1137

двух разных частотах ν1 и ν2 (ν2 >ν1). Длина звуковой волны:

λ1 = (16,2 ± 0,5) см; Р = 0,95; λ2 = (10,4 ± 0,5) см; Р = 0,95.

Скорость звука:

υ1 = (347 ± 27) м/с; Р = 0,95; υ2 = (353 ± 29) м/с; Р = 0,95.

Результаты исследования в данном примере показывают следующее.

1. Доверительные интервалы длин волн при разных частотах не пересекаются, следовательно, длины волн различны (λ2 < λ1). Отсюда следует вывод: длина звуковой волны зависит от частоты звука, причём с возрастанием частоты длина волны уменьшается.

2. Доверительные интервалы значений скорости звука υ1 и υ2 пересекаются, более того, значения скоростей находятся в общем доверительном интервале (от 324 до 377 м/с, т. е. от наибольшей нижней границы до наименьшей верхней границы), следовательно, результаты измерения скоростей звука на различных частотах совпадают. Отсюда следует вывод: скорость звука не зависит от частоты, т. е. дисперсия звука в воздухе отсутствует.

3. Поскольку скорость звука постоянна, то результаты опытов не

υ

противоречат закону λ = : длина звуковой волны обратно пропорциональна частоте звука.

Контрольные вопросы ко второй главе

1. Каковы общепринятые правила записи в таблицах наименований величин, их числовых значений и единиц? Где размещают при формировании таблицы значения величин, не изменяющихся в течение всего эксперимента? В каком случае допускается нумеровать графы таблицы?

2. Разъясните смысл понятий «график», «диаграмма». В чём их различие?

3. Как записывают числовые значения в случаях, когда числа, вносимые в таблицу или наносимые вдоль осей диаграммы, содержат много нулей в начале или в конце числа?

4. Покажите способы изображения доверительных интервалов на линейной диаграмме.

71

5.Как изображаются экспериментальные точки, когда на одной диаграмме предполагается построить несколько графиков?

6.Когда допускается не проводить линию графика через экспериментальные точки?

7.Как выбирается масштаб и разбивается шкала вдоль оси диаграммы, если значения величины, откладываемой вдоль этой оси, сосредоточены в узком интервале, далёком от нуля?

8.В каком соотношении должны находиться цена наименьшего деления координатной сетки и погрешность величины, откладываемой вдоль соответствующей оси?

9.Что лежит в основе интерпретации результатов и формулировки выводов? По каким основным пунктам выполняется анализ результатов измерений?

10.Экспериментально получено множество точек (xi, yi) и построена диаграмма в координатах y – x. Вы предполагаете, что между величинами X и Y существует линейная зависимость. Опишите ваши действия по подтверждению этой гипотезы.

11. Какое дополнительное требование должно быть выполнено (см. вопрос 10), когда требуется подтвердить наличие прямой пропорциональности между величинами X и Y ?

72

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Международная система единиц 24(СИ)

(по ГОСТ 8.417-2002 [18])

24Жирным шрифтом выделены сведения об основных единицах. В таблицу не включены редко применяемые производные величины, а также те, с написанием и применением единиц которых обычно не возникает затруднений.

25В современной метрологии принято считать радиан и стерадиан безразмерными производными единицами, имеющими специальные наименования и обозначения, которые можно использовать по необходимости для других производных величин.

73

Окончание прил.1

74

Приложение 2

Условные обозначения измерительных приборов (по ГОСТ 2.721-74)

75

6Цель работы измерения, определить значения ... величин при заданных

Сравнение полученных значений с табличными, или с теоретически рассчитанными, или с измеренными другим методом; распознавание закономерностей в соотношениях измеренных величин, формулировка их взаимосвязи; анализ диаграмм с целью проверки соответствия графиков изучаемому закону; достигнута ли цель работы (см. п. 6); недостатки установки или методики измерений, которыми можно объяснить отклонения измеренных величин от предсказанных теорией

Примечание. Первые 7 пунктов составляют заготовку отчёта. Они должны быть выполнены при подготовке к лабораторной работе. Метрологические характеристики измерительных приборов (см. п. 2) указывают непосредственно перед началом измерений после знакомства с установкой и имеющимися в ней приборами. Форма записи может быть следующая.

76

Приложение 4

Порядок обработки экспериментальных результатов

1. Расчёт погрешностей при прямых многократных измерениях

где tP,n – коэффициент Стьюдента, находится по табл. 1 в соответствии с выбранной доверительной вероятностью Р и числом измерений n.

5. Систематическая погрешность (погрешность средства измерения)

θ = K amax−amin ,

a 100

где К – класс точности; amax и amin – верхний и нижний пределы измерений данного прибора.

Для приборов, не имеющих класса точности, граница систематической погрешности принимается равной цене деления (с вероятностью Р = 0,997).

6. Абсолютная погрешность результата прямых многократных измерений

a = tP , n S a 2 tP , ∞ ⅓ a 2 .

8. Результат многократных измерений – доверительный интервал, в котором находится действительное значение измеренной величины с заданной доверительной вероятностью,

a = a ± a; P = ... .

