1282

Пусть имеется система двух случайных величин (X, Y) с плотностью вероятности j[x, у). Если <р(х, у) - числовая функция двух переменных, то случайная величина Z = <р(Х, У) называется функцией двух случайных величин X, У. Функция распределения случайной величины Z определяется

соотношением

Если Хч Y - независимые случайные величины, сумму X + Y называют композицией законов распределения. Формулы (11.7) и (11.8) в этом случае

такие:

Например, когда X к У распределены нормально с параметрами а*, C7r,ay>0y соответственно, можно показать, что их композиция X + также распределена нормально с параметрами (ax +aY )и (рх +<ТУ ) •

Рис. 11.2

11.4. Примеры решения задач

ПАЛ. Составить композицию двух случайных величин, равномерно

распределенных на отрезке (0, 1). Решение.

1, 0 < х < 1 ,

fx{x) =

0 в противном случае;

1, 0 < > ; < 1 ,

m =

Ов противном случае.

оо

Еслиг = Л ' + Г , т о / г ( г ) = jfx(x)fY(z - x)dx.

-со

Функция f\{x) отлична от нуля только при 0 < х < 1. Опишем функцию friz - х) при 0 < х < 1.

f 1, 0 < z - х < 1, friz -х) Н

[О в противном случае.

Так как 0 < х < 1, то неравенство 0 < z -х < 1 выполняется в полосе ABCD (рис. 11.3).

\\-dx = 2-z, \<,z<2.

U-i

11.4.2. Найти композицию независимых случайных величин А' и Y, если каждая из них имеет показательное распределение с параметрами Я,, Я2

соответственно.

х < 0 ,

х > 0 ;

У < 0,

[Я2е -^2*> _у > 0.

образом, f7 (z) = 0, если z < 0. Пусть z > 0.

Я2 - Я,

я , я 2

(£АР(-Я, z) - £A7>(-^z)).

Я-j— Я)

Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условию ху < z, - это заштрихованная на рис.14 область D.

Fz (z) = р( AT < z) = J]/(x, >0<fc<r> = J }/(*, у > й ф + J (fix, y)dxdy.

D - o o r / x 0 - o s

Рис.11.4

Если продифференцировать это выражение по z, получим

квадрате ABCD, длина стороны которого равна 1 (рис. 11.5, а). Найти закон распределения площади S прямоугольника AEFN со сторонами Л!" и Y.

Решение . Ясно, что F^z) = 0, если z < О, и F&) = 1, если z > 1. Рассмотрим значения z из интервала (0, 1) (рис.11.5, б).

Равномерное распределение системы (X, Y) внутри квадрата ABCD площади 1 означает, что

Г\,естО£х,у< 1;

[О в противном случае. Тогда, если 0 < z < 1,

1 1

Fs(z) = p(S <z) = p(XY < z) = 1 - \dx \dy = z(l - In z).

z tlx

Отсюда

-lnz, если 0 < z < 1,

Ов противном случае.

a)

Рис.11.5

11.4.5. Случайные величины X и Y независимы и распределены нормально с параметрами ах = ау = О, ах = о> = 1. Найти плотность

вероятности случайной величины Z = X +Y . Решение.

Fz(z) = p(Z < z) = p(A"2 + Г2 < z) = 0, если z < 0. Пусть z > 0, тогда

124

/ H A ' 2 + r ' 2 < z ) = \\f(x,y)dxdy.

где /? - круг радиуса Vz с центром в начале координат (рис. 11.6).

2л- £АР(-0,5(х2 + / ) ) .

Положим х = р cos _у = р sin .

¥• X

= — J J/7£^/J (-0,5p2 )^9 ) = l-£W>(-0,5z).

11.5.1. Числовые характеристики функции системы двух случайных величин

Если Z = <р(Х, Y) - функция двух непрерывных случайных величин X и Y, то математическим ожиданием величины Z называется число, определяемое формулой

125

—00 —00

Интеграл (11.10) предполагается сходящимся абсолютно. Дисперсией

случайной величины Z называется число

- 0 0 —00

Если в формуле (11.11) раскрыть скобки и привести подобные, то

11.5.2.Ковариация и коэффициент корреляции

Как и в дискретном случае, ковариацией непрерывных случайных величин X, Y называется математическое ожидание произведения

Когда ЛГи Y независимы, то Cov(A\ У) = 0, ведь в этом случае

/(х,у) = /х(х)/у(У)**

Cov(A\ Y)= ] )xyfx(x)My)dxdy-M(X)M(Y) =

Обратное утверждение неверно, Cov(Ar,K) может равняться нулю, хотя X и Y- независимые случайные величины. Пример уже был приведен

для дискретного случая.

