Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1634

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Работа переменной силы X f (x), действующая в направлении оси

Ox на отрезке x0,	x1
Ox на отрезке x0,	x1 , вычисляется по формуле A f (x)dx.
	x0

При вычислении силы давления жидкости используют закон Паскаля, по которому давление жидкости на площадку равно ее площади S , умноженной на глубину погружения h, на плотность и ускорение силы тяжести g, то есть P g h S.

Рис. 35

Пример:

Найти работу, совершенную при

yвыкачивании воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого a, радиус r (рис. 35).

Решение. Объем элементарного слоя воды, находящегося на глубине

x, длиной a, шириной 2r2 x2 и толщиной dx равен

dV amdx 2ar2 x2dx.

Работа, совершаемая при подъеме этого слоя воды на высоту x, равна dA 2 g a xr2 x2dx, где – плотность воды. Поэтому

r		2		3		r		2

A 2 g a x r2 x2dx g a			r2	x2	2				g a r3.
		3						3
0							0
КОНТРОЛЬНАЯ	РАБОТА № 2

1.Вычислить определенные интегралы.

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций.

3.Вычислить длину дуги кривой.

4.Вычислить объем тела, образованного вращением фигур, ограниченных графиками функций:

а) ось вращения Оx; б) ось вращения Oy.

				Вариант 1				Вариант 2
	2	sin4 3x cos4 3xdx;					0
1. а)		sin4 3x cos4 3xdx;				1. а)	28 cos8 xdx;
	0
	0						2
	5			x2dx		4		dx
б)	2			x2dx	;	4		dx		;
						б)
								16 x2 3
				25 x2					2
	0			25 x2		0			2
	ln2
в)			xe xdx.
в)			xe xdx.			в) xsin xdx.
		0				0
						0

2. а) y (x 2)3, y 4x 8;

2. а) y 4 x2, y x2 2x;

x 4

cos3 t,

cost,

б)

x 2.

б)

y 2.

y 2

2sin3 t,

y 2

2sint,

3. r 8cos ,

3. r 6(1 sin ),

4. y x2 5x 6, y 0.

4. 2x x2 y 0, 2x2 4x y 0.

Вариант 3

Вариант 4

2 cos6 x

2 dx;

sin4 x

4 cos4 x

4 dx;

1. а) 24 sin2 x

1. а)

x2dx

б) x

16 x

dx;

б)

;

в)

ln x

dx.

16 x

x2 cosxdx.

в)

2. а)

y sin x cos2 x,

y 0,0 x

;

x 2cost,

2. а) y x 9 x

, y 0,

0 x 3;

б)

y 3.

x 4(t sint),

y 4, 0 x 8 .

y 6sint,

б)

y 4(1 cost),

3. r 21 cos ,

3. r 2 , 0

4. y 5cosx,

y cosx,

x 0, x 0.

4. y 3sin x,

y sin x,

0 x .

Вариант 5

Вариант 6

1. а)

sin6 x cos2 xdx;

1. а)

24 sin8 xdx;

4 x

dx;

б)

;

б)

4 x2 3

в) arccosxdx.

в)

xarctgxdx.

2. а) y

4 x2

, y 0,

x 0,

x 1;

x 16cos3 t,

x 2.

2. а)

y x2

4 x2

, y 0,

0 x 2;

б)

x 2(t sint),

y 3,

0 x 4 .

y 2sin3 t,

3. r 41 sin ,

y 2(1 cost),

3. r 31 sin ,

4. x sin2 x,

y 0.

4. y 3

x 1,

y 1.

y 2,

Вариант 7

Вариант 8

1. а)

28 cos8 xdx;

1. а)

28 sin2 x cos6 xdx;

;

б)

dx;

2 x2 2

xdx

ln2

в)

ex 1dx.

в)

5 4x

2. а)

cosx sin

0, 0 x

;

2. а) y

ex 1, y 0, x ln2;

б)

x 6

x 3(t sint),

y 3,

0 x 6 .

б) x 16cos

y sin3 t,

y 3(1 cost),

3. r 51 cos ,

3. r

e ,

3 0.

4. y xex,

y 0,

x 1.

4. y 2x x2,

y x 2,

x 0.