77

Окончание прил. 4

Абсолютную погрешность Δa округляют до двух значащих цифр, если первая значащая цифра 1 или 2, когда первая цифра 3, 4, ... 9 , – то до одной

Примеры: m = (224,7 1,4)·10-3 кг; Р = 0,95.

ℓ= (43,20 0,03) мм; Р = 0,95.

2.Расчёт погрешности при косвенных воспроизводимых измерениях величины x(a, b, c, ...)

1.По результатам прямых многократных измерений величин a, b, c, ... – аргументов функции x(a, b, c, ...) найти их погрешности Δa, Δb, Δc ... .

2. Вычислить среднее значение искомой величины

x = f a , b , c ,... .

3. Рассчитать абсолютную погрешность Δx косвенного измерения или методом дифференцирования натурального логарифма функции x = f a , b , c ,... , определив сначала относительную погрешность

а затем абсолютную Δx = x x ,

или методом непосредственного дифференцирования

x = ∂∂ax a 2 ∂∂ bx b 2 ∂∂ xc c 2 ... .

4.Результат представить в виде

x = x ± x ; Р = 0,95.

78

Приложение 5

Использование MS Excel из пакета MS Office 2000 для вычисления среднего арифметического

и средней квадратической погрешности

MS Excel позволяет обрабатывать числовую информацию с помощью встроенных стандартных программ, называемых функциями. Excel содержит более 200 функций, среди них математические (синус, тангенс, гиперболический синус и т. п.), статистические (вычисление сумм, средних значений, параметров распределения случайных величин и т. п.) и другие.

1.Вычисление среднего арифметического значения

Вкачестве примера проведём вычисления среднего арифметического по данным измерений (см. подразд. 4.2 гл.1), где приведены 12 значений массы. На этом примере можно убедиться в правильности своих действий и работы компьютера, проверив результат вручную на калькуляторе.

Стандартная программа-функция СРЗНАЧ позволяет вводить до 30 аргументов (n ≤ 30) и находить их среднее значение.

2.Нажимая кнопку fm на панели инструментов, вызываем Мастер функций; из списка Категории выбираем Статистические, в появившемся списке Функции выделяем СРЗНАЧ и щёлкаем ОК. В левом верхнем углу открывается окно функции СРЗНАЧ.

3.Введём диапазон ячеек для задания отдельных значений усредняемой величины (например, В3 – В14).

4.Свернём диалоговое окно, щёлкнув по красной стрелке в правой части

поля Число 1.

5. В появившемся текстовом поле заполняем ячейки В3 – В14 числами (аргументами функции СРЗНАЧ). Выделяем эти ячейки и, отпустив кнопку мыши, нажимаем Еnter.

6. Нажимаем ОК для вычисления результата. В окне функции СРЗНАЧ в ячейке С15 появляется среднее арифметическое (в нашем случае 9117,4).

2. Вычисление средней квадратической погрешности (стандартного отклонения)

Стандартное отклонение, или средняя квадратическая погрешность единичного измерения для выборки экспериментальных значений х1, х2, х3, ..., х12 определяется формулой (6)

x , а непосредственно квадрат стандартного отклонения по формуле

79

Окончание прил.5

Счёт по этой формуле даёт меньшую погрешность округлений, чем по формуле (6).

Количество вводимых аргументов n ≤ 30. Порядок работы с функцией СТАНДОТКЛОН такой же, как и с функцией СРЗНАЧ.

1.Выбираем из категории Статистические функцию СТАНДОТКЛОН и щёлкаем ОК. В открывшемся окне указываем диапазон ячеек (в нашем примере это может быть А1 : А12, так как n = 12). Выделим ячейку (например, С3), где будет помещён результат вычисления функции.

2.Свернём диалоговое окно кнопкой в правой части поля Число 1.

3.Вводим в ячейки (А1 ... А12) экспериментальные данные х1, х2, х3, ..., х12 .

4.Выделяем ячейки, в которые введены числа, предназначенные для обработки. В нашем примере это числа в ячейках от А1 до А12.

5.Отпустив кнопку мыши, нажимаем Enter.

6.Щёлкаем ОК и получаем результат вычисления (в ячейке С3).

Диалоговое окно для ввода аргументов можно также открыть двойным

щелчком по имени функции в списке Функция.

Приложение 6

Нахождение коэффициентов в уравнении линейной регрессии методом наименьших квадратов (компьютерная программа на языке Basic)26

PRINT «Нахождение коэффициентов линейного уравнения МНК» INPUT “ВВЕДИТЕ ЧИСЛО ПАР Х, Y M =”; M

SX = 0

SY = 0

SX2 = 0

SXY = 0

FOR I = 1 TO M

INPUT “X=”, Х

INPUT “ Y=”, Y SX = SX + X SY = SY + Y

SX2 = SX2 + X^2

SXY = SXY + X*Y NEXT I

A = (SY*SX2 – SX*SXY)/(M*SX2– SX^2 ) B = (SY – M*A)/SX

PRINT “A =” A; “B = “ B END

26 Для проверки работоспособности программы можно воспользоваться данными табл. 5. Значения коэффициентов ε и r в уравнении регрессии U = ε – r ·I получаются равными ε = 2,15 В; r = 4,57 мОм.

80