1137

Федеральное агентство по образованию Сибирская автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)

В.В.Горлач, В.Л.Егоров, Н.А.Иванов

ОБРАБОТКА, ПРЕДСТАВЛЕНИЕ, ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Под редакцией В.В.Горлача

Учебное пособие

Омск Издательство СибАДИ

2006

1

УДК 53.08 (075.8) ББК 22.3 Г69

Рецензенты д-р физ.-мат. наук, проф. К.Н. Югай, канд. физ.-мат. наук, доц. Г.И.Косенко,

доц. Е.Ю. Руппель

Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия для студентов всех специальностей

Горлач В.В.

Обработка, представление, интерпретация результатов измерений: Учебное пособие / В.В. Горлач, В.Л. Егоров, Н.А. Иванов / Под ред. В.В. Горлача. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2006. – 83 с.

В пособии показаны упрощённые способы обработки результатов измерений. Приведены правила выполнения таблиц и диаграмм. Смысл основных понятий и методика оценки погрешностей разъясняются на конкретных примерах без детального рассмотрения теории. Особое внимание уделяется интерпретации результатов эксперимента. К каждой главе составлены контрольные вопросы. Приложения содержат практические рекомендации и справочные материалы, полезные для работы в учебной лаборатории.

Пособие адресовано студентам технических специальностей и преподавателям, ведущим лабораторные занятия в вузах.

Табл. 6. Ил. 9. Библиогр.: 18 назв.

2

3

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемое пособие адресовано студентам и преподавателям, работающим в учебной физической лаборатории, а также всем тем начинающим исследователям, кто хотел бы пользоваться современной терминологией в письменных отчётах по результатам измерений и представлять эти результаты в соответствии с существующими требованиями законодательной метрологии.

Содержание книги включает в себя рекомендации по статистической обработке результатов измерений, по составлению таблиц, выполнению диаграмм. Достаточно подробно описаны возможные источники систематических погрешностей, способы расчёта погрешностей средств измерений, имеющих нормируемые метрологические характеристики; показаны стандартные формы записи результатов измерений и их графического отображения.

Авторы не ставили перед собой цель создать полное руководство по теории погрешностей, но стремились охватить широкий круг проблем, возникающих в практике выполнения физического эксперимента в лаборатории технического вуза.

Отдельные вопросы, затрагиваемые в настоящем пособии, рассматриваются в различных учебных курсах для студентов технических вузов: «Метрология», «Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения», «Математическая статистика», «Теория вероятностей», «Статистические методы исследования», «Основы научных исследований и УНИРС». Однако из-за плотного математического антуража, через который нелегко пробиться начинающему исследователю, в соответствующих учебниках не всегда удаётся быстро найти нужный рецепт, практическое руководство к действию в конкретных случаях, связанных с обработкой результатов измерений, их представлением и интерпретацией.

Практические рекомендации по этим вопросам рассеяны в различных пособиях, изданных в последние десятилетия. Наиболее известные из них – «Погрешности измерений физических величин» А.Н.Зайделя [1], «Обработка результатов наблюдений» О.Н.Кассандровой [2], «Практическая физика» Дж.Сквайрса [3] – уже стали библиографической редкостью. К тому же за это время разработаны новые рекомендации [4 – 10], регламентирующие процедуру обработки экспериментальных данных и форму представления результатов измерений.

5

При подготовке настоящего пособия авторы учитывали, что большинство читателей, кому предназначена эта книга, ещё не имеют достаточной подготовки в области численного анализа, математической статистики и теории вероятностей. Для облегчения работы с книгой опущены сложные математические выкладки при введении некоторых понятий, необходимых по ходу изложения, но сделаны ссылки на соответствующую литературу, где заинтересованный читатель может найти подробные объяснения. Авторы стремились к тому (насколько это возможно в рамках учебного пособия для студентов первых курсов), чтобы рекомендуемые способы представления экспериментальных результатов не противоречили действующим государственным стандартам и международным рекомендациям.

Смысл некоторых понятий раскрывается постепенно на протяжении нескольких разделов. Новые термины при их первом упоминании выделены курсивом. Некоторые подразделы, содержащие детальные пояснения или примеры, помечены звёздочкой (*); они могут быть пропущены при первом прочтении.

В приложениях к пособию приведены справочные материалы (прил. 1, 2, 7), алгоритмы обработки результатов измерений (прил. 3, 4) и практические рекомендации по использованию компьютерных программ (прил. 5, 6).

Учитывая направленность книги, авторы сократили список использованной литературы, ограничившись несколькими первоисточниками, но включили в библиографический список основные нормативные документы, полезные для использования в практике проведения лабораторного эксперимента, обработки и интерпретации его результатов.