Коэффициентом корреляции случайных величин A", Y называется число

11.5.3. Математическое ожидание и дисперсия суммы непрерывных случайных величин

Пусть X, Y - непрерывные случайные величины, имеющие

математические ожидания и дисперсии. Найдем математическое ожидание их суммы

Как и в случае дискретных случайных величин, найдем дисперсию суммы

D(X±Y) = М(Х ± Y)2 -M2(X±Y) = М(Х2 +Y2 ± 2XY) -

-[М{Х)± M(Y))2 = М(Х2) + M(Y2)± 2M(XY)-М2(Х) - Л/2(К)±

что также совпадает с результатом для дискретного случая.

Когда случайные величины X и Y независимы, их ковариация равна нулю, а ГХХ± Y) - ГХ.Х) + D(Y).

Если слагаемых не два, а п, то формула (11.12) обобщается так:

подобно уже проведенному для случая дискретных случайных величин .

на У равномерно распределена на отрезке [0, 2]. Определить: М(Х + У),

М(АУ), MiX2), MiX-У2), DiX+ У), DiX-Y).

Решение. Дано, что MiX) = 1, Д А ) = 4, М(У) = 1, Д У ) - 1/3.

Тогда MiX + У) = MiX) + Л/(У) = 2; Л/(АУ) - Л/(А)М(У) - 1; ЩХ2) = ДАТ + Л/ЧА) = 5; Л/(^) = Д Г ) + Л^У) = 4/3; Л/(А - Г2) = Л/(А) - ЩУ2)

=-1/3; ДА" + У) = Д А ) + Д 1 ? = 13/3; ДА" - Y) - Д А ) + Д К) = 13/3.

11.6.2.Случайные величины А и У имеют математические ожидания MiX) = - 1 , Л/(У) = 3. Ковариация этих величин равна 6.

Найти математическое ожидание случайной величины Z = ЗАУ + 4.

+4 = 13.

11.6.3.Из истории мер. Мера длины фут, как видно из названия, имеет прямое отношение к ноге. Это - длина ступни. Но, как известно, размеры ног бывают разные. Немцы в XVI в. выходили из положения следующим образом. В воскресный день ставили рядом 16 первых вышедших из церкви мужчин. Сумма длин их левых ступней делилась на 16. Средняя длина и была «правильным и законным футом». Известно, что размер стопы взрослого мужчины - случайная величина А, имеющая нормальное распределение со средним значением a = 262,5 мм и средним квадратическим отклонением a = 12 мм. Найти вероятность того, что два «правильных и законных» значения фута, определенных по двум различным группам мужчин, отличаются более чем на 5 мм. Сколько нужно было бы взять мужчин, чтобы с вероятностью, большей 0,99, средний размер их ступней отличался от 262,5 мм менее чем на 0,5 мм?

Решение. Сумма попарно независимых случайных величин, имеющих нормальное распределение, также нормально распределена. Математическое ожидание и дисперсия этой суммы равны соответственно сумме математических ожиданий и сумме дисперсий слагаемых. Тогда случайная величина А - сумма длин левых ступней 16 случайно

отобранных мужчин - имеет нормальное распределение с математическим | ожиданием, равным 16-262,5 мм? и дисперсией, равной 16-122 мм2,

Случайная величина У = А/16 нормально распределена, и М(У) = 262,5 мм, П(У) = 144/16 мм2, = 9мм2, oiY)= 3 мм.

Разность двух таких независимых и одинаково распределенных случайных величин Z = У| - У2 имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной 9 + 9 = = 18 мм2, о\Т) = 3 -Jl мм. Нужно найти вероятность p(|Z| > 5.). Имеем

pi\Z\ < 5) =2Ф(~4=)= 2Ф(1,18) = 0,762. Искомая вероятность - это вероят3V2

ность противоположного события, она равна разности 1 - 0,762 = 0,238.

)

р\\ 262,5 <0,5

1

и среднего квадратического отклонения случайной величины —.

— > 2,58 => л £ 3 8 3 4 . 24

11.6.4. Случайные величины А и У равномерно распределены на отрезке (0, 1). Доказать, что при любом характере зависимости между величинами А и У имеет место неравенство ЫЛХ - У|) £ 0,5.

Решение. Воспользуемся неравенством |х + > | & |х| + \у\.

= J|x - 0,5|/* ix)dx + J|0,5 - y\fY iy) = \\x - 0,5\dx + j\y - 0,5|<r> = 0,5.

любого сколь угодно малого Е > 0 при я -> СО справедливо предельное соотношение

I

®(^»} _> 0, и ->' оо, то закон больших чисел справедлив для

последовательности (*).

