Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1634

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

3ln

(x2

2)2

C 3ln

x 4

x 1

x2 6x 3 (x2 6x 9) 9 3

x 1

(x 3)2 6

x2 6x 3

t x 3;

t 4

tdt

t2 6 k;

dt dx;

2tdt dk;

t2 6

x t

t2 6

tdt

4ln

t2 6

4lnt t2 6 C x2 6x 3 4ln x 3 x2 6x 3 C.

2 x

10x 7 (x2 10x 25) 33

33 (x 5)2

7 10x x2

2 x

x 5 t;

(t 5)

7 t

dt dx;

33 (x 5)2

33 t2

x t

33 t2

tdt

33 t2 k;

2tdt dk;

33 t2

tdt

C 7arcsin

7arcsin

33 t2

33 (x 5)2

Покажем еще один вариант вычисления простейшей дроби

III типа.

Найдем	ax b	dx;	p2	q 0. Выделим в числителе дроби
	x2 px q
		4

производную знаменателя. Для этого числитель представим в виде

ax b (2x p)

Тогда

ax b

2x p

x2 px q

px q

В первом из этих интегралов сделаем замену:

(2x p)dx

x2 px q k;

C ln

x2 px q

dk (2x p)dx.

Вычислим второй:

px q

arctg

2x p

4q p2

				p
	d x
	d x			2
				2
		p 2
		p 2			p2
x			q
x	2		q		4
	2				4

Примеры:

				3x 1										3			(2x 4) 1 6																		3			(2x 4)dx													dx
														2			(2x 4) 1 6
1.									dx					2														dx																			5
1.		x2 4x 8							dx									x2 4x 8										dx						2													5
		x2 4x 8																x2 4x 8																2				x2 4x 8												x2 4x 8
	3					2													dx								3							2											5						x 2
	3					2													dx								3							2											5						x 2
		ln		x			4x 8				5																				ln	x				4x 8										arctg						C.
		ln		x			4x 8				5											2 4									ln	x				4x 8										arctg						C.
	2															(x 2)											2																		2				2
	2															(x 2)											2																		2				2
2.						xdx							41 (4x 2) 12											dx						1					(4x 2)dx											1					dx
2.																								dx									2x2 2x 5															2x2 2x 5
		2x2 2x 5											2x2 2x 5																4				2x2 2x 5												2			2x2 2x 5
	1			2x2 2x 5										1									dx													1							2 2x 5
	1													1									dx													1
		ln																	2 x 12 2 32 2																					ln		2x
	4	ln													2																						4
	4								x 12						2																						4							2x 1
	1 1													1											2											1
	1 1													1											2											1
							arctg							C							ln		2x				2x 5														arctg							C.
	4		3		2		arctg		3	2				C						4	ln		2x				2x 5												6						3			C.
	4		3		2				3	2										4											p2								6						3
IV. Дробь												ax b										dx,n				1,					p2			q 0 находится методом
IV. Дробь								(x2			px q)n											dx,n				1,			4					q 0 находится методом

понижения степени, который использует формулу интегрирования по частям.

Выделим в числителе производную от квадрата трехчлена, стоящего в знаменателе:

ax b

(2x p)

2 px q)n

(x2 px q)n

(2x p)dx

(x2 px q)n

2 px q)n

Для

первого

из

этих

интегралов

сделаем

замену

x2 px q k;

dk (2x p)dx.

(2x p)dx

(x2 px q)n

(1 n)(x2 px q)n 1

Второй интеграл преобразуем:

2 px q)n

2 n

dx dt.

a2 q

2 n

(t2 a2)n

t2 q

1 (t2 a2) t2

(t2 a2)n

2 a2)n 1

t2dt

In 1

t2dt

(t2 a2)n

(t2

a2)n

Используем формулу интегрирования по частям:

u t;du dt;dv

tdt

;

t2dt

2 a2)n

(t2 a2)n

tdt

d(t2 a2)

)

n 1

2(n 1) (t

2(n 1)(t2 a2)n 1

2(n 1)

(t2

a2)n 1

(2n 2)(t2 a2)n 1 2n 2In 1.