Выражаю свою признательность доценту Е.Ю.Руппель (СибАДИ) за проявленный интерес к работе. Благодарю проф. К.Н. Югая и доц. Г.И. Косенко (ОмГУ) за полезные советы, которые способствовали улучшению содержания книги.

В.В.Горлач

6

ВВЕДЕНИЕ

Чем дальше эксперимент от теории, тем ближе он к Нобелевской премии.

Ф.Жолио-Кюри 1

Любые научные исследования и всякое производство не обходятся без измерений. Посредством измерений открываются новые законы природы, осуществляются контроль за изготовлением продукции и её сертификация. В вузовской учебной лаборатории главным результатом эксперимента является подтверждение известных закономерностей.

Ценность измерений с последующей статистической обработкой экспериментальных данных состоит не столько в получении высокоточных значений, сколько в возможности сравнения результатов измерений с учётом доверительных интервалов. Анализ соотношений физических величин, найденных опытным путём, позволяет установить закономерность во взаимосвязи между наблюдаемыми величинами или проверить известный физический закон, как это обычно предполагается сделать в учебной лаборатории.

Насколько можно доверять результатам измерений? Этот вопрос представляет интерес не только для учёного, но и для руководителя предприятия, экономиста, политика. Ответить на него можно когда результаты представлены в стандартном виде с указанием границ доверительного интервала и доверительной вероятности. Контроль технологических процессов, прогнозирование явлений не только в физике, но и в экономике, биологии, медицине, социальных науках не мыслимы без сопоставления результатов измерений с учётом погрешностей. На основе анализа результатов измерений принимаются ответственные решения в вопросах экспертизы, сертификации, арбитража. Отсюда понятно требование госстандарта [4]: “Не

разрешается использование результатов измерений с неизвестной оценкой их погрешностей”.

Кроме нахождения границ доверительного интервала, в которых находится с заданной доверительной вероятностью истинное значение измеренной величины, в практике инженерных исследований часто решается обратная задача: найти вероятность того, что размер измеряемой величины попадает в заданный интервал допустимых значений при данном числе измерений. Интервал допустимых

1 Жолио-Кюри (Joliot-Curie) Фредерик – французский физик (1900 – 1958), лауреат Нобелевской премии по химии 1935 г.

7

значений величин необходимо знать, когда требуется обеспечить взаимозаменяемость деталей в технических устройствах.

Основная цель любого лабораторного эксперимента – подтвердить или опровергнуть научную гипотезу. Эта цель достигается в ходе анализа результатов измерений с учётом погрешностей, то есть сопоставления результатов: между собой; с

известными табличными данными; с теоретически рассчитанными; с полученными другим методом измерения.

Экспериментальный результат при ограниченном числе повторений измерения – случайная величина. Кроме того, любая теоретическая модель описывает объект или явление лишь приближенно; в любом методе измерений присутствует ряд посторонних факторов, которые не учтены в выбранной модели. Наконец, значение, полученное из опыта, так же как и значение, предсказанное теорией, выражаются приближёнными числами. Поэтому утверждение об их точном совпадении было бы некорректным. Вопросы о совпадении (или о несовпадении) экспериментального значения с табличным или с рассчитанным, о подтверждении теории экспериментом (или об открытии нового закона!) решаются путём анализа результатов с учётом погрешностей измерений.

Возможность анализа результатов с целью обнаружения взаимозависимости измеренных величин и установления закономерности в ходе их изменения, а также с целью проверки известного закона открывается только после того, как результаты измерений обработаны и найдены погрешности.

8

Глава 1 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1. Основные понятия

Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, а потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий.

Козьма Прутков

Чтобы что-то узнать, нужно уже что-то знать.

Станислав Лем2

1.1. Наблюдения, измерения, погрешности измерений

Основу всех научных исследований составляют наблюдения. В результате наблюдений регистрируются как качественные, так и количественные признаки наблюдаемого объекта. Объекты наблюдения могут быть физическими, химическими, экономическими, социологическими и т. д. Для определённости в дальнейшем основные понятия будут вводиться на примере изучения физических объектов.

Для характеристики того или иного свойства объекта вводится понятие физическая величина (ФВ) – одно из свойств физического объекта (физического явления или процесса), общее в качественном отношении для многих физических объектов, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них. Примеры ФВ: масса, электрическое напряжение, индуктивность.

Количественное содержание свойства в объекте, соответствующего физической величине, устанавливается размером и значением этой физической величины.

Размер физической величины – количественная определенность, присущая конкретному материальному объекту, системе, явлению или процессу. Значение ФВ – выражение размера величины в виде некоторого числа принятых для неё единиц. Размер ФВ для данного объекта существует независимо от наших знаний о нём, тогда