Вариант 9

Вариант 10

4 sin4 x

cos4 x

dx;

1. а)

sin6

cos2

dx;

x4dx

б)

;

б)

;

0 9 x

2 3

1 x2 3

2 12

dx.

в) (xln x)2dx.

в) x(2 x

)

x 1, x e3;

2. а)

y arccosx,

y 0,

x 0;

2. а)

, y 0,

x 8

cos3 t,

x 1 ln x

x 4.

б)

x 6cost,

2sin3 t,

б)

4 ,

y 2sint,

3. r 3e

3. r 1 sin ,

4. y e1 x, y 0,

x 0, x 1.

4. y 2x x2,

y x 2.

Вариант 11

Вариант 12

1. а)

sin8 xdx;

1. а)

24 cos8 xdx;

0,5

б)

(5 х2) 1,5dx;

б) x2

1 x2dx;

xdx

в)

1 xdx.

x 1

2. а) y (x 1)2;

2. а) y 2x x2 3;

y2 x 1;

y x2 4x 3;

x 2

cost,

x 6(t sint),

б)

y 3.

б)

0 x 12π

y 9

y 3

2sint,

y 6(1 cost),

x et cost sint ,

x 6cos3 t,

0 t

cost sint ,

y et

y 6sin

4. y x2,

y2 x 0.

4. x2 (y 2)2 1.

Вариант 13

Вариант 14

2 cos2 x

2 dx;

1. а)

28 sin2 xcos6 xdx;

1. а)

24 sin6 x

5 2

dx;

б)

;

б)

25 x2

53 1

3x 5

25 x2

1 15

в)

в) x

1 3x

dx.

x2 1

2 x

2. а) x arccos y,

x 0,

y 0;

2. а)

y x

36 x2

y 0,

0 x 6;

x 32cos3 t,

б)

x 3cost,

y 4.

x 4.

б)

y 8sint,

y sin3 t,

x 3(t sint),

x 2,5(t sint),

t .

t 2 .

y 3(1 cost),

y 2,5(1 cost),

4. y

, y 1, x 2.

4. y 1 x2, x 0, x

y 2, x 1.

Вариант 15

Вариант 16

4 dx;

1. а)

sin8 x

1. а)

cos8 xdx;

4 x

б)

256 x2dx;

4 x

б)

;

(4 x) 16 x2

в)

(xsin x)

dx.

в)

sin x sin2xsin3xdx.

2. а) y x2

8 x2 , y 0, 0 x 2;

2. а)

y arctgx,

y 0,

б) r sin ,

r 2sin .

б)

x 6(t sint),

x 10cos3 t,

0 t

y 6,0 x 12 .

y 6(1 cost),

y 10sin3 t,

x 3(cost tsint),

y sin x

0 t

y 3(sint tcost),

y x3,

Вариант 17

Вариант 18

1. а)

24 sin2

x cos6 xdx;

1. а)

28 sin4

x cos4 xdx;

б)

x 3

dx;

4 2 x 2x 2 dx

;

б)

x 3 2 x

2x 2 4 2 x 2x 2

в)

ex cos2 xdx.

в)

x2 1dx.

ex 1, x 0, y ln2;

2. а) y

2. а) y x

4 x2

, y 0, 0 x 2;

б) r 1

cos .

б) r 1

2 cos .

x et cost sint ,

x 3(2cost cos2t),

0 t 2 .

0 t .

y e

cost sint ,

y 3(2sint sin2t),

y arccos x

3 ,

y arccosx,

y 0.

y arcsinx,

arcsin

Вариант 19

Вариант 20

2 dx;

1. а)

28 sin6

x cos2 xdx;

1. а)

24 sin8 x

xdx

2 x

;

3x 2

dx;

б)

2 2x 1

3x 2 7

6 sin2 x

в)

dx.

в)

cosln xdx.

0 cosx

y 0,

2. а)

y 0, x 1;

1 cosx

б) r 5

2 sin ,

r 3

2 sin .

б) r 1

2sin .

x 5(t sint),

x 4(cost tsint),

0 t .

0 t 2.

y 5(1 cost),

y 4(sint tcost),

4. y x2 1, y x, x 0, x 1.

