1137

Глава 2 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Сотри случайные черты – и ты увидишь: мир прекрасен.

А.Блок

1. Правила выполнения таблиц

Порядок составления таблиц определён в нормативном документе Госстандарта России [10, п. 4.4]. При этом рекомендуем следующее.

–Прежде чем записывать результаты измерений в таблицу, сделайте (если есть такая возможность) несколько пробных отсчётов.

–При отсчёте показаний прибора записывайте максимальное число значащих цифр в соответствии с ценой наименьшего деления прибора.

–Не производите никаких, даже простых, арифметических действий в уме, прежде чем записать результат наблюдения.

–Избегайте черновых записей. Переписывание с черновиков отнимает время и не всегда проходит без ошибок. Не стирайте и не замазывайте экспериментальные значения; не исправляйте цифру, вписывая цифру поверх неправильной; при исправлении зачёркивайте всё число и рядом на свободном месте в той же клетке таблицы пишите правильное.

–Вносите в таблицу только те величины, которые изменяются или могут изменяться в ходе измерений, а также те, предполагаемое постоянство которых нужно проверить в результате эксперимента. Величины, значения которых не изменяются, в том числе известные до опыта из справочников, размещайте вне таблицы. Например, Т = 294 К; g = 9,81/c2.

–В заголовке таблицы (в начале столбца или строки) указывайте символ величины и через запятую наименование её единицы, например, I, 10-3 А или I, мА; U, В (см. табл. 5). Если во всех числах строки или столбца содержится много нулей, снабжайте единицу величины в заголовке таблицы десятичным множителем (см. табл. 5), так чтобы записываемые числа были заключены примерно в интервале от 0,1 до 100. Тогда сокращается время записи (и вероятность ошибки при записи многозначного числа),

61

таблица выглядит компактной и легко читаемой.

Внесение в таблицу порядковых номеров измерений стандартом не предусмотрено. Нумерация граф таблицы допускается в тех случаях, когда в тексте имеются ссылки на них, при делении таблицы на части, а также при переносе таблицы на следующую страницу.

2. Графический способ представления результатов эксперимента

Точки отражают экспериментальные факты, а кривые на графиках – мнение экспериментатора об этих фактах.

М.А.Штремель «Инженер в лаборатории»18

Один рисунок лучше тысячи слов.

Китайская пословица

2.1. Правила выполнения диаграмм

Изображение функциональной зависимости двух переменных называют диаграммой. Различают линейные диаграммы (их часто называют графиками), если зависимость отображается линией в координатной плоскости, и плоскостные, когда зависимость представляется столбиками, лентами, секторами различного размера. Понятие диаграммы более общее, чем график.19 График представляет собой

геометрическое отображение функциональной зависимости (ряд точек или линия) на линейной диаграмме. На одной диаграмме можно построить несколько графиков.

Графики полезны для наглядного представления зависимости, выраженной аналитически (в виде уравнения), и незаменимы там, где эта зависимость не установлена. В частности, когда аналитическое выражение функции неизвестно, но имеется её график и общее представление об интеграле этой функции, можно по площади под кривой найти приближённое значение интеграла этой функции.

Диаграмма в отличие от таблицы даёт возможность более наглядно представить исследуемую зависимость физических величин, позволяет легче увидеть соответствие экспериментальных данных той или иной

18Штремель М.А. Инженер в лаборатории. –М.: Металлургия, 1983. – 128 с.

19В математике график определяется как кривая на плоскости, изображающая зависимость функции от аргумента.

62

гипотезе или теоретической модели, отметить наличие особенностей: периодичности, точек перегиба, экстремума и т. п.

Большинство графиков строят на диаграмме в прямоугольных (декартовых) координатах (рис. 5, 7, 9). Для построения обычно используют изготовленную типографским способом диаграммную бумагу (равномерную, или миллиметровую, логарифмическую и двойную логарифмическуую). В учебной лаборатории допускается использование любой клетчатой бумаги, в том числе и расчерченной с помощью линейки от руки, но с условием, чтобы размер клетки был не больше погрешности величин, значения которых наносятся вдоль соответствующих осей. Выполнение этого условия, если погрешность слишком мала, можно обеспечить двумя способами: а) вместо листа из ученической тетради (с размером клетки 0,5 см) взять диаграммную бумагу с миллиметровыми делениями (“миллиметровку”); б) увеличить поле диаграммы вдоль соответствующей оси и изменить масштаб (цена деления шкалы при этом уменьшится). Таким образом точность отсчёта по диаграмме приводится в соответствие с точностью проведённых измерений.

