3. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИОННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

3.1. Математическое программирование. Модели линейного

математическое программирование понимается как распределение ограниченных ресурсов наилучшим способом для достижения

программирования обычно является отыскание такого плана, при реализации которого достигается минимум затрат на выполнение определенного объема работ или максимальный эффект при ограниченных ресурсах (отыскивается экстремум целевой функции).

26

Поиск экстремального значения какого-либо процесса может осуществляться различными методами, например, математической статистики, статистического прогнозирования, дифференциального исчисления и др.

Наиболее важной при постановке задач оптимального программирования является задача выбора критерия, в соответствии с которым должна производиться оптимизация. Критерий должен отражать цель, ради достижения которой решается задача, и должен

По виду математических выражений Исуществует линейное и нелинейное программирование. Если целевая функция и ограничения линейны, т. е. являются функциями первой степени относительно совокупности всех своих переменных, то задачи относятся к классу задач линейного программирования. Если же в модели все математические выражения или хотя бы одно из них нелинейны, т. е. степень переменных в функции отличается от первой, в выражении есть произведения переменных или в модели есть трансцендентные функции, то такие задачи относятся к классу задач нелинейного программирования.

27

По степени динамичности методы подразделяются на статические и динамические. Если задача поставлена в статике, т. е.

рассматривается какой-то один период времени или задача решается в один этап, то для решения ее используются статические методы, и наоборот, если в математической модели предусматривается Снахождение оптимума в зависимости от изменения не только переменных, но и времени или в ходе решения алгоритмом предусматр вается разделение статической задачи на несколько этапов, решаемых последовательно, то такие задачи решаются

методами д нам ческого программирования.

Если целевая функция и функции ограничений непрерывны, а на переменные не наложено ограничение целочисленности, то такие

решаются методами непрерывного программирования. Если наблюдаются разрывы целевой функции или функций ограничений или на переменные наложено ограничение целочисленности, то такие

вероятностямибА, то такие задачи должны решаться методами

задачи могут решаться детерминированными методами. Если

целевая функция или хотя ы одно ограничение заданы случайными функциями, законами распределения вероятностей или

эвристики. Эвристика – наукаД, изучающая закономерности творческого мышления и занимающаясяИразработкой методов, аналогичных методам творческого мышления человека.

стохастического программирования.

Особый класс задач представляют задачи эвристического программирования. Эвристическое программирование – это нахождение оптимального решения с включением элементов

В строительстве существует большой класс задач, решаемых методами линейного программирования. Они используются для оптимизации экономических и технических процессов (оптимальное закрепление карьеров за участками дорог, определение оптимальной структуры парка дорожно-строительных машин, материальное обеспечение строительства и т.д.).

Пример [6]. При построении модели линейного

программирования, описывающей процесс поставки щебня из нескольких промышленных карьеров для строительства дороги (на асфальтобетонный и цементобетонный заводы, а также для

28

устройства щебеночного основания на линии) выявлен ряд факторов, влияющих на конечные экономические результаты строительства:

1. тоимость щебня в карьерах (отпускная цена). 2. Стоимость транспортировки материала от карьера до приобъектного склада, которая зависит от расстояния перевозки и принятой транспортной схемы (карьер – автоперевозка; карьер – железнодорожная перевозка

С4. Разл чная сложность организации транспортного процесса и управлен я при доставке материала из одного и нескольких карьеров (поставка щебня одним поставщиком, естественно, позволяет легко создать диспетчерскую систему управления

– автоперевозка и т.п.). 3. Возможные потери щебня в процессе

перегрузки матер ала с одного вида транспорта на другой.

сравнительнодоговорных обязательств (карьер может иметь низкую отпускную цену на , но находиться на грани банкротства либо

перевозками, при нескольких поставщиках эта задача усложняется и станов тся дороже). 5. Степень экономической стабильности

поставщ ков х дисциплинированность при выполнении

эконом ческое положения ста ильно, но предприятие часто нарушает сроки поставки и оговоренный договором фракционный состав

ограничений либо просто не учитывать приИпостроении модели. Существенным и управляемым оказывается второй фактор.