Теперь можем записать

In	1	In 1	1	In 1	t		,
	a2		a2(2n 2)		a2(2n 2)(t2	a2)n 1

откуда получаем

In	t	1	2n 3	In 1.
	a2(2n 2)(t2 a2)n 1	a2
			2n 2

Это рекуррентная формула. С ее помощью In сводится к вычислению In–1, далее к In–2 и т.д. В конце концов мы дойдем до I2, который по этой же формуле равен

I2	t		1	arctg	t	C.
	2a2(t2
		a2) 2a2			a

Пример:

3x 2

(2x 2) 2 3

Найдем интеграл

(x2 2x 10)

(x2 2x 10)2

(2x 2)dx

(x2 2x 10)2

(x2

2x 10)2

Вычислим полученные интегралы отдельно:

а)

(2x 2)dx

x2 2x 10 t;

2 2x 10)2

(2x 2)dx dt.

x2 2x 10

б)

t x 1;

2 2x 10)2

(x 1)2

9 2

dx dt.

2 9)2

используем рекуррентнуюформулу

2(2 1) 9

(t2 9)2 1

2 2 3

arctg

t2 9

18(t2

9 2 2 2

x 1

arctg

x 1

18 (x 1)2

Итак,

3x 2

x 1

arctg

x 1

(x2 2x 10)2

2(x2

2x 10)

x2 2x 10

Задачи для самостоятельного решения

1.	dx				.						2.				dx			.
1.					.						2.	(x 3)					3	.
	x 8											(x 3)
3.				dx		.									4.						3x 1			dx.
3.				10		.									4.		x	2						dx.
	(x 6)																x				4.x 12
5.				dx			.				6.			4x 1							dx.
	x	2
		2												7x x2
			2x 8											7x x2
7.					dx				.		8.				dx								.
												(x			2					2
			4 2x x2												2					2
			4 2x x2													4x)
9.				3x 1						dx.	10.					x 1						dx.
9.	(x			2				2		dx.	10.		(x			2			3			dx.
	(x			2x 5)									(x			2)

Из всего сказанного вытекает следующая теорема .

Т е о р е м а . Интеграл от рациональной функции всегда выражается через элементарные функции в конечном виде.

Теперь рассмотрим несколько примеров на интегрирование рациональных дробей.

Примеры:

1. Вычислить интеграл

		3x2 5x 12	dx.
		(x 1)(x 2)(x 3)

На стр. 25 мы получили разложение подынтегральной дроби на элементарные:

3x2 5x 12	52	145	2710	.
(x 1)(x 2)(x 3)		x 2
	x 1		x 3

Теперь найдем интеграл:

3x2 5x 12		5	dx	14		dx	27	dx
	dx
		2			5		10
(x 1)(x 2)(x 3)			x 1			x 2		x 3


		5		d(x 1)			14			d(x 2)				27		d(x 3)				5	ln	x 1		14	ln	x 2
		5		d(x 1)			14			d(x 2)				27		d(x 3)				5				14

		2			x 1		5			x 2				10			x 3	2					5
		2			x 1		5			x 2				10			x 3	2					5

	27		ln		x 3	C ln10					C	(x 2)28(x 3)27							.


	10												(x 1)				25
	10												(x 1)				25
									x3 2x 1
2. Вычислить															dx.
2. Вычислить								(x 1)2(x 2)3							dx.

Используя разложение подынтегральной функции на элементарные дроби, полученное на стр. 26, получим


		x3 2x 1			dx			2		(x 1) 2dx						1			dx					5	(x 2) 3dx
(x 1)2(x 2)3					dx					(x 1) 2dx															(x 2) 3dx
(x 1)2(x 2)3							27						9						x 1 9
		20	(x 2) 2dx			1			dx		1		ln	x 1			1	ln		x 2						2
		20				1			dx		1						1									2

	27				9		x 2				9				9												27(x 1)
	27				9		x 2				9				9												27(x 1)
		5			20				C				9 x 4x2									1	ln			x 1		C.
		5			20								9 x 4x2									1				x 1
	18(x 2)2											6(x 1)(x 2)2									9					x 2
	18(x 2)2			27(x 2)								6(x 1)(x 2)2									9					x 2