Выполнение диаграмм регламентировано следующими рекомендациями [9].

─ По горизонтальной оси откладывают независимую переменную Х (аргумент) или ту, значения которой задаёт сам экспериментатор, а по вертикальной – зависимую переменную Y (функцию).

─ Размер графического интервала [расстояния между делительными штрихами и (или) линиями координатной сетки] выбирают с учётом удобства пользования диаграммой, включая отсчёт с интерполяцией20. Представленная на диаграмме информация легко считывается, если выбран простой масштаб, т. е. когда одна клетка соответствует “круглому” числу единиц величины, отсчитываемой вдоль данной оси, например: 0,1; 0,5; 1; 2; 5; 10; 50; 100.

─ Масштаб по обеим осям выбирают так, чтобы: а) экспериментальные точки располагались на всём поле диаграммы, а не были сосредоточены в каком-нибудь углу; б) минимальное деление шкалы диаграммы (сетки диаграммной бумаги) соответствовало погрешности измеренной величины (цена деления не больше погрешности).

При построении диаграммы для более чёткого отображения исследуемой зависимости следует выбрать подходящий функциональный масштаб по одной или обеим осям, когда вместо самих измерен-

20 Интерполяция – нахождение промежуточного значения функции внутри интервала изменения аргумента.

63

64

─ Доверительные интервалы экспериментальных значений изображают отрезками в соответствующих масштабах по осям (рис. 8 и 9, а, б). В середине отрезка находится экспериментальная точка. Если одинаково существенны погрешности как функции, так и аргумента, то показывают те и другие в виде креста погрешностей или прямоугольника (рис. 9, в, г) .

Рис. 9. Изображения границ доверительных интервалов:

а– погрешность Δх аргумента мала по сравнению с погрешностью Δу функции;

б– погрешность Δу мала; в, г – обе погрешности Δу и Δх существенны в

выбранном масштабе диаграммы

Если диаграмма служит для качественной оценки изучаемого явления, то необязательно показывать абсолютные погрешности у каждой точки, в частности тогда, когда они одинаковы для всех точек.

Когда предполагается прямая пропорциональность совместно измеряемых величин, то для проверки этого предположения строят диаграмму с нулём в начале координат по обеим осям. Когда удаётся

провести прямую линию через доверительные интервалы и начало координат (0;0), тогда есть основания утверждать, что между переменными существует прямая пропорциональная зависимость. Линейную зависимость проверяют аналогичным образом; различие лишь в том, что в начале координат не обязательно должна быть точка (0;0), так как в общем случае прямая не проходит через начало координат.

─ Координатные оси заканчивают стрелками, показывающими направление возрастания величин. При наличии координатной сетки и числовых значений у шкал стрелки необязательны.

─ Числа у шкал размещают вне поля диаграммы и располагают горизонтально. Допускается наносить числа внутри диаграммы, когда исследуемая величина принимает как положительные, так и отрицательные значения.

─ Для многозначных чисел на шкалах диаграммы, как и в таблицах, используют кратные и дольные единицы или множитель 10n, где n – целое число (см. рис. 5). Надпись у шкалы силы тока 10-6A означает, что одна единица по шкале соответствует 10-6 A или 1 мкА. Если

65

применяется логарифмическая (неравномерная) шкала, то крупные, равноотстоящие деления помечаются одним из способов:

─ На диаграмме со шкалами обозначения величин следует размещать у середины шкалы с её внешней стороны, а при объединении символа величины с обозначением единицы – в виде дроби, например,

I

10−6 A – в конце последнего числа по оси ординат. Символы и

математические выражения располагаются горизонтально.

─ Единицы показателей, наносимых на диаграмме, располагают одним из следующих способов: а) в конце шкалы между последним и предпоследним числом; б) при недостатке места единицу величины проставляют на месте предпоследнего числа (см. рис. 6, б); в) вместе с наименованием переменной величины (но не её символом!) после запятой, например «Время движения, с» (см. рис. 6, а); г) в конце шкалы после последнего числа вместе с обозначением (символом) переменной величины в виде дроби: в числителе – обозначение величины, а в знаменателе – обозначение единицы.

