1137

истинному значению (погрешность среднего уменьшается). Стандартная случайная погрешность (граница доверительного

интервала) х равна

где S<x> – среднеквадратичная погрешность; tP,n – коэффициент Стьюдента, который определяется по табл.1 исходя из выбранной надёжности Р и числа измерений n.

Более полная таблица приведена в справочнике [12]. При отсутствии под рукой полной таблицы коэффициентов Стьюдента можно использовать следующую приближённую формулу [16, с. 55] при доверительной вероятности Р = 0,95.

t 0,95, n = 1,96 + 2,40(n – 1)-1 + 5,90(n – 1)-2,37.

Из табл. 1 видно: коэффициент Стьюдента тем больше, чем больше доверительная вероятность. Таким образом, случайная погрешность x = t P , n S x не является самостоятельной (независимой величиной) –

её значение определяется выбором доверительной вероятности.

Значение вероятности P обычно выбирают в пределах от 0,900 до

21

0,999 в зависимости от степени ответственности за результаты измерений. С увеличением доверительной вероятности границы доверительного интервала неизбежно расширяются (возрастает неопределённость результата измерений).

С другой стороны, случайная погрешность уменьшается с ростом числа измерений n по закону обратной пропорциональности n . Число измерений имеет смысл увеличивать для уменьшения случайной погрешности (если таковая обнаруживается), пока случайная погреш-

Надёжность Р = 0,95 считается достаточной для представления результатов большинства научных исследований.

Статистическую обработку результатов эксперимента можно автоматизировать, используя известные пакеты копьютерных программ: MS Exel, STATISTICA, Mathcad, MatLAB и т. п.

2.3. Исключение промахов*

Известно [16] несколько различных критериев исключения промахов. При небольшой выборке (n < 20) можно воспользоваться критерием Романовского β (табл. 2).

Таблица 2

Значения критерия Романовского при доверительной вероятности Р = 0,95 в зависимости от числа измерений [16]

Если результат измерения хi предположительно является промахом, то для него вычисляется величина

βi = , (10)

где x – среднее арифметическое; Sx – среднеквадратичная погрешность единичного измерения (6).

22

Если значение βi больше значения β, представленного в таблице, т.е. βi > β , то результат хi содержит грубую погрешность (промах) и должен быть отброшен. Когда промах обнаружен, результат отброшен, тогда, если результатов измерений осталось не более четырёх, не следует ограничиваться оставшимися результатами, а провести ещё 2–3 измерения.

3. Учёт систематических погрешностей

Случайные погрешности делают результат измерения недостоверным, из-за систематических он становится смещённым.

П.Тойберт 9

3.1. Классификация и причины возникновения систематических погрешностей

Систематические погрешности могут быть вызваны:

● погрешностью метода измерения, поскольку в его основе лежит приближённая формула; влиянием свойства прибора на результат измерения того же свойства наблюдаемого объекта.

Пример. При измерении малых сопротивлений методом ам-

сопротивление R объекта наблюдения сравнимо с сопротивлением амперметра RA (рис. 2, а), и при измерении больших сопротивлений, когда сопротивление объекта сравнимо с сопротивлением вольтметра RV (рис. 2, б), измерительные схемы должны быть различны во избежание большой систематической погрешности (погрешности метода).

При измерении по схеме а методическая погрешность возникает из-за утечки тока через вольтметр. Устранить погрешность метода (схема а) можно, если учесть сопротивление вольтметра. Тогда

9 Тойберт П. Оценка точности результата измерения. – М.: Энергоатомиздат, 1988. – 88 с.

23

где R – искомое сопротивление; UV и IA – показания вольтметра и амперметра соответственно; IV и IR – сила тока через вольтметр и через объект измерения.

Легко видеть, чем больше сопротивление RV по сравнению с измеряемым сопротивлением R, тем меньше методическая погрешность при данной схеме соединения приборов (см. рис. 2, а). Для измерения больших сопротивлений (без учёта сопротивления вольтметра) схема а непригодна, соединение приборов следует выполнить по схеме б;

● неправильной установкой; неточной настройкой или градуировкой прибора;

Рис. 2. Схемы соединения амперметра и вольтметра: а – при измерении малых сопротивлений; б – при измерении больших сопротивлений

● использованием средства измерения вне его рабочего диапазона. Пример. Когда вольтметром, предназначенным для измерений напряжения частотой f = (50 ± 5) Гц, измеряют напряжение более высокой частоты, возникает систематическая погрешность, обусловленная уве-

личением индуктивного сопротивления прибора.

К систематическим относят также субъективные погрешности, которые обусловлены индивидуальными особенностями оператора, снимающего показания прибора.

Систематическая погрешность, если её наличие обнаружено, исключается внесением поправок: на смещение нулевого положения указателя, на неточность градуировки (введением поправочного коэффициента), на изменение внешних условий опыта, на действие других известных факторов, но не учтённых при разработке метода измерения.