Теорема Чебышева. Если случайные величины ХХ,Х2,...,Х„... попарно независимы, имеют конечные математические ожидания и равномерно ограниченные дисперсии, т.е. D(Xn)<L, где L - заданное число, независящее от я, то для последовательности (*) выполняется закон больших чисел.

Теорема Чебышева следует из теоремы Маркова. Ведь в силу попарной

Всвою очередь, теорема Маркова получается из неравенства

Покажем, что закон больших чисел применим для схемы Бернулли. Пусть X - случайная величина, которая равна 1, если в / - м испытании произошел "успех", и равна нулю в противном случае. Тогда М(Х{) = р, а ЩХ,) = pq <, 1, так как 0 < р, q <, 1.

Случайные величины Xi попарно независимы, поэтому выполнены условия теоремы Чебышева - к последовательности Хх, Х2, Хп...

применим закон больших чисел:

число появлений "успеха" в я независимых испытаниях, следовательно,

/К — р' < Е) -> 1, Я - » СО .

я

"успеха" в я независимых испытаниях. Итак, при я -> СО относительная частота появления "успеха" в я независимых испытаниях сходится по вероятности к вероятности р появления "успеха" в одном испытании.

В центральной предельной теореме описываются условия, при которых возникает нормальный закон распределения. Оказывается, что он возникает всякий раз, когда случайная величина может быть представлена в виде суммы достаточно большого числа попарно независимых случайных величин, каждая из которых сравнительно мало влияет на всю сумму.

Пусть случайные величины А,, Х2, X „...(*) попарно независимы

и каждая из них обладает математическим ожиданием и дисперсией:

п

М(Х[) = я , , D{Xj ) = of . Обозначим через Sn сумму £ А , , через А„ сумму

предельное соотношение

S.-A. -</2)->-= \е 2 dt, п ->оо.

е д ­

иными словами, при п ->« случайная величина S„ имеет приближенно нормальное распределение с параметрами а = Ап и o~ = <yfii^.

Теорема Ляпунова. В этой теореме устанавливаются достаточно общие условия, выполнение которых влечет применимость центральной предельной теоремы к последовательности (*). Эти условия охватывают большинство практических случаев.

Будем дополнительно предполагать, что у случайных величин А} существуют абсолютные центральные моменты третьей степени

Af(|A,|3) = С,. Если для последовательности (*) справедливо предельное

12.4. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Случайные величины Щ , введенные при рассмотрении схемы Бернулли, независимы и одинаково распределены с математическим

независимых испытаниях - можно считать при больших п приближенно

события {А - к) можно приближенно положить равной значению функции плотности вероятности в точке х = к .

плотности вероятности центрированного и нормированного нормального распределения. Этот результат называется локальной теоремой Лапласа.

Вероятность события л, < А < к2 (< или < - это неважно) при больших значениях п можно вычислить через значения функции Лапласа

Выведенные формулы дают хорошее приближение к истинным значениям вероятностей тогда, когда п достаточно велико (50 и более), а вероятность р не слишком отличается от 0,5 в ту или иную сторону. Практически можно судить о возможности замены биноминального распределения нормальным по тому, выполнены ли при данных пир условия

пр - 3^npq > 0; пр + З-yJnpq < п.

Эти условия основаны на "правиле трех сигм" для нормального закона (см. 10.8.6), когда они соблюдены, можно пользоваться нормальным распределением.

математического ожидания не превышает 0,25. б) Определить, сколько таких случайных величин нужно взять, чтобы с вероятностью, не меньшей

12.5.3. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента равна 0,05. Оценить вероятность того, что модуль разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов окажется не меньше двух.

Решение. Пусть X - число отказавших элементов. Тогда е = 2; « = 1 0 ; р = 0,05; 9 = 0,95; Л/(А> пр = 0,5; D(X)= npq = 0,475.

£4

Пользоваться нормальным законом распределения в этом случае нельзя, так как вероятность р мала, кроме того, ст{Х) = ^0,475 = 0,689; Зо\Х) = 2,07; пр - Ъо\Х) = 0,5 - 2,07= -1,57 < 0.

Если бы мы подсчитывали число работающих элементов, то вероятность р равнялась бы 0,95, и тогда пр + За(Х) = 9,5 + 2,07 = \2,2>п.

12.5.4. Оценить вероятность того, что частота появления "шестерки" в 10 000 независимых бросаниях кубика отклонится от вероятности появления "шестерки" по абсолютной величине меньше чем на 0,01.

Решение. Если X - число появлений "шестерки" в п независимых бросаниях кубика, то частота появления "шестерки" - это случайная

12.5.5. Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,5. Оценить вероятность того, что в 100 независимых испытаниях событие А появится от 40 до 60 раз.