─ Наименования переменных величин (или их обозначения), если они уже не нанесены одним из перечисленных способов, на диаграммах со шкалами размещают у середины шкалы с её внешней стороны и сопровождают стрелкой, направленной в сторону возрастания значений величины (см. рис. 6, б).

Длину шкал выбирают из условия максимального использования выбранного формата бумаги. Шкалы по оси абсцисс и по оси ординат могут быть разной длины.

Линию графика проводят плавно (без изломов и перегибов) так, чтобы она проходила в пределах интервалов ± Δх и ± Δy, близко к нанесённым точкам. Кривую можно проводить как от руки, так и с помощью лекал или тонкой линейки, поставленной на ребро.

Особенность изменения функции (излом, экстремум, перегиб) на графике показывают в случаях, когда: а) в границах доверительных интервалов не удаётся сгладить линию графика; б) её наличие предсказывает теория. Если в экспериментальном исследовании предполагается проверить наличие максимума, например при изучении резонансных явлений, то вблизи экстремума шаг изменения аргумента

66

рекомендуется уменьшить, и тогда большое число точек более наглядно покажет справедливость предположения. Допускается не проводить никакой линии графика, когда имеется много экспериментальных точек и их частое расположение достаточно отчётливо показывает особенности изменения функции.

Построение диаграмм можно автоматизировать, используя известные компьютерные программы [13, 14]. Наиболее просто это сделать с помощью пакета математических программ MATLAB, где заложена программа построения графиков, причём выбор масштаба и оцифровка осей диаграммы выполняются автоматически.

2.2. Интерполяция и экстраполяция

Так как значения аргумента Х и функции Y в проведённом эксперименте дискретны (исключая случаи, когда они записаны автоматически на диаграммную ленту), возникает необходимость на основе имеющихся данных получить сведения об объекте измерения в промежуточных точках (интерполяция) или даже вне изученного диапазона (экстраполяция).

Рассмотрим простейший метод линейной интерполяции.

Пусть имеется ряд значений величин Х и Y, полученный в результате совместных измерений, и требуется получить значение Yi, соответствующее заданному промежуточному значению Хi , находящемуся между известными значениями Х1 и Х2 . Полагаем, что в узком интервале ΔХ = Х2 – Х1 изменение функции Y(X) от Y1 до Y2 происходит линейно. Находим среднюю скорость изменения функции

знак плюс соответствует возрастанию, а знак минус – убыванию функции в рассматриваемом интервале ΔХ изменения аргумента.

Пример. Требуется определить напряжение на зажимах источника тока Ui при силе тока Ii = 175 А (см. табл. 5). По данным таблицы находим: в интервале от 150 до 200 А средняя скорость изменения напряжения в интервале от 1,50 до 1,25 В составляет

67

U = 0,25АВ = 5,0 мВ/А.

I 50

Если ΔIi = 25 А, то

ΔUi = 5 10−3 25 В = 0,125 В.

Таким образом, искомое значение напряжения, найденное способом линейной интерполяции, при промежуточном значении силы тока 175 А равно

Ui = (1,25 + 0,125) В = 1,38 В. Линейная экстраполяция проводится подобным образом.

Когда экспериментальные данные представлены на диаграмме и через экспериментальные точки проведена наилучшая линия, процедура интерполяции упрощается и результат получается более точным. Однако в случае с резко выраженной нелинейностью графическое интерполирование не даёт желаемой точности. Для повышения точности применяют интерполяционные формулы [12].

При экстраполяции закономерность поведения объекта распространяется на неизученную область, иногда недоступную для наблюдений. Так, измерение максимальной силы тока Im (тока короткого замыкания) через свинцово-кислотный аккумулятор может вывести его из строя, тогда как экстраполируя нагрузочную характеристику (см. рис. 5) до пересечения с осью I, легко получаем значение Im .

Значения, получаемые при экстраполяции, менее надёжны, чем при интерполяции, ввиду того что гипотеза о сохранении закономерности за пределами изученной области не всегда оправдывается. Тем не менее процедура экстраполяции широко используется при прогнозировании явлений в физике, экономике и других науках.

В случае, когда экспериментальные данные обработаны методом наименьших квадратов и получено уравнение, наилучшим образом описывающее результаты эксперимента, любые недостающие данные внутри или вне исследованного диапазона могут быть получены непосредственно из уравнения.