4. y x2, x 2, y 0.

Вариант 21

Вариант 22

1. а)

cos8 x

6 dx;

а)

sin2 xcos6 xdx;

4 x

dx;

x 2 x 2

б)

dx;

x 12

x 2 x 2 x 2

в)

cos5xcosxdx.

в)

2ln2

2. а) x

ln2

y 2

, x 4y 8;

б) r 3

2 cos ,

r 5

2 cos .

а)

cos5xsin2x,

y 0,

0 x

;

y ex 13,

x ln

б) r 4cos4 .

y 0,

y 1, x 0,5.

y ln x2 1 ,

2 x 3.

x 1,

y ln x, x 2,

y 0.

Вариант 23

Вариант 24

1. а)

24 sin4 x cos4 xdx;

а)

28 sin6 xcos2 xdx;

5 x 224 dx;

б)

6 x dx;

б)

x 24

x 14

x sin x

в)

cos3 xsin2 xdx.

в)

dx.

1 cosx

а) x 4 y

x y

-2y;

2. а)

(1 x2), y

x 1;

б) r 2cos ,

r 3cos .

б) r sin 6 .

y ex 6,

x ln

15.

1 x2

arccosx,

0 x 8

y2 x 2,

y 0, y x3,

y 1.

4. y x 1 2, y 1.

Вариант 25

Вариант 26

cos8 x

2 dx;

1. а)

28 sin8 xdx;

а)

9 2x

1 x

б)

dx;

2x 21

б) e 1 x

;

(1 x)

1 x

в)

ex cosxdx.

в)

1 x

2. а) y x2

16 x2 , y 0, 0 x 4;

2. а) y

, y 0, x 2, x 1;

б) r 2sin 4 .

б) r cos sin .

3. y ln

x x2 ,

y 2 arcsin

x 1.

y x

y arccos

, y 0.

Вариант 27

Вариант 28

4 cos6 x

4 dx;

1. а)

sin2

1. а)

24 sin6xcos2 xdx;

5 x

б) e 5 x

;

б)

x 2 x

dx;

(5 x) 25 x2

0 x 2 x3 3 x4

в) (x 1)e xdx.

в) x(1 x)2dx.

2. а) y (x 1)2, y2 x 1;

2. а) x

4 y2

, x 0, y 0, y 1;

б) r 2cos6 .

б) r cos sin .

ln x

y lncosx,

0 x

3. y

, 1 x 2.

y x2 2x 1, x 2, y 0.

y arcsin x, y arccosx, y 0.

Вариант 29

Вариант 30

1. а)

sin4xcos4 xdx;

1. а)

28 sin8xdx;

6 x 2

4 1 x 3x 1

б)

dx;

б)

dx;

(x 2)2

x 1

0 3x

1 4 1 x 3x

xsin x

xdx

в)

dx.

1 x4

cos

2. а) x 4 (y 1)2, x y2 4y 3;

2. а)

y x2 cosx, y 0,

0 x

;

б) r 6sin ,

r 4sin .

б) r 3sin ,

r 5sin .

y ln x,

3 x 15.

1 x2

arcsin x,

0 x

y arccosx,

y arcsinx,

x 0.

y x3,

y x.

Раздел 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§1. Основные понятия

Уравнение вида

	n	0,	(1)
F x,y,y ,...,y

где y y x – искомая функция, называется дифференциальным уравнением n-го порядка. Любая функция y x , обращающая уравнение (1) в тождество, называется решением этого уравнения, а график этой функции

– интегральной кривой. Если решение задано в неявном виде x, y 0, то оно обычно называется интегралом.

Пример:

Проверить, что функция y sin x является решением уравнения y" y 0.

Решение. Имеем y' cosx; y" sin x и, следовательно, y" y sin x sin x 0.

Интеграл
Φ x, y,C1,C2,...,Cn 0	(2)

дифференциального уравнения (1), содержащий n независимых произвольных постоянных C1,...,Cn и эквивалентный (в данной области) уравнению (1), называется общим интегралом этого уравнения. Придавая в соотношении (2) постоянным C1,...,Cn определенные значения, получаем част-

ный интеграл уравнения (1).