3.Вычислить x6 2x5 x3 2x2 x 10dx.

x3 1

Подынтегральная дробь является неправильной, так как степень числителя 6 больше 3 – степени знаменателя. Поэтому выделим целую часть делением многочленов:

Отсюда

x6 2x

5 x

3 2x3 x 10

x 10

dx x

x3 1

x 10

dx.

x3 1

Теперь правильную дробь

x 10

нужно разложить в сумму

x3 1

элементарных:

A(x2 x 1) (Bx C)(x 1)

x 10

Bx C

x3 1

(x 1)(x2

x 1

x2 x 1

(x 1)(x2 x 1)

x 1)

Для определения коэффициентов разложения выписываем

равенство для числителей:

x 10 A(x2 x 1) (Bx C)(x 1).

Из этого равенства получаем

при х = 1

9 3A;

при х = 0

A 3;

10 A C;

10 3 C;

C 7;

при х = –1 11 A 2(C B);

11 3 2(7 B);

11 17 2B;

2B 6;

B 3.

Итак,

x 10

3x 7

, поэтому

x 1

x3 1

x2 x 1

x 10

dx 3

3x 7

dx.

x3 1

x 1

x2 x 1

Вычислим эти интегралы:

а)

x 1 t;

C ln

x 1

dt dx.

б)

3x 7

x2 x

1 x

x2 x 1

																																x								1				t;																					1																		11
																																x												t;																					1
												3x 7																											2															3 t																	7								3t

																																																																																				2
																											dx					dx dt;																																	2									dt										2			dt
														1					2					3			dx					dx dt;																											t	2								3						dt					t	2				3			dt
						x																																							1
						x																																							1
														2										4								x t																.																			4															4
														2										4								x t																.																			4															4
																																													2
												t					dt							11 dt																							t		2				3				k;													3 dk 11 1																					t
																																																	2				3

	3																																																				4																																arctg
															3									2																3																														2				k
										2																							2																																																	3									3
									t	2																					t		2															2tdt dk.																													2					3									3
														4																									4
																																																																																		4									4
					3												11															2t																	3								2					3									11								2t			4									4
								ln			k										arctg																	C												ln					t																				arctg							C


				2																																													2												4
																			3														3																																							3								3
																			3														3																																							3								3
																																																															1
				3															1 2									3								11															2 x

																																																															2
								ln			x																																	arctg																			2						C
				2																								4
																																							3																			3
																			2																				3																			3
					3			ln			x		2		x 1														11						arctg											2x 1										C.
					3								2																11																	2x 1
					2
																																	3																3


	Нашли,																																																																																													что
	x 10																														3										2																	11															2x 1


			dx 3ln																x 1															ln				x						x 1																						arctg													C.
	x3 1																														2
																																																													3																3


	Поэтому
				x6 2x5 x3 2x3 x 10																																														dx								1			x				4					2			x		3						x							3				x	2	x 1


																																																																												3ln						1									ln
																				x3																																																								3ln						1									ln
																										1																																4												3																		2


					11					arctg								2x							1		C.
										arctg																	C.
							3														3
	4. Вычислить																																													dx																				.
	4. Вычислить																													(x3							3x2											5x 3)2																		.
																																							dx																																							dx												.
																							(x3 3x2 5x 3)2																																									(x 1)2(x2 2x 3)2																										.
	Раскладываем подынтегральную дробь в сумму простейших
дробей:																	1																									A																B															Cx D																Ex F
																	1																									A																B															Cx D																Ex F
		(x 1)2(x2 2x 3)2																																																		(x 1)2																				x	2 2x 3													(x		2 2x 3)2
		(x 1)2(x2 2x 3)2																																									x 1									(x 1)2																				x	2 2x 3													(x		2 2x 3)2
				1				(x 1)								2					1														1															1																	1											.

				4																		4 (x2 2x 3)
				4																		4 (x2 2x 3)																													2 (x2 2x 3)2

(Процесс нахождения коэффициентов разложения здесь пропущен. Расчет необходимо произвести самостоятельно.)

