1137

Ёмкость батареи, найденная по формуле (37) по правилам приближённых вычислений, в нашем примере равна С = 4,0·103 пФ. Подстав-

ляя значения С, С1 и С2 в формулу (38), получим ΔС = 0,2∙103 пФ . Таким образом, результат косвенного измерения электроёмкости

батареи при последовательном соединении данных двух конденсаторов получается в виде С = (4,0 ± 0,2) ∙103 пФ.

7. Совместные измерения

Точные науки стремятся к тому, чтобы свести загадки природы к определению некоторых величин путём операций над числами.

Джеймс К. Максвелл 15

В учебной лаборатории и в научных исследованиях часто требу-

15 Максвелл (Maxwell ) Джеймс (1831−1879) − выдающийся английский физик-теоретик, известный своими работами в области электродинамики и статистической физики.

51

ется найти функциональную зависимость между двумя или несколькими разноимёнными величинами. При этом измерения этих величин (прямые или косвенные) проводятся одновременно. Такие измерения называют совместными.

Пример. Определение модуля упругости меди путём совместных измерений длины медного стержня, его поперечного сечения и приложенной силы с целью установления зависимости удлинения от приложенного механического напряжения.

7.1. Коэффициент линейной корреляции

Встречаются две формы взаимосвязи одновременно измеряемых величин: функциональная и статистическая. Статистическая (корреляционная) связь имеет место тогда, когда каждому значению х соответствует множество значений у и распределение значений у изменяется вместе с изменением значения х. Если же каждому значению величины х соответствует определённое значение величины у, то связь называют функциональной.

Пример 1. Масса стального прутка постоянного сечения (искомая величина) связана с его длиной (непосредственно измеряемой) функциональной зависимостью m = C·l, где в коэффициент С входят однозначно определяемые параметры (площадь сечения прутка и плотность материала).

Пример 2. Между скоростью ультразвуковых волн в бетоне и прочностью этого материала, как показывает опыт, имеется статистическая связь, или корреляция.

Чтобы обнаружить взаимозависимость (корреляцию) двух соместно измеряемых величин, определяют коэффициент корреляции ryx. Этот коэффициент определяет ”тесноту” связи, т. е. близость корреляционной связи к функциональной. Коэффициент линейной корреляции –

безразмерная физическая величина, характеризующая наличие линейной зависимости между измеренными величинами х и у.

Для выборки, содержащей n пар значений (хi, уi) двух случайных величин коэффициент линейной корреляции рассчитывают [14] по формуле

где суммирование ведётся по всем экспериментальным точкам (хi, уi) в

52

пределах от i = 1 до i = n.

Значение ryx > 0 свидетельствует о наличии положительной корреляции, т. е. бóльшим значениям х соответствуют преимущественно бóльшие значения у, и наоборот. При ryx < 0 имеет место отрицательная корреляция. Коэффициент линейной корреляции может изменяться от –1 до +1. Чем ближе модуль | ryx | к единице, тем ближе зависимость у(х) к линейной, тем теснее экспериментальные точки сосредоточены около прямой линии. Очевидно, при | ryx |= 1 (при стопроцентной линейной корреляции) график у(х) имеет вид прямой линии. При ryx = 0 линейная зависимость отсутствует,16 однако это не означает, что между величинами х и у не существует какойлибо другой, например параболической, зависимости.

Если «облако» экспериментальных точек вытянуто вдоль какоголибо направления, то имеет место положительная (рис. 4,б) или отрицательная (рис. 4,а) корреляция. Если же «облако» имеет симметричную форму (рис. 4,в), то это свидетельствует об отсутствии корреляции между величинами X и Y.

Рис. 4. Примеры корреляционных зависимостей: а – отрицательная корреляция; б – положительная корреляция; в– корреляция отсутствует

Рассмотрим результаты совместных измерений напряжения на полюсах источника и силы тока через источник (табл. 5) с целью выявления корреляции между измеряемыми величинами.

Таблица 5

Напряжение на зажимах источника тока в зависимости от силы тока через источник

16 Выборочный коэффициент корреляции, рассчитываемый по формуле (39), может оказаться не равным нулю при отсутствии линейной связи из-за наличия случайных погрешностей.

