1406
.pdf
ω и вектор углового ускорения |
ε |
направлены |
в одну сторону в |
интервалы времени … |
|
|
|
z |
ωz |
|
|
|
0 |
t1 t2 t3 |
t4 t |
Варианты ответа:
а) от 0 до t1 и от t3 до t4; б) от t1 до t2 и от t2 до t3; в) от 0 до t1 и от t2 до t3; г) от 0 до t1 и от t1 до t2.
25. Диск
R
F
равномерно
4
1
2
3
вращается вокруг вертикальной оси в направлении, указанном на рисунке белой стрелкой. В некоторый момент времени к ободу диска была приложена сила, направленная по касательной. До остановки диска правильно изображает направление угловой скорости вектор …
Варианты ответа:
а) 4; б) 2; в) 1; г) 3.
26. Колесо вращается так, как показано на рисунке белой стрелкой. К
4ободу колеса приложена сила,
|
|
|
|
направленная |
по |
касательной. |
||
|
|
|
|
Правильно |
|
изображает |
угловую |
|
|
|
1 |
|
скорость вектор … |
|
|
||
|
|
|
Варианты ответа: |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||
R |
2 |
|
|
а) 2; |
б) 3; в) 4; |
|
г) 1. |
|
F |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
21
27. Диск равномерно
4
1
2
3
вращается вокруг вертикальной оси в
|
направлении, |
указанном |
на |
||
|
рисунке белой стрелкой. В |
||||
|
некоторый момент |
времени |
к |
||
|
ободу |
диска |
была |
приложена |
|
R |
сила, |
направленная |
по |
||
касательной. |
|
|
|
||
F |
|
|
|
||
|
При этом правильно изобра- |
||||
|
жает |
направление |
углового |
||
ускорения диска вектор …
Варианты ответа:
а) 3; б) 2; |
в) 1; г) 4. |
28. Диск равномерно
4
1
R
F 2
3
вращается вокруг вертикальной оси в направлении, указанном на рисунке белой стрелкой. В некоторый момент времени к ободу диска была приложена сила, направленная по касательной.
При этом правильно изображает направление углового ускорения диска вектор …
Варианты ответа:
29. Материальная
υ
t3
t1 t2
а) 3; |
б) 2; |
в) 1; |
г) 4. |
|
|
|
точка движется |
по |
окружности. |
На чертеже |
|||
|
изображена зависимость её скорости от |
|||||
|
времени. |
|
Точка |
имеет |
наибольшее |
|
t4 |
нормальное ускорение в момент времени |
|||||
t |
|
|
|
|
|
|
Варианты ответа:
а) t1; б) t2; в) t3; г) t4.
22
30. Тело вращается вокруг неподвижной оси. Зависимость угловой |
||||||||||||||
|
|
|
ω, рад/с |
|
скорости от времени ω(t) приведена на |
|||||||||
|
|
10 |
|
|
|
|
рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тангенциальное |
|
ускорение |
точки, |
||||
|
-2 |
-1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
t, с |
находящейся на расстоянии |
1 м |
от оси |
|||||
|
|
-10 |
|
|
|
|
вращения, равно …. |
|
|
|
|
|||
|
|
-20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответа: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
а) 0,5 м/с2; |
б) –0,5 |
м/с2; |
в) 5 м/с2; |
г) –5 м/с2. |
|
||||||
31. |
Твердое |
тело начинает |
вращаться |
вокруг |
оси Z |
с |
угловой |
|||||||
|
ωz, рад/с |
|
|
|
|
скоростью, |
проекция |
|
которой |
|||||
|
|
|
|
|
изменяется во времени, как показано на |
|||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
графике. |
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Через |
10 с |
|
тело |
окажется |
||
0 |
|
|
|
|
8 |
10 |
повернутым |
относительно |
начального |
|||||
|
2 |
4 |
|
6 |
|
t, с |
положения на угол … |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответа: |
|
|
|
|
|||
|
|
а) 16 рад; |
б) 12 рад; |
в) 8 рад; |
г) 32 рад. |
|
|||||
32. Твердое |
тело |
|
начинает |
вращаться вокруг оси Z с угловой |
|||||||
|
ωz, рад/с |
|
|
|
скоростью, |
проекция |
|
которой |
|||
4 |
|
|
|
|
|
|
изменяется со |
временем, как |
показано |
||
|
|
|
|
|
|
на графике. |
Угловое |
перемещение |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
8 |
10 |
|
(в радианах) в промежутке времени от |
||||
0 |
2 |
4 |
6 |
t, с |
2 до 4 с равно … |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответа: |
|
|
|
||
а) 4 рад; б) 2 рад; в) 6 рад; |
г) 8 рад. |
23
33. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой |
||||||||||
скоростью, проекция которой изменяется со временем, как показано |
