1137

δx = x/ x ; последние две методом дифференцирования логарифма функции – по формуле (22).

5.3. Погрешности при невоспроизводимых косвенных измерениях*

Существуют методы косвенного измерения, когда наблюдения непосредственно измеряемых величин при их повторении невоспроизводимы. Результаты наблюдений одних и тех же величин при повторении опыта различны, и это различие нельзя оправдать наличием случайной погрешности, а оно происходит из-за того, что для наблюдения взяты разные объекты или вследствие изменившихся условий опыта.

Пример 1. Для определения вязкости жидкости берут несколько шариков (диаметры их могут быть различными) и измеряют скорость их падения в исследуемой жидкости. Производят для каждого из них наблюдения диаметра шарика и времени его падения. Скорость шарика в этих опытах зависит не только от вязкости жидкости, но и от диаметра шарика. Значения диаметра и времени в данном случае нельзя усреднять, а вязкость следует вычислять для каждого отдельного наблюдения.

Пример 2. При экспериментальном определении показателя адиа-

баты γ в уравнении pV γ = const используется расчётная формула γ = H/(H – h), где H и h – непосредственно измеряемые величины. Здесь практически невозможно соблюсти одинаковые условия при многократных измерениях Н и h. Результаты измерений величин Н и h невоспроизводимы и их нельзя усреднять.

Допустим, эксперимент по косвенному определению величины х(а, b, c, ...) поставлен таким образом, что наблюдения величин а, b, c, ...

невоспроизводимы. Тогда вычисление абсолютной погрешности косвенного измерения производят в следующем порядке:

● Проводят опыт несколько раз, фиксируя наблюдаемые величины аi, bi, ci, ..., и каждый раз вычисляют значения функции хi ( аi, bi, ci, ...).

● Усредняют значения хi и находят случайную погрешность как для прямых измерений по формуле (9):

● Вычисляют предельную систематическую погрешность как

41

статистическую сумму с учетом вида функции [см. формулу (20)]

где θa , θb , θc , ... − приборные погрешности непосредственно измеряемых величин или погрешности округления заданных величин (постоянных).

В ряде случаев удобнее сначала вычислить относительную погрешность xx с помощью формулы (22), а затем абсолютную система-

тическую погрешность

x = xx x .

● Абсолютную погрешность косвенного измерения при невоспроизводимых наблюдениях вычисляют как статистическую сумму с использованием выражений (15) и (32):

систематическая погрешность, приведённая к доверительной вероятности Р; θx − предельная систематическая (приборная) погрешность, соответствующая доверительной вероятности Р = 0,997, известная по паспорту прибора.

Для доверительной вероятности P = 0,95 формула (33) преобразуется к виду (см. раздел 4)

5.4. Статистическая обработка результатов многократных косвенных измерений*

Пусть в результате ряда независимых прямых измерений величин, входящих в расчётную формулу, получен соответствующий ряд результатов косвенных измерений некоторой величины. Всегда ли право-

42

мерно нахождение среднего арифметического этих результатов?

В том случае, когда величина, измеряемая косвенно, получается в результате ряда независимых прямых измерений величин, входящих в расчётную формулу, нахождение среднего значения результата косвенного измерения возможно при условии, что все полученные значения находятся в общем доверительном интервале отдельных результатов косвенных измерений.

Нижняя граница общего интервала принимается равной наибольшему значению нижних границ доверительных интервалов отдельных результатов, верхняя граница – наименьшему из значений верхних границ.

Пример 1. Требуется определить жёсткость пружины с использованием закона Гука F = kl, где l – деформация; F = Fупр – сила упругости, возникающая при деформации под воздействием внешней

силы Fвн в соответствии с третьим законом Ньютона F вн =−F упр .

Прямыми измерениями получены четыре пары различных значений силы упругости Fупр i при различных значениях деформации li . С погрешностью 10%, найденной с помощью (33) или (34), получено четыре результата косвенного измерения жесткости ki в кН/м:

Все полученные значения ki находятся в интервале от 7,7 (наибольшая нижняя граница) до 9,1 (наименьшая верхняя граница). Это обстоятельство открывает возможность статистической обработки многократных косвенных измерений, т. е. вычисления среднего ариф-

где S<k> – среднеквадратичная погрешность; tP,n – коэффициент Стьюдента, который определяется по табл. 1 исходя из выбранной надёжности Р и числа измерений n.