Систематические погрешности можно перевести в случайные, если

24

повторять наблюдения каждый раз с помощью другого прибора того же типа и того же класса точности, или с помощью другого оператора, или изменяя каждый раз начало отсчёта, например при измерении углов на гониометре. Погрешности при этом частично компенсируются. С этой же целью используется изменение направления опыта: измерения при возрастании влияющей величины, затем при её убывании; изменение полярности прикладываемого напряжения; сканирование оптического спектра в прямом и обратном направлениях. Эти меры также способствуют компенсации погрешностей, возникающих из-за трения и люфта в частях измерительного прибора.

3.2. Погрешности средств измерений, имеющих нормируемые метрологические характеристики

При обработке результатов измерений в учебной лаборатории предполагается, что методические погрешности максимально учтены введением соответствующих поправок, а систематическая погрешность оценивается как погрешность средства измерения (приборная погрешность) на основе паспортных данных прибора.

Погрешность отдельного измерения складывается из погрешности отсчёта по шкале прибора, погрешности градуировки прибора из-за смещения начала отсчёта шкалы и неравномерности нанесения её штрихов, случайной погрешности, вызванной трением и люфтом в деталях прибора и другими неучтёнными факторами. Первые две объединяются под общим названием инструментальной, или при-

борной, погрешности: θx = Δхотсч + Δхград.

Если положение светового указателя или стрелки прибора неразличимо в пределах наименьшего интервала между делениями шкалы или когда стрелка перемещается скачками через одно деление, погрешность отсчёта принимается равной цене деления. В цифровых приборах погрешность отсчёта равна одной единице (реже двум или пяти единицам) последнего разряда высвечиваемого числа. В случаях, когда при отсчёте возможно округление как в большую, так и в меньшую сторону, погрешность отсчёта равна погрешности округления, т. е. половине цены деления.

Для каждого измерительного прибора при его изготовлении устанавливается предел допускаемой абсолютной погрешности θ, при котором прибор разрешён к применению. Значение θ может быть задано:

25

а) числом соответствующих единиц измеряемой величины; б) классом точности измерительного прибора (указывается на шка-

ле или корпусе прибора); в) числом процентов от значения измеряемой величины.

При однократном измерении нормирование погрешностей средств измерений предусмотрено ГОСТ 8.401-80 путём задания пределов допускаемых погрешностей.

где К – класс точности; amax и amin – верхний и нижний пределы измерений данного прибора.

Предел измерения – наибольшее (или наименьшее) значение измеряемой величины, которое может быть отсчитано по шкале прибора. Для многопредельных приборов значения amax и amin указываются на переключателе пределов и могут изменяться в зависимости от положения переключателя.

Класс точности (наибольшая относительная погрешность, выраженная в процентах) показывает, сколько процентов составляет погрешность от интервала значений всей действующей шкалы прибора.

Для прибора с односторонней шкалой (нуль на конце шкалы) предельная погрешность, определяемая по формуле (11),

Для двусторонней шкалы (нуль посредине) в соответствии с (11) получаем

Классы точности, присваиваемые средствам измерений по ГОСТ 8.401-80, выбираются из ряда [1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6 ]·10n , где n = 1, 0 , –1, –2 и т. д. В частности, электроизмерительные приборы могут иметь только следующие классы точности: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.

Абсолютная погрешность прибора одинакова при отсчёте в любом месте шкалы и неизменном пределе измерения. Поэтому для получения меньшей относительной погрешности (повышения точности измерения) рекомендуется, имея многопредельный прибор, использовать наименьший предел измерения, чтобы производить отсчёты при

26

бóльших отклонениях стрелки или другого указателя.

Пример. Амперметр класса 2,5 с пределом измерений 10 А имеет абсолютную погрешность θI = 0,25 А, что даёт при измерении силы

50% , а при измерении силы тока I2 = 5 А – только 5%. Если мы имеем возможность с помощью переключателя сделать предел измерения 5 А (вместо 10 А), то тем самым уменьшим абсолютную погрешность, а вместе с ней относительную, в два раза.

Если класс точности не указан, то пределы допускаемой погрешности могут быть заданы в паспорте прибора, как отмечалось выше, либо числом соответствующих единиц измеряемой величины, либо числом процентов от результата наблюдения.

Примеры:

1)абсолютная погрешность микрометра θ = ±0,01 мм;

2)абсолютная погрешность секундомера θ = ±0,1 с;

3)относительная погрешность измерения временных интервалов с помощью осциллографа С1-70 составляет ±10%;

4)пределы допускаемой относительной погрешности вольтметра В7-38 в процентах от измеренного значения составляют

где Umax – предел измерения; Uх – измеренное значение. Если Umax = 20 В; Uх = 12 В, то согласно (13) получим

и пределы допускаемой погрешности данного вольтметра θU = ± 10012 0,4 0,05 2012 . θU = ±0,06 В.

Если тем же прибором измерять то же напряжение Uх = 12 В, но выбрать предел измерения Umax = 200 В, то θU = ±0,15 В.