||||||||||
|
ωz, рад/с |
|
|
|
на графике. |
|
|
|||
|
|
|
|
Через 11 с тело окажется повер-нутым |
||||||
4 |
|
|
|
|
|
относительно начального положения |
||||
2 |
|
|
|
|
|
на угол … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
t, с |
|
Варианты ответа: |
||
|
|
|
|
|
||||||
-2 |
|
|
|
|
|
а) 4 рад; |
б) 12 рад; в) 0 рад; г) 24 рад. |
|||
34. Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности |
||||||||||
радиусом R = 2 м с угловой скоростью, модуль которой изменяется с |
||||||||||
течением |
времени |
по |
закону |
ω = 2t 2 . |
Отношение |
нормального |
||||
ускорения к тангенциальному через 2 с равно … |
|
|||||||||
Варианты ответа:
а) 4; б) 2; в) 1; г) 8.
35. Диск катится равномерно по горизонтальной поверхности со
|
2 |
3 R |
1 |
|
υ0 |
|
|
А4
скоростью υR0 без проскальзывания. Вектор скорости точки А,
лежащей на ободе диска, ориентирован в направлении …
Варианты ответа:
а) 4; |
б) 2; |
в) 1; |
г) 3. |
36. Диск катится равномерно по горизонтальной поверхности со
R
υ0 А 1
4 2
3
скоростью υR0 без проскальзывания. Вектор скорости точки А, лежащей на ободе диска,
ориентирован в направлении …
24
Варианты ответа:
а) 4; б) 2; в) 1; г) 3.
37. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Скорость точки,
|
υ, м/с |
|
|
|
находящейся на расстоянии 10 см от |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
оси, изменяется со временем в |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
|
соответствии с |
графиком, |
представ- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ленным на рисунке. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Зависимость |
угловой |
скорости |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
тела от времени (в единицах СИ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
задается уравнением … |
|
||
0 |
2 |
4 |
6 t, c |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответа: |
|
|
|
|
|
|
|
а) ω = 0,1(1+ 7,5t) ; |
б) ω = 0,1(1+ 0,5t) ; |
|
||||
|
|
|
|
в) ω = 10 + 7,5t ; |
г) ω = 10 + 5t . |
|
||||
2. ДИНАМИКА ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
2.1.Основные понятия, законы и формулы
∙Первый закон Ньютона: материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет его из этого состояния.
Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.
∙Масса тела – физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая её инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства.
∙Единица массы – кг (килограмм).
∙Сила – векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате
25
которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры. В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения.
∙Единица силы – Н (ньютон).
∙Второй закон Ньютона: скорость изменения импульса p = mυ материальной точки равна равнодействующей всех сил, действующих на нее:
R |
n |
R |
|
|
dp |
|
|||
= ∑ Fi . |
(2.1) |
|||
dt |
||||
i=1 |
|
|
||
|
|
|
||
∙ Если масса постоянна, то второй закон Ньютона может быть выражен формулой
R |
n |
R |
|
|
|
||
m a |
= ∑ Fi . |
(2.2) |
|
i =1
∙ Изменение импульса |
материальной |
|
точки равно |
||
действующей на неё силы: |
|
|
|
|
|
|
R |
R |
= |
t2 |
R |
|
|
||||
p = p(t2 ) − p(t1) |
∫ F (t)dt, |
||||
|
|
|
|
t1 |
|
|
R |
n R |
|
|
|
где |
F (t) = ∑ Fi (t) . |
|
|
||
i=1
импульсу
(2.3)
∙ Если равнодействующая всех сил равна нулю |
F (t ) = 0 , то |
||||
|
|
R |
R |
|
R |
импульс материальной точки сохраняется: |
p(t2 ) − p(t1) = |
p = 0. |
|||
|
R |
|
|
|
|
R |
Fτ |
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
n |
|
R |
|
|
|
V |
|
F |
|
|
|
Fn |
|
|
|
|
|
Рис. 2.1
26
∙ Сила, действующая на материальную точку, движущуюся по кривой, может быть разложена на две составляющие – тангенциальную и нормальную (рис. 2.1). Тангенциальная (или касательная) сила
R |
= ma |
|
= m dυ τV , |
|
||
F |
|
|
||||
|
R |
|
|
|
|
|
τ |
|
τ |
|
|
|
(2.4) |
|
|
dt |
||||
|
|
|
|
|
||
где τ – единичный вектор, направленный по касательной к траектории.