3.1.2. Содержание модели линейного программирования

Сокращение издержек производства на доставку строительных материалов и конструкций на объекты строительства достигается за счет рационального закрепления потребителей за поставщиками и рациональной организации их доставки. Задача, которая при этом

29

решается, – оптимизация поставок строительных материалов, т.е. нужно найти такое решение, при котором стоимость продукции

франко-строительная площадка будет наименьшей. Эта стоимость складывается из двух частей: отпускной цены франко-склад поставщика и расходов по доставке к объекту строительства. На Спервую составляющую (отпускную цену) потребители влиять не

могут и принимают ее такой, какой диктуют поставщики. На вторую часть (расходы по доставке) потребители могут и должны влиять. Задача при этом – свести эту часть расходов к минимуму за счет минимумоптимального плана прикрепления потребителей к поставщикам

и равной сто мости ед ницы продукции (например, автотранспортом по дорогам одного класса), второй (рубли) – в случае применения

продукц . Кр тер ем оптимальности такой задачи может быть транспортной ра оты в тонно-километрах или минимум транспортной ра оты в ру лях. Первый критерий (тонно-километры) рекомендуетсябАпр менять при использовании транспорта одного вида

транспорта разного вида (например, автомобильного и железнодорожного) ли только одного вида, но с разной стоимостью единицы продукции.

Задача формулируется следующим образом. Ряд поставщиков располагает определенным количеством данного материала. Ряд потребителей (строительные о ъекты) заинтересованы в получении

этого материала. Известно, какоеДколичество данного материала (в физических единицах) имеется у каждого поставщика на пункте отправления и сколько его требуется в каждом пункте потребления.

Требуется разработать такой план поставок, при котором весь данный материал из каждого пункта поставки будет вывезен, потребности каждого пункта потребленияИбудут полностью удовлетворены, стоимость перевозки будет минимальна.

Ограничения в этой задаче выражаются тем, что каждый поставщик может поставить только строго определенное количество данного материала, а каждый получатель может принять также строго определенное количество этого же материала.

Математическая формулировка следующая [4]:

Пусть имеется m пунктов отправления:

A1, A2, A3, ... , Am,

в которых сосредоточены запасы какого-то однородного товара (груза) в количестве соответственно a1, a2, a3, ... , am единиц.

Имеется n пунктов назначения:

30

B1, B2, B3, ... , Bn,

подавших заявки соответственно на b1, b2, b3, ... , bn единиц товара (груза).

Предполагается, что сумма всех заявок равна сумме всех запасов:

Известна сто мость Cij перевозки единицы товара от каждого

отправлен я Аi в j-й пункт назначения Вj (i=1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n). Неотр цательные переменные х11, х12,..., хmn должны удовлетворять следующим условиям:

1. Суммарное количество груза, направляемое из каждого пункта отправления во все пункты назначения, должно быть равно запасу груза в данном пункте.

всех пунктов отправления, должно быть равно заявке, поданной данным пунктом.

Суммарная стоимость всех перевозок, т.е. сумма величин хij, умноженных на соответствующие стоимости Сij , должна быть

2.Суммарное количество грузаД, доставляемое в каждый пункт изо

Все эти условия удобнее записать в так называемую транспортную таблицу. В ней указываются:

-пункты отправления и назначения; -запасы, имеющиеся в пунктах отправления; -заявки, поданные пунктами назначения;

-стоимости перевозок из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения.

31

Стоимости перевозок помещены в правом верхнем углу ячейки, с тем чтобы в самой ячейке при составлении плана помещать перевозки xij.

Решение транспортной задачи начинается с нахождения опорного плана.

План называется опорным, если в нем отличны от нуля не более r=m+n–1 базисных перевозок хij, а остальные перевозки равны нулю (m – кол чество строк транспортной таблицы; n – количество

столбцу

Обозначим ui –Апотенциалы столбцов, а vj – потенциалы строк транспортной та лицы. Тогда сумма потенциалов в базисных клетках должна быть равна стоимости перевозок (условие 1), а для свободных клеток эта сумма должна ыть меньше или равна стоимости

перевозок (условие 2):

иметь несколько оптимальных планов и требуется дополнительный анализ для выбора одного из них на основе каких-либо критериев [6].

Один из видов распределительных задач связан с отысканием оптимальной последовательности строительства объектов. меется п объектов, фронт работы на которых открыт. На каждом из объектов требуется выполнить вначале земляные работы, а затем устроить дорожную одежду. Известно время, требуемое на выполнение этих работ. Предполагается, что имеется возможность начать работы с любого объекта. Будем полагать, что расстояние между объектами невелико и затраты времени на пepeмещение малы по сравнению с временем работы и потому могут не учитываться. В теории

32