Показания приборов с цифровой индикацией изменяются дискретно. Поэтому погрешность цифрового прибора не может быть меньше минимального значения величины, регистрируемой этим прибором. Это значение (квант счёта) может составлять одну, две или пять единиц счёта на данном диапазоне. Суммарная погрешность

27

цифровых приборов может быть указана числом процентов от значения, полученного при наблюдении, и некоторым числом единиц счёта.

Пример. Погрешность измерения частоты электрических колебаний по шкале генератора составляет θf = ±(0,03f + 2) Гц, где f – показание прибора (результат наблюдения).

Если нет указаний о погрешности в паспорте прибора, то его предельная погрешность при однократном измерении принимается равной цене наименьшего деления шкалы данного прибора.

Предельная погрешность θ, устанавливаемая классом точности или выражением, подобным (13), относится ко всем аналогичным приборам данного типа. Погрешности каждого конкретного прибора в отдельности распределены в пределах от –θ до +θ. Поэтому погрешность отдельного прибора рассматривают как квазислучайную. Интервалу (–θ, +θ) приписывают доверительную вероятность 0,997.

Когда для доверительной вероятности выбирается наиболее употребительное значение Р = 0,954 ≈ 0,95, доверительные границы неисключённой систематической погрешности (приборной) составляют ±⅔θ.

4. Представление результата измерения с учётом систематической и случайной составляющих погрешности

4.1. Общие рекомендации

Поскольку случайная составляющая погрешности уменьшается с ростом числа измерений n по закону обратной пропорциональностиn , их число имеет смысл увеличивать, пока случайная погрешность (если таковая обнаруживается) не станет существенно меньше систематической. Тогда погрешность результата измерения будет целиком определена неисключённой систематической погрешностью, которая обычно задаётся классом точности измерительного прибора. С другой стороны, если случайная погрешность в несколько раз превышает систематическую, то последней можно пренебречь, и абсолютная погрешность принимается

равной случайной погрешности.

При небольшом числе измерений случайная составляющая погрешности и систематическая составляющая θ могут быть одного

28

порядка. В таких случаях приближённую оценку доверительных границ погрешности находят [1, 2] как статистическую сумму

ская составляющие соответственно, приведённые к одному и тому же значению доверительной вероятности P; tP,∞ – коэффициент Стьюдента при n = ∞; θх – предельная погрешность средства измерения.

В качестве θх в формуле (15) используются: а) значение, рассчитываемое (как показано в подразд. 3.2) из нормируемых метрологических характеристик по паспорту прибора; б) если характеристики прибора отсутствуют, то наименьшая цена деления.

В частном случае, когда случайные погрешности очень малы, интервал х = x ± θx с вероятностью, очень близкой к единице (Р = 0,997), накрывает истинное значение величины Х. Так как коэффи-

циент Стьюдента t0.997, ∞ = 3, то, как следует из (15), получаем в данном случае абсолютную погрешность измерения равной погрешности

средства измерения, т. е. Δх = θx .

Госстандартом [8] рекомендовано в большинстве случае представлять доверительные границы результата измерений с доверительной вероятностью Р = 0,95. Тогда t0.954,∞ = 2, и наиболее употребительный вариант формулы (15) приобретает вид

Когда измерение ограничивается однократным отсчётом, погрешность принимается равной погрешности измерительного прибора θ (см. подразд. 3.2). Результат однократного измерения представляется в виде х = хп ± θх , где хп – показание прибора; θх – предельная абсолютная погрешность (нормируемая метрологическая характеристика прибора). Доверительная вероятность в данном случае не указывается и предполагается равной Р = 0,997. Для исключения грубых погрешностей (промахов) прежде, чем записать результат однократного измерения, рекомендуется сделать два – три отсчёта.

29

4.2. Пример математической обработки результатов прямых многократных измерений *

Каждый результат наблюдения случаен, но при достаточно большом числе наблюдений распределение результатов относительно истинного значения закономерно. Покажем это на примере опытного определения массы с помощью высокоточных аналитических весов.

При измерении массы платинового тигля сделано 12 наблюдений и получены следующие значения в миллиграммах (выборка 1):

Область возможных значений m (9116,1 ... 9118,5), которая охватывыает опытные данные, разбиваем на k равных интервалов (в данном случае k = 5) по пять значений через 0,1 мг (табл. 3).

Таблица 3

Группировка результатов измерений

Результаты измерений группируем в эти 5 интервалов (I – V), находим середину каждого интервала, ширину каждого интервала

(mmax – mmin)/k и вычисляем частоту ν попадания в интервал, т. е. определяем, сколько результатов измерений массы в данной серии

попадают в тот или иной интервал группировки.

В нашем случае в интервал (9,116,1 – 9116,5) попадает один результат; в интервал (9116,6 – 9117,0) – два; (9117,1 – 9117,5) – пять; (9117,6 – 9118,0) – три; (9118,1 – 9118,5) – один.

Вероятности попадания результата измерения в каждый интервал определим (см. табл. 3) как Рi = i / n , где n = 12 – число измерений, и построим столбчатую диаграмму (гистограмму) распределения f(m) случайной величины m (рис. 3, а), а также диаграмму вероятности

30