Решение. Случайная величина X - число появления события А в 100 независимых испытаниях - имеет биноминальное распределение с математическим ожиданием М(Х) - 1001/2 - 50 и дисперсией

D(X) = 100 - — - — = 25. Значит, нужно оценить вероятность события

р(\ X - 50| < 10). Следовательно,

р(\Х-50| < 10) > 1 - ^ = 0,75.

Использование нормального закона дает такой результат:

р(|Л--50|<10) = 2 Ф | У = 0,9544.

Число опытов п невелико, поэтому снова получается большое расхождение с оценкой по неравенству Чебышева.

Между тем пр±За(Х) = 50±15; 35 > 0; 65 < 100, поэтому применение

центральной предельной теоремы правомерно.

При решении следующих задач подразумевается возможность использования нормального распределения.

12.5.6. Монета брошена 2N раз (N велико). Найти вероятность того, что

12.5.7. Вероятность появления некоторого события А в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что это событие появится: а) не менее 1470 и не более 1500 раз; б) не менее 1470 раз; в) не более 1469 раз.

Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Муавра - Лапласа.

определяем, что Ф(0) - 0, Ф(1,43) = 0,4236. Тогда искомая вероятное

р(Х < 1469) =\-р(Х* 1470) = = 1 - 0,5 = 0,5.

12.5.8.Вероятность появления положительного результата в каждом из

попытов равна 0,8. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что не менее 75 опытов дадут положительный результат?

Решение. По условию р = 0,8, q = 0,2, х, = 75, к2 = п, р(Х > 75) = 0,9. Нужно найти п. Таким образом, р(Х £ 75) = р(75 < X < п) = <Z>(x2 ) - Ф(х,),

уравнение 0,8х2 - 0,512х - 75 = 0, откуда х, 2 = 0 , 5 1 2 ± 1 5 ' - . 1,6

_ Так как корень не может быть отрицательным, остается одно значение: Vw"= 10; л = 100.

12.5.9. В очереди на получение денег в кассу стоят п = 60 человек; размер выплаты каждому из них случаен. Средняя выплата X = 500 руб., среднее квадратическое отклонение выплаты <г0 = 200 руб. Выплаты отдельным получателям независимы. Сколько должно быть денег в кассе, чтобы их с вероятностью 0,95 хватило на выплату всем 60 получателям? Каков будет гарантированный с той же вероятностью 0,95 остаток денег в кассе после выплаты всем 60 получателям, если в начале выплаты в кассе было 35000 руб.?

Решение. Подразумевается, что случайная величина X - суммарная выплата 60 получателям - есть сумма 60 независимых, одинаково

предельной теоремы для одинаково распределенных слагаемых величину X можно считать приближенно нормально распределенной с параметрами

а= 60-500 = 30 000 руб. и <т = 200л/б0 * 1549руб.

Пусть х - необходимый запас денег. Он определяется из условия р{Х>

функции Лапласа находим, что - — - — * - - = 1,65; х = 32 556 руб. Остаток 1549

денег в кассе равен разности 35 000 - х = 35 000 - 32 556 • 2444 руб.

Библиографический список

4 Вентцель Е.С. Теория вероятностей и её инженерные приложения /1:.С.Вентцель, Л.А.Овчаров. - М.:Наука, 1988.

5.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1975.

6.Гнеденко Б.Н. Курс теории вероятностей. - М.:Наука, 1988.

7.Ежов И.И. Элементы комбинаторики /И.И. Ежов, А.В. Скороход, М.И. Ядрен к о - М . : Наука, 1977.

8.Жевержеев В.Ф. Специальный курс высшей математики для втузов /В.Ф.Жсвержеев. Л.А.Кальницкий, Н.А.Сапогов. - М . : Высшая школа, 1970.

9.Мешолкин Л.Д. Сборник задач но теории вероятностей. - М.: Изд-во МГУ. 1963.

10.Мостеллер Ф. Вероятность / Ф. Мостеллер, Р. Рурке, Дж. Томас. - М.: Мир,

1969.

11.Мостелчер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. - М: Наука, 1971.

12.Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы / Э.А. Вуколов, А.В.Ефимов, В.II. Земское и др.; Под ред. А.В. Ефимова. - М.: Наука, 1984.

13.Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций/ Б.Г. Володин, М.Н.Ганин, И.Н. Динер и др.; Под ред. А.А.Свешникова. - М.: Наука.1970.

14Тернер Д. Вероятность, статисгика и исследование операций. - М.: Статистика,

1976.

15.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. - М.: Мир, 1984. -

Т.1.

Приложение