53

7.2. Линеаризация функциональной зависимости. Определение коэффициентов уравнения линейной регрессии

Любое наблюдение затрагивает лишь часть того, что доступно из опыта. Написанные же уравнения приобретают общность, выходящую за рамки этого “участка” опыта. В неявном виде они содержат сведения о явлениях, которые ещё не наблюдали.

Л. Купер «Физика для всех» 17

Цель любого эксперимента, в том числе и физического, – подтвердить гипотезу о существовании зависимости определённого вида и найти константы в уравнении, описывающем эту зависимость.

Для изучения взаимозависимости физических величин проводят совместные измерения, когда одновременно наблюдаются две или несколько разноимённых величин.

Пример. Совместные измерения силы тока, напряжения, длины

17 Купер (Cooper) Леон (род.1930 г.) – американский физик, лауреат Нобелевской премии 1972 г. за создание теории сверхпроводимости металлов.

54

проводника, его поперечного сечения и температуры проводятся с целью изучения зависимости удельной электропроводности γ от температуры T. В результате определяются координаты (γi ; Ti) искомой зависимости γ(T).

Почти все явления, изучаемые в общем курсе физики, можно моделировать с помощью хорошо известных функций: линейной, экспоненциальной, логарифмической и т. д. Например, результаты изучения свободного падения стального шарика с небольшой высоты (табл. 6) хорошо описываются уравнением

где s – пройденное расстояние за время t; b – постоянная величина.

Таблица 6

Результаты изучения свободного падения

На диаграмме в координатах s – t эта зависимость изображается параболой (рис. 6, а). Для подтверждения закона движения (40) строят диаграмму в координатах s – t2 (рис. 6, б).

Линия графика, проведённая через начало координат и экспериментальные точки в пределах доверительных интервалов, имеет вид

55

прямой линии, проходящей через начало координат, что свидетельствует о том, что закон движения (40) имеет место, т. е. подтверждается гипотеза о прямой пропорциональности пройденного расстояния квадрату времени (s ~ t2).

Пусть эксперимент проведён с целью нахождения (или проверки) функциональной зависимости одной величины Y от другой Х. Экспериментальные точки (хi, уi) и доверительные интервалы (±Δх и ±Δу) наносят на диаграмму в координатах Y – Х. Примерно в средней части совокупности точек проводят плавную линию в пределах доверительных интервалов. Затем, принимая во внимание сущность изучаемого явления, выбирают вид сглаживающей функции у(х). Уравнение

у = y(х), описывающее взаимосвязь экспериментальных значений уi и хi, называют уравнением регрессии.

В зависимости от вида функции (линейная, параболическая, гиперболическая, логарифмическая) диаграмму обычно строят в соответствующих координатах таким образом, чтобы графиком была бы прямая линия. Для этого используют функциональную шкалу по оси абсцисс или по обеим осям так, чтобы в выбранных координатах экспериментальные точки хорошо укладывались на прямую линию.

Большинство нелинейных зависимостей, изучаемых в учебной лаборатории, таковы, что их можно свести к линейным путём замены переменных.

Допустим, множество экспериментальных точек на диаграмме Y(X) указывает на существование экспоненциальной зависимости

Путём логарифмирования приводим уравнение (41) к линейному виду типа у = А – Вх:

Линеаризация данной экспоненциальной зависимости производится путём замены переменных lnY = y ; ln a = А; X = x. Графически на диаграмме в координатах lnY – X зависимость изображается в соответствии с (42) прямой линией.

Пример. При измерениях удельной проводимости γ полупроводника как функции температуры Т и последующем графическом представлении результатов получают монотонный нелинейный рост величины γ в координатах γ – Т. Вид графика и теоретические соображения позволяют предположить экспоненциальную зависимость

56

где С, k и ΔЕ – поcтоянные величины.

Логарифмируя, приводят функцию (47) к линейному виду

линейность графика.

Для нахождения коэффициентов в уравнении линейной регрессии разработано несколько методов.

7.2.1. Метод парных точек

Если в уравнении линейной регрессии

Y = A + BX,

где А – отрезок, отсекаемый искомой прямой на оси ординат; B – угловой коэффициент, В = tg φ; φ – угол наклона прямой к оси 0х, требуется определить только коэффициент В, то можно воспользоваться простейшим методом парных точек.