При Р = 0,95 и n = 4 случайная погрешность жёсткости по результатам многократных косвенных измерений составляет в данном примере

43

Предельная систематическая погрешность, найденная с учётом вида функции k = F/l методом непосредственного дифференцирования (32),

где предельные систематические погрешности при измерении силы и деформации составляют θF = 20 Н (при F = 420 Н) и θl = 5 мм (при l = 100 мм) соответственно.

Абсолютная погрешность косвенного измерения жёсткости рассчитывается как статистическая сумма (15)

Аналогичным образом можно вычислить средний результат косвенного измерения, проводимого несколькими различными методами. Например, массу тела определяют в одном случае взвешиванием, в другом – через плотность тела и объём вытесненной им жидкости, в третьем – через плотность и линейные размеры. И в этом случае нахождение одного среднего значения массы по данным отдельных косвенных измерений возможно в том случае, если все значения массы лежат внутри общего доверительного интервала результатов отдельных измерений.

Пример 2. Косвенно измеряют сопротивление нити лампы накаливания R = UI , непосредственно измеряя напряжение U и силу тока

I. Наблюдения повторяют при различных значениях U и I.

Известно, что электрическое сопротивление не зависит ни от силы тока, ни от напряжения, но зависит от температуры проводника. Опыт показывает, что здесь результаты многократных измерений величины R не совпадают (не находятся в общем доверительном интервале). Значения сопротивления оказываются различными не из-за случайной погрешности, а в силу изменения условий опыта. При повышении напряжения возрастает сила тока, увеличивается тепловыделение Q = I2·R ·t и, коль скоро не принимаются меры по принудительному охлаждению нити лампы, повышается температура, о чём можно

44

судить визуально (по увеличению яркости свечения) и по тактильным ощущениям (баллон лампы становится теплее).

Нахождение среднего значения сопротивления в данном примере не имеет смысла. Обработку результатов следует производить отдельно для каждого опыта (при неизменной температуре) как для косвенного измерения с однократными наблюдениями непосредственно измеряемых величин (подразд. 5.5).

5.5. Погрешность косвенного измерения при однократных отсчётах непосредственно измеряемых величин*

При однократном наблюдении каждой из непосредственно измеряемых величин погрешность косвенного измерения включает в себя только систематические погрешности. Абсолютную погрешность рассчитывают по формуле (32)

6. Приближённые вычисления

Всякая точная наука основывается на приблизительности.

Бертран Рассел12

Технический прогресс связан с повышением точности измерений, с применением более совершенных приборов и все более сложных методов обработки измерительной информации. Повышение точности неизбежно связано с увеличением затрат, если учесть стоимость измерительных установок, квалификацию операторов, продолжительность измерений. Поэтому, организуя измерения, обычно руководствуются правилом: ”Измеряй как можно точнее, но не точнее, чем нужно”. Точность должна соответствовать измерительной задаче. Во многих случаях можно обойтись только оценкой порядка величины. В большинстве экспериментов, проводимых в учебной лаборатории, допустима погрешность 15...20%.

12 Рассел (Russel) Бертран (1872 – 1970) – английский философ, математик, общественный деятель, лауреат Нобелевской премии по литературе (1950 г.).

45

В технической литературе часто применяют запись результата измерения с неявным указанием погрешности, когда указывают только значащие цифры (достоверные), например: «Скорость движения автомобиля равна 36 км/ч». Учитывая погрешность округления, эту запись следует надо понимать так: «Значение скорости автомобиля находится

винтервале от 35,5 до 36,5 км/ч». Предельная погрешность округления (в данном случае ±0,5 км/ч) и погрешность измерения – величины одного порядка.

При округлении в результат вносится некоторая погрешность. Она

всоответствии с правилами округления (см. подразд. 6.2) не может превышать половины единицы последнего разряда округлённого числа13.

Примеры:

1)если отношение длины окружности к её диаметру представлено значением π = 3,14, то Δπ = ±0,005;

2)если ускорение свободного падения найдено в справочной таблице как g = 980,7 см/с2, то Δg = ±0,05 см/с2 .

6.1. Значащие цифры

Существует простой способ выражения точности, с которой задана какая-либо величина, выраженная приближённым числом. Приближённое число записывается с таким числом значащих цифр, которое гарантирует достоверность всех цифр числа, кроме последней.