Теперь

									dx																1							dx							1							dx							1								dx
(x			3		3x				2	5x						3)					2				4					(x 1)				2				4					x	2	2x 3								2		(x	2		2x				3)		2
(x					3x					5x						3)									4					(x 1)								4					x		2x 3								2		(x			2x				3)
			1			1						1										dx										1								dx									x 1 t;
			1			1						1										dx										1								dx
																(x 1)2 2																2 ((x 1)2 2)2
			4 x 1 4													(x 1)2 2																2 ((x 1)2 2)2																	dx dt.
			1			1						1						dt								1							dt										1		1					1	1			arctg							t
																t		2												(t	2		2)		2
																		2													2				2
			4 x 1 4																2 2																								4 x 1 4 2																2
	1							t									1						dt											1										1								t						t
	1							t									1						dt											1										1								t						t
								2														2																										arctg									2
2				4(t				2	2)							4				t		2		2																								arctg			2				8(t		2		2)
2				4(t					2)							4				t				2									4(x 1) 4 2																		2				8(t				2)
	1		1				arctg						t				C												1								1				arctg						x 1								x 1
							arctg										C																								arctg										8((x 1)2
8				2										2													4(x 1)							4				2										2			8((x 1)2									2)
		1				arctg					x				1			C											1													x 1									3			arctg						x 1			C.
						arctg												C																																				arctg									C.
8 2														2														4(x 1)								8(x2 2x 3) 8 2																							2

З а м е ч а н и е . Описанная методика обладает общностью, но в отдельных случаях рассматриваемый интеграл может быть вычислен значительно проще с помощью тех или иных приемов.

5.Вычислить интеграл 6x 5x 4dx.

x3 x2 x2

5x 4

x6 x5 x4 t;

dt (6x5 5x4 4x3)dx.

x3 x2 x

x6 x5 x4

C ln

x6 x5 x4

xdx

6. Вычислить

2x4

2x2

xdx

2xdx

2x2 1 t;

4xdx dt;

arctgt C

2x4 2x2 1

(2x2 1)2

t2 1 2

2xdx

1arctg(2x2 1) C.

													x7 x4						x3 1
7. Вычислить																							dx.
7. Вычислить															x8			1					dx.
															x8			1
Заметим, что
	x7 x4 x3 1 x3(x4																1) (x4 1)														x3					1

					x8 1									(x4			1)(x4					1)							x4			1
					x8 1									(x4			1)(x4					1)							x4			1							x4 1
					x3				1 (x2		1) (x2 1)												x3					1							1	1							1
																																														.
				x	4 1				2 (x2 1)(x2								1)					x						2																		.
				x	4 1				2 (x2 1)(x2								1)					x	4		1			2				x2 1 2									x		2		1
Поэтому
		x7 x4 x3 1										dx					x3				dx			1 dx											1 dx

						x8 1										x4			1				2				x2	1							2
						x8 1										x4			1				2				x2	1							2			x2 1
				замена впервом интеграле:																					1	dt				1			1				x 1					1		arctgx
				замена впервом интеграле:																					1
				x4 1 t;																					4									ln
				x4 1 t;																														ln			x 1
				4x3dx dt.																						t		2				2					x 1			2
				4x3dx dt.										x 1
			1		ln	x	4	1		1	ln								1	arctgx C.


		4								4				x 1				2

В последних трех интегралах вычисления получились достаточно простыми, в то время как вычисление интегралов как полное разложение подынтегральной дроби в сумму простейших дробей было бы громоздким.

Задачи для самостоятельного решения

2x 5

5x 3

dx.

x(x

6x 8

dx.

1 2x

dx.

4 2

3x 2)(x 3)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021321.16 Кб5163.pdf
#
07.01.20211.44 Mб71630.pdf
#
07.01.20211.44 Mб71631.pdf
#
07.01.20211.45 Mб251632.pdf
#
07.01.20211.45 Mб51633.pdf
#
07.01.20211.45 Mб61634.pdf
#
07.01.20211.45 Mб31635.pdf
#
07.01.20211.45 Mб31636.pdf
#
07.01.20211.45 Mб41637.pdf
#
07.01.20211.46 Mб411638.pdf
#
07.01.20211.46 Mб141639.pdf