Содержание метода состоит в следующем. Экспериментальные точки, нанесённые на диаграмме, нумеруют и выбирают пары точек с координатами (Хj ;Yj) и (Хi ;Yi), например, j = i +3, по всему исследованному диапазону так, чтобы интервалы ΔXi j = Хj – Хi были примерно одинаковы. Находят для каждой пары точек коэффициент

B = Y ij ,

k X ij

где ΔYi j = Yj ─ Yi ; k = 1, 2, 3, ... , m; m – число пар точек.

Получают набор значений В1, В2, В3, ... , Вm и находят среднее арифметическое

B= B1 B2 B3 ... Bm . m

Далее на основе полученной выборки значений Вk находят абсолютную погрешность ΔВ как случайную погрешность:ΔВ = B, где

B рассчитывается по формуле (8).

Для грубой оценки погрешности можно использовать формулу

57

где Вmax и Вmin – наибольшее и наименьшее значения В соответственно.

7.2.2.Метод наименьших квадратов

Всоответствии с названием метода наилучшая прямая Y = A + BX должна проходить таким образом через экспериментальные точки (xi; yj) в координатной плоскости y0x, чтобы сумма квадратов

отклонений ∑[yi – (A + B·xi)]2 экспериментальных точек от искомой прямой (рис. 7) была минимальной. Это следует из закона нормального распределения случайных погрешностей (закона Гаусса). Согласно закону Гаусса наивероятнейшее из результатов измерений одинаковой точности есть то, для которого сумма квадратов отклонений его от результатов отдельных измерений наименьшая.

Метод наименьших квадратов позволяет не только определить аналитический вид зависимости наблюдаемых величин, но и оценить точность коэффициентов найденного уравнения. Описание метода имеется во многих пособиях по обработке результатов измерений [13– 15].

Полагая, что погрешности измерения величины Х малы по сравнению с погрешностями величины Y, коэффициенты А и В вычисляют по формулам

58

обычно производятся с помощью компьютера или программируемого калькулятора. При ручном счёте с округлениями возможна потеря точности, так как расчётные формулы содержат малые разности. Компьютерная программа нахождения коэффициентов А и В линейной функции показана в прил. 6.

Контрольные вопросы к первой главе

1.Что значит измерить физическую величину?

2.Раскройте содержание понятий размер физической величины и значение физической величины.

3.Чем различаются отсчёт и результат измерения?

4.В чём ценность относительной погрешности по сравнению с абсолютной?

5.Как сравнить точности измерения двух разнородных величин?

6.По каким формулам вычисляют среднеквадратичную погрешность единичного измерения и среднеквадратичную погрешность среднего арифметического?

7.Опишите порядок действий при вычислении случайной погрешности по результатам многократных наблюдений.

8.Что такое доверительная вероятность? доверительный интервал?

9.Зачем нужны измерения с многократными наблюдениями? В каких случаях может иметь место однократное измерение?

10.Как определяют погрешность измерительного прибора по классу точности?

11.Для чего нужно знать погрешности измерения?

относительной и абсолютной погрешностей величин К и С: а) методом дифференцирования натурального логарифма функции; б) методом непосредственного дифференцирования. (Абсолютные погрешности Δm и Δυ, Δа и Δb известны.)

13. Когда относительные погрешности непосредственно измеряемых величин примерно одинаковы, по виду расчётной формулы величины, измеряемой косвенно, можно оценить, какое из прямых измерений вносит наибольший вклад в погрешность косвенного измерения. Какими соображениями вы будете при этом руководствоваться?

59

14. Как вычисляется погрешность косвенного измерения: а) при однократных измерениях; б) при многократных воспроизводимых измерениях непосредственно наблюдаемых величин.

15.Какова предельная погрешность величины, приближённое значение которой взято из справочной таблицы?

16.Что такое значащие цифры? Каковы правила записи результатов арифметических действий с двумя приближёнными числами с учётом количества значащих цифр?

17.В каком виде следует записать значение массы m = 7485 г после округления до трёх значащих цифр?

18.Как оценить относительную погрешность результата измерения, округлённого в соответствии с числом значащих цифр?

19.Сколько значащих цифр следует оставлять в значении погрешности и как соответственно округлять среднее значение измеренной величины при записи доверительного интервала?

60