Цифры называют значащими, если представленный ими результат измерения или вычисления имеет абсолютную погрешность не более половины единицы младшего разряда.

Примеры:

а) число 4,3 содержит две значащих цифры. Оно могло быть получено в результате округления чисел от 4,25 до 4,34;

б) запись числа 4,30 (три значащих цифры) означает, что истинное значение может находиться в пределах от 4,295 до 4,304;

в) табличное значение плотности воды ρ = 1,0 г/см3, после перевода в единицы СИ следует записать ρ = 1,0 ·103 кг/м3. Запись этого значения в виде ρ =1000 кг/м3 в данном случае некорректна, так как табличное значение содержит только две значащих цифры.

Окончательный результат измерения не может содержать больше

13 Погрешности округления, как и погрешности измерений, – величины случайные. Однако распределение погрешностей округления не подчиняется нормальному закону.

46

значащих цифр, чем наименее точное из исходных данных.

Математическая обработка экспериментальных данных сама по себе не даёт повышения точности результата измерения. В то же время, чтобы не потерять точность, надо записывать исходные данные с таким максимальным числом значащих цифр, какое позволяет точность измерительного прибора, в соответствии с ценой наименьшего деления или квантом счёта (в цифровых приборах), а в промежуточных результатах вычислений следует оставлять одну-две лишних «запасных» цифры.

Существует распространённое мнение: чем больше цифр после запятой в числе, выраженном десятичной дробью, тем это число точнее. Точность числа (вопреки этому заблуждению) определяется не количеством цифр после запятой, а количеством значащих цифр. Значащими считаются все цифры данного числа от первой слева, не равной нулю, до последней цифры справа (включая и нули). При этом нули, следующие из множителя 10n, – не значащие. Если нуль стоит в десятичной дроби слева, то он значащей цифрой не считается. Так число 0,008, равное числу 8·10-3, и число 8·103 имеют всего по одной значащей цифре.

Относительная погрешность приближённого числа по порядку величины оценивается как дробь, у которой числитель есть единица, а знаменатель – целое число, состоящее из значащих цифр данного числа (расположенных в том же порядке).

Примеры:

1) числа 0,0384 и 3,84·10-2 имеют по три значащих цифры, их точность одинакова; 2) по четыре значащих цифры имеют числа 3840 и 3,840 ·103; 3) значения длины 1,00 м и 100,0 см записаны с разной точностью (второе точнее).

6.2. Правила округления*

Округление числа до n значащих цифр состоит в отбрасывании всех его цифр, стоящих после n-го разряда, с возможным изменением цифры этого разряда.

Результаты измерений и вычислений округляются в соответствии со стандартом 14 по следующим правилам:

♦ Если за последней (слева направо) сохраняемой цифрой следует цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то при округлении оставшиеся цифры не изменяются.

14 СТ СЭВ 543-77. Числа. Правила записи и округления.

47

♦ Если за последней сохраняемой цифрой следует цифра 9, 8, 7, 6 или 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

♦ Округление до желаемого числа значащих цифр выполняют сразу, а не поэтапно.

Примеры: 0,54448 = 0,54; 0,5453 = 0,55; 0,5453 = 0,5.

Во втором из приведённых выше примеров последняя сохраняемая цифра увеличена на единицу, т. к. первая отбрасываемая цифра (следующая за сохраняемой) равна 5.

В следующих примерах округления до двух значащих цифр: 2148 = 2,1.103 ; 217,02 = 2,2 .102; 225 = 0,23.103

при округлении целой части числа отбрасываемые цифры заменены степенями 10 (а не нулями, чтобы избежать недоразумений в определении количества значащих цифр).

6.3. Округления при представлении результата измерения с его погрешностью

Математическая обработка экспериментальных результатов производится с помощью калькулятора или компьютера, где разрядность дисплея составляет не менее 8 цифр, тогда как значение погрешности рекомендуется представлять числом с одной-двумя значащими цифрами. При представлении результата измерения в стандартном виде (9) х = x ± х; Р =0,95 округления рекомендуем выполнять в следующем порядке:

─ Сначала округлить значение абсолютной погрешности Δх до двух значащих цифр, если первая из них равна 1 или 2, и до одной цифры, если первая цифра 3 и более. Погрешность округления при этом составляет не более 17%.