Начальные условия. Если для искомого частного решения y y x дифференциального уравнения

y	n		n 1		(3)
		f x, y, y ,...,y

заданы начальные условия (поставлена задача Коши)

y x0 y0, y x0 y0,...,y n 1 x0 y0n 1

и известно общее решение уравнения (3)

y x,C1,C2,...,Cn ,

то произвольные постоянные C1,...,Cn определяются, если это возможно, из системы уравнений

	y0 x0,C1,C2,...,Cn ;
	y0 x0,C1,C2,...,Cn ;
	y0 x0,C1,C2,...,Cn ;
.................................
	n 1	x				.
y	n 1	x	,C ,C	,...,C	n	.
	0	0	1 2		n

Пример:

Найти кривую семейства

y C1ex C2e 2x,

для которой y 0 1; y 0 2.

Решение. Имеем

y C1ex 2C2e 2x.

Полагая в формулах (4) (5) x 0, получим

1 C1 C2; 2 C1 2C2 ,

откуда C1 0; C2 1, и, следовательно, y e 2x искомая кривая.

§2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

(4)

(5)

Виды дифференциальных уравнений 1-го порядка. Дифференци-

альное уравнение 1-го порядка с неизвестной функцией y, разрешенное относительно производной y , имеет вид

y f x, y ,

(6)

где f x, y данная функция. В некоторых случаях выгодно за искомую


функцию считать переменную x и записывать уравнение (6) в виде
		x g x,y .			(6а)
Учитывая, что y	dy	и x	dx	, дифференциальные уравнения (6) и
	dx		dy
(6а) можно записать в симметрической форме
		P x, y dx Q x, y dy 0,			(7)

где P x, y и Q x, y известные функции.

Под решением уравнения (7) понимаются функции вида y x или x y , удовлетворяющие этому уравнению. Общий интеграл уравнения

(6)или (6а) или уравнения (7) имеет вид

Φx, y,C 0,

где С – произвольная постоянная.

Поле направлений. Совокупность направлений tg f x, y называется полем направлений дифференциального уравнения (6) и изображается при помощи системы черточек с углом наклона .

Кривые f x, y k, в точках которых наклон поля имеет постоянное значение, равное k, называются изоклинами. Построив изоклины и поле направлений, в простейших случаях можно приближенно нарисовать поле интегральных кривых, которые в каждой своей точке имеют заданное направление поля.

Пример:

Методом изоклин построить поле интегральных кривых уравнения y x.

Решение. Построив изоклины x k (прямые линии) и поле направлений, приближенно получаем поле интегральных кривых. Общим решением является семейство парабол y x2 /2 C (рис.1).

Т е о р е м а Коши. Если функция

Рис. 1	f x, y непрерывна в некоторой

области U a x A,b x B и имеет в этой области ограниченную производную fy x,y , то через каждую точку x0, y0 , принадлежащую U,

проходит одна и только одна интегральная кривая y x уравнения (6)

x0 y0 .

§3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

с разделяющимися переменными

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение 1-го порядка вида

y f x g y ,	(8)
или
X x Y y dx X1 x Y1 y dy 0.	(8а)
Разделив обе части уравнения (8) на g y и умножив на dx,	будем

иметь

g y f x dx.

Отсюда, интегрируя, получим общий интеграл уравнения (8) в виде


		dy		f x dx C.			(9)
		g y
Аналогично, разделив обе части уравнения (8а) на X1 x Y y и проин-
тегрировав, получим общий интеграл уравнения (8а) в виде
	X x		dx		Y1 y	dy C.	(9а)

	X1 x				Y y

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021321.16 Кб5163.pdf
#
07.01.20211.44 Mб71630.pdf
#
07.01.20211.44 Mб71631.pdf
#
07.01.20211.45 Mб251632.pdf
#
07.01.20211.45 Mб51633.pdf
#
07.01.20211.45 Mб61634.pdf
#
07.01.20211.45 Mб31635.pdf
#
07.01.20211.45 Mб31636.pdf
#
07.01.20211.45 Mб41637.pdf
#
07.01.20211.46 Mб411638.pdf
#
07.01.20211.46 Mб141639.pdf