Нормальная, или центростремительная, сила
R |
R |
= m |
υ 2 R |
|
Fn |
= man |
n , |
(2.5) |
|
|
|
|
R |
|
где n – единичный вектор, направленный по нормали к траектории, a R – радиус кривизны траектории.
R |
|
∙ Полный импульс P системы материальных точек равен сумме |
|
импульсов всех этих материальных точек: |
|
R n R |
|
P = ∑ pi . |
(2.6) |
∙ Закон сохранения импульса: полный импульс замкнутой системы материальных точек не изменяется с течением времени:
R |
n |
R |
|
|
|
|
|
P = ∑mi υi = const , |
(2.7) |
||
i=1
где n – число материальных точек (тел), входящих в систему.
∙ Применение закона сохранения импульса к соударению двух
тел
|
|
R |
|
R |
|
R |
R |
(2.8) |
|
|
m1υ1 |
+ m2υ2 |
= m1u1 + mu2 , |
||||
R |
R |
(i = 1, 2) – скорости |
|
|
1 |
и 2 до и |
|
|
где υi |
, ui |
тел |
после соударений |
|||||
соответственно.
∙ При неупругом ударе, когда тела слипаются после соударения,
их общая скорость u становится равной
27
|
|
R |
R |
|
|
R |
= |
m υ |
+ m υ |
|
|
u |
1 1 |
2 2 |
. |
(2.9) |
|
|
|
||||
|
|
m1 + m2 |
|
||
∙ Третий закон Ньютона: силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
F12 |
= − F21 . |
|
(2.10) |
|||||
Это вытекает из того, что для двух взаимодействующих между |
|||||||||||
|
|
|
R |
|
|
R |
= const , следовательно, |
||||
собой материальных точек p1 |
+ p2 |
||||||||||
|
d R |
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
dp |
|
dp |
R |
R |
|
|||
|
|
( p |
+ p ) |
= |
|
1 |
+ |
2 |
= F |
+ F |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
dt |
1 |
2 |
|
|
dt |
|
dt |
12 |
21 |
|
∙ Центром масс |
механической |
системы, |
состоящей из п |
||||||||
материальных точек с массами mi и скоростями υi , называется точка пространства с радиусом-вектором
|
|
n |
R |
|
||
|
|
|
|
|||
R |
|
∑miri |
|
|||
= |
i =1 |
. |
|
|||
R |
(2.11) |
|||||
|
||||||
c |
|
n |
|
|
||
|
|
∑mi |
|
|||
i =1
Следует понимать, что в этом месте пространства может не быть ни одной материальной точки, это просто удобная характеристика системы материальных точек.
∙ Скорость υc перемещения центра масс Rc в пространстве определяется формулой
|
|
n |
R |
|
||
|
|
|
|
|||
R |
= |
∑miυi |
|
|||
i =1 |
. |
|
||||
υ |
(2.12) |
|||||
|
||||||
c |
|
|
n |
|||
|
∑mi |
|
||||
|
|
|
||||
i=1
∙Силы трения – тангенциальные силы, возникающие при соприкосновении поверхностей тел и препятствующие их относительному перемещению.
∙Сила трения покоя
(Fтр |
) = μ0N . |
(2.13) |
0 |
max |
|
28
Относительное движение тел возникает, если внешняя сила F > (Fтр0 )max , где (Fпр0 )max – предельная сила трения покоя; μ0 – коэффициент трения покоя; N – сила нормального давления (рис. 2.2).
R
N R
Fтр
R
F
R
FN
α |
R |
R |
P = mg |
||
Рис. 2.2
· Сила трения скольжения
Fтр = µFN = − µN , |
(2.14) |
где µ – коэффициент трения скольжения, FN – нормальная сила (сила нормального давления), N – абсолютная величина силы нормального давления.