При однократных измерениях, если первая и единственная значащая цифра инструментальной погрешности представляет собой 1 или 2, например 0,1 мм или 1 г, то при записи абсолютной погрешности оставляется одна значащая цифра.

─ Затем округлить значение x так, чтобы последние цифры результата измерения x и округлённого значения погрешности Δх находились в одном разряде.

Примеры: m = (197 ± 3) ·10-3 кг; Р =0,95; L = (68,4± 1,5)·103 м; Р =0,95.

При записи результатов наблюдений не следует отбрасывать значащие цифры, если они нули. Если, например, длина тела составляет 1 м

48

и измеряется линейкой с ценой деления 1 см, то результат может быть записан в виде L = 1,00 м, или L = 10,0 дм, или L = 100 см, но не L = 1м, или L = 1 ·102 см. При измерении миллиметровой линейкой значение той же длины записывают как 1000 мм (или 100,0 см, или 1,000 м).

Если десятичная дробь оканчивается нулями, то их отбрасывают при округлении только до того разряда, который соответствует последнему разряду округлённого значения погрешности.

Когда округляется целое число отбрасыванием цифр, лишние цифры заменяются не нулями, а степенью 10 с показателем, равным числу отбрасываемых нулей.

Примеры:

1) значение 43000, полученное с погрешностью ±500, может быть записано в виде (430± 5)·102;

2) значение 4300 с погрешностью ±200 может быть записано в виде (4,30 ± 0,20)·103, или (43,0 ± 2,0)·102, или даже (0,0430 ± 0,0020)·105.

В процессе математической обработки встречаются не только приближённые числа (результаты наблюдений, табличные данные), но и так называемые точные числа, погрешность которых равна нулю.

Примеры точных чисел: 1) показатель преломления вакуума n = 1; 2) 1 м = 100 см; 3) 1с = 1/3600 ч; 4) lg10 = 1; 5) Х0 = 1; 6) S = 4πR2 (множитель 4 и степень 2 – точные числа).

6.4. Действия с приближёнными числами*

При сложении и вычитании приближённых чисел окончательный результат после округления не должен иметь значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из чисел, составляющих эту сумму или разность.

Примеры: 14,45 + 6,50218 = 20,95. 25, 900 − 12 = 14.

Когда вычитаются числа с близкими значениями, происходит потеря точности.

Пример. 14,4546 − 14,4543 = 0,0003 = 3·10- 4. (До вычитания было по шесть значащих цифр в каждом числе, а в результате вычитания остаётся всего одна.)

При умножении и делении число значащих цифр произведения и частного должно быть равно числу значащих цифр исходного числа с наименьшим их числом.

49

При возведении в степень и извлечении корня любой степени результат должен иметь столько значащих цифр, сколько их у основа-

При логарифмировании число значащих цифр в мантиссе результата должно быть равно числу значащих цифр логарифмируемого числа.

Примеры: F = 0, 04786; lg F = −1,3200. G = 25,04; ln G = 3,220.

Если некоторые приближённые числа содержат больше десятичных знаков, чем другие (при сложении и вычитании), или больше значащих цифр (при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня), то их предварительно округляют, сохраняя только одну лишнюю цифру. Затем проводят вычисления и округляют результат.

Пример. 4,31· 0,12 · 2,358 = 4,31 · 0,12 · 2,36 = 1,2.

Чтобы процесс вычислений при обработке результатов наблюдений не вносил дополнительной погрешности в результат измерения, следует в промежуточных результатах оставлять на одну-две цифры больше, чем имеется в исходных данных с наименьшим числом значащих цифр.

6.5. Приближённые вычисления по результатам измерений (примеры)*

Рассмотрим на конкретных примерах, как применяются правила приближённых вычислений при работе с экспериментальными данными, когда результаты измерений представлены с их погрешностями.

Пример 1. Значения электроёмкости двух конденсаторов получены в виде С1 = (2,0 ± 0,2) мкФ; С2 =(4000 ± 200) пФ. Требуется определить ёмкость батареи при параллельном соединении конденсаторов.

где С в данном случае представляет собой результат косвенного измерения.

По правилам приближённых вычислений имеем С = (2,0 + 0,004) мкФ = 2,0 мкФ.

Методом дифференцирования (20) находим погрешность ΔС косвенного измерения ёмкости

50