3. Анализ результатов эксперимента и формулирование выводов

После того как эксперимент закончен, искомые величины и границы доверительных интервалов получены, начинается важнейшая часть

68

работы – анализ результатов, их интерпретация22 в рамках принятой математической модели наблюдаемого явления. Любой эксперимент ставится не только с целью определить значения искомых величин с точностью, достаточной для решения поставленной измерительной задачи, но и в большинстве случаев для того, чтобы сопоставить опытные данные со значениями, полученными из предшествующих экспериментов, или со справочными данными. Поскольку даже при многократных измерениях число их ограничено, экспериментальный результат есть величина случайная, и вопрос о совпадении результатов (или их несовпадении), об изменении (или постоянстве) наблюдаемых величин в зависимости от изменения влияющих параметров решается с учётом погрешностей. В учебной лаборатории случаи несовпадения экспериментального результата с теоретическим или табличным происходят не из-за того, что измерительные приборы недостаточно точны, а из-за неполного соответствия принятой модели реальному физическому явлению.

Анализ результатов сводится в основном к выяснению следующих вопросов.

1.Совпадает ли полученное значение с известным из предшествующих экспериментов или с предсказанным теорией?

2.Изменяется ли наблюдаемая величина или остаётся постоянной; уменьшается она или увеличивается при изменении влияющих факторов; зависимость между измеряемыми величинами линейная или нелинейная, изменение монотонное или немонотонное (с экстремумом)?

3.Удовлетворяет ли ход кривой на диаграмме предполагаемому до опыта закону (линейному, логарифмическому, экспоненциальному или какому другому)?

Статистическая обработка результатов измерений, нахождение границ доверительных интервалов, составление таблиц, построение диаграмм – это неотъемлемая часть любого исследования, открываю-

щая возможность анализа результатов, т. е. сравнения получен-

ных значений с табличными, или с теоретически рассчитанными, или с измеренными другим методом; распознавания закономерностей в соотношениях измеренных величин, формулировки их взаимосвязи; анализа диаграмм с целью проверки соответствия графиков изучаемому закону; выявления недостатков установки или методики измерений, которыми можно объяснить

22 Интерпретация (от лат. interpretatio – посредничество) – истолкование, разъяснение смысла.

69

отклонения измеренных величин от предсказанных теорией.

Пример 1. Допустим, эксперимент ставится с целью проверки гипотезы о пропорциональности величин А и В. Пусть в проведённом эксперименте величина А при изменении В изменяется так, что отношения А1/В1, А2 /В2 и т. д. совпадают с учётом доверительных интервалов или так, что на диаграмме в координатах А – В через множество экспериментальных точек (Аi, Вi) можно провести в пределах доверительных интервалов прямую линию, проходящую через начало координат. Тогда есть основания полагать, что между величинами А и В имеет место прямая пропорциональная зависимость, т. е. получено экспериментальное подтверждение предполагаемой закономерности. Если в границах доверительных интервалов удаётся провести прямую линию, но она не проходит через начало координат, то зависимость всего лишь линейная (но не пропорциональная).

Принятию ответственных решений, например о внедрении новой технологии на производстве или о публикации открытия в науке, также предшествует тщательный анализ опытных данных (с учётом погрешностей измерений).

Пример 2. Решается вопрос о целесообразности внедрения новой технологии изготовления детали. Допустим, срок службы детали составляет t1= (1502 ± 17) ч с доверительной вероятностью Р = 0,95 по старой технологии, а по новой – t 2 = (1515 ± 14) ч; Р = 0,95. Представленные здесь результаты с оценками их погрешностей не позволяют считать, что t 2 > t1,23 поскольку результат второго измерения (1515 ч) попадает в интервал значений (от 1485 до 1519 ч) первого измерения. Поэтому решение о внедрении новой технологии может быть принято либо после повышения точности измерений до выявления положительного эффекта, либо после усовершенствования технологии для усиления эффекта, т. е. после того, как будет установлено, что доверительные интервалы значений t2 и t1 не пересекаются.

В учебной лаборатории эксперимент ставится с целью установления характера взаимозависимости измеренных величин, если закономерность до опыта не была известна, но чаще всего с целью подтверждения известной закономерности.

Пример 3. Исследуя зависимости длины звуковой волны и скорости звука в воздухе от частоты получены следующие результаты на

23 Применение методов математической статистики [11] к обработке экспериментальных данных даёт более строгое решение задачи о совпадении или расхождении двух результатов измерений.

70