· Сила упругости
Fупр = −k l = −k(x − x0 ) , |
(2.15) |
где k – коэффициент жесткости; х – координата незакрепленного конца пружины; x0 – она же для нерастянутой пружины. Знак минус показывает, что сила направлена в обратную деформации сторону.
· Сила гравитационного взаимодействия
R |
|
|
|
R |
|
||
= -G |
m1 m 2 |
|
r12 |
, |
|
||
F21 |
|
(2.16) |
|||||
r 2 |
|
||||||
|
|
|
r |
|
|||
где G =6,67×10-11 H×м/кг2 |
- гравитационная постоянная. |
|||||
Здесь r = |
|
R |
|
; |
R |
радиус-вектор тела 2 относительно тела 1. |
|
|
|||||
|
r12 |
|
r12 – |
|||
Знак минус в формуле (2.16) указывает на притяжение тел.
29
|
|
|
2.2. Тестовые задачи для контроля знаний |
|
|
|||||||||||
1. |
Система |
состоит |
из |
трех |
шаров |
с |
массами |
m1 = 1 кг; |
m2 = 2 кг; |
|||||||
|
|
|
y |
|
|
|
m3 = 3 кг, |
которые двигаются так, как |
||||||||
|
|
|
|
R |
|
показано |
на |
рисунке. Если |
скорости |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
m1 |
υ1 |
шаров |
равны υ1 = 3 м/с; |
υ2 = 2 м/с; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
υ3 = 1 м/с, то вектор скорости центра |
|||||||||
|
R |
|
0 |
m2 |
x |
масс этой системы направлен … |
|
|||||||||
|
m3 |
|
|
|
|
|
Варианты ответа: |
|
||||||||
|
υ3 |
|
υ2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) вдоль оси +ox; |
|
б) вдоль оси +oy; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
в) вдоль оси – oy; |
|
г) вдоль оси – ox. |
|||||||
2. Система |
состоит |
из трех |
шаров |
с |
массами |
m1 = 1 кг; |
m2 = 2 кг; |
|||||||||
|
y |
R |
|
m3 = 3 кг, которые двигаются так, как показано |
||||||||||||
|
υ1 |
|
на |
рисунке. |
Если |
скорости |
шаров |
равны |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
m1 |
R |
υ1 = 3 м/с; |
υ2 = 2 м/с; |
υ3 = 1 м/с, |
то |
величина |
||||||||
|
|
|
m2 |
υ2 |
скорости центра масс этой системы в м/с равна |
|||||||||||
|
0 |
m3 |
x |
… |
|
|
Варианты ответа: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
R |
|
|
|
а) 4; |
б) 2/3; |
в) 10; |
г) 5/3. |
|
|||||
|
|
υ3 |
|
|
|
|
||||||||||
3. |
Система |
состоит |
из |
трех |
шаров |
с |
массами |
m1 = 1 кг; |
m2 = 2 кг; |
|||||||
|
y |
R |
|
m3 = 3 кг, которые двигаются так, как показано |
||||||||||||
|
υ1 |
|
на |
рисунке. |
Если |
скорости |
шаров |
равны |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
m1 |
R |
υ1 = 3 м/с; |
υ2 = 2 м/с; υ3 = 1 м/с, то |
вектор |
||||||||||
|
|
|
m2 |
υ2 |
скорости центра масс этой системы направлен |
|||||||||||
|
0 |
m3 |
x |
… |
|
|
Варианты ответа: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
R |
|
|
а) вдоль оси +ox; |
б) вдоль оси +oy; |
|
||||||||
|
|
υ3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
в) вдоль оси – oy. |
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Система |
состоит |
из |
трех |
шаров |
с |
массами |
m1 = 1 кг; |
m2 = 2 кг; |
|||||||
|
y |
R |
|
m3 = 3 кг, |
которые двигаются так, как показано |
|||||||||||
|
υ1 |
|
на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ1 = 3 м/с; |
|||||||
|
|
m1 |
R |
|
Если |
скорости шаров |
равны |
|||||||||
|
0 |
|
m2 |
υ2 |
υ2 = 2 м/с; |
υ3 = 1 м/с, |
то |
вектор |
импульса |
|||||||
|
|
m3 |
x |
центра масс этой системы направлен … |
|
|||||||||||
30