f (x2) x2 ... f (xn) xn		f (xk ) xk .

k 1

Получили Sn – последовательность сумм.

Можно считать, что площадь ступенчатой фигуры примерно равна площади криволинейной трапеции:

ST Sn .

Ошибка вычисления будет тем меньше, чем больше точек выбирается на a,b . Положим по определению

ST nlim Sn .

Замечание. Предел вычисляем при условии, что одновременно с увеличением числа n выполняется условие xk 0, то есть при увеличении числа точек xk нужно следить за тем, чтобы все длины отрезков xk 1,xk стремились к нулю.

a x0	x1	x2	b xn	a x0	x1	x2	b xn
		Рис. 3				Рис. 4

На рис. 3 показано правильное расположение точек на a,b , на рис. 4

– неправильное, т.к. x1,x2 при увеличении числа точек не изменяет своей длины.

§2.Определение определенного интеграла и его геометрический смысл

Пусть функция y f (x) определена на отрезке a,b . Аналогично тому, как это сделано в предыдущем параграфе, составим сумму

f (~xk ) xk . Будем называть её интегральной суммой.

k 1

О п р е д е л е н и е . Определённым интегралом от функции y f (x) на a,b называется число, равное пределу

lim	n	~
	f (xk ) xk .
n	k 1
xk 0	b
		f (x)dx или f (x)dx. При этом b
Это число обозначается символом
	a	a,b

– верхний предел, a – нижний предел интегрирования. Итак,

b	lim	n	~
f (x)dx	lim	f (xk ) xk .
a	n	k 1
	xk 0

				Геометрический смысл
y				b
				b
		y f (x)		Если f (x) 0 на a,b , то f (x)dx равен пло-
		T		a
0				щади криволинейной трапеции ST	(рис. 5).
0	a	b	x
		Рис. 5

Свойства определенного интеграла

1. f (x)dx 0.

2.f (x)dx f (x)dx.

Эти свойства очевидно следуют из определения определенного интеграла.

3. f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx.

Доказательство.

f (x) g(x)dx lim

(xk ) g(xk ) xk

n k 1

lim

(xk ) xk

g(xk ) xk

k 1

lim f (xk ) xk lim g(xk ) xk f (x)dx g(x)dx.

n k 1

4. c f (x)dx c f (x)dx.

Доказательство:

f (x)dx lim c f (xk ) xk lim c

f (xk ) xk

n k 1

c lim f (xk ) xk c f (x)dx.

n k 1

b
5. c dx c(b a).						y c
a					c	y c
a					c
Доказательство. Это свойство очевидно
из рис. 6.
6. Если a c b, то
b		c	b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx.					a		b
a		a	c			Рис. 6
Свойство проиллюстрировано на рис. 7.
			b			y f(x)
7. Если	f (x) 0	на a,b , то		f (x)dx 0.		y f(x)
			a
8. Если	f (x) 0	на a,b , то
	b	f (x)dx 0.
		f (x)dx 0.			a	c	b
	a				a	c	b
	a

9. Если

f (x) g(x)

на a,b , то

Рис. 7

f (x)dx g(x)dx (рис. 8).

y=g(x)

y =f(x)

10.

f (x)dx

f (x)

dx.

Доказательство. Очевидно, что

f (x)

Рис. 8

Проинтегрируем по отрезку a,b .

По

свойству 9

получаем

f (x)

f (x)dx

f (x)

dx, то есть

f (x)dx

f (x)

dx.

Следствия:

1. Если на a,b верно, что	f (x) k, то	b	f (x)dx	k(b a).

		a

2. Если m наименьшее,	M наибольшее значения функции	y f (x)
b
на a,b , то m(b a) f (x)dx M(b a).
a
11. Теорема о среднем значении.
Пусть функция y f (x)	непрерывна на a,b . Тогда существует точка

c a,b ,такая, что	f (x)dx f (c) (b a).
a

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021321.16 Кб1163.pdf
#
07.01.20211.44 Mб51630.pdf
#
07.01.20211.44 Mб51631.pdf
#
07.01.20211.45 Mб221632.pdf
#
07.01.20211.45 Mб31633.pdf
#
07.01.20211.45 Mб31634.pdf
#
07.01.20211.45 Mб11635.pdf
#
07.01.20211.45 Mб11636.pdf
#
07.01.20211.45 Mб21637.pdf
#
07.01.20211.46 Mб341638.pdf
#
07.01.20211.46 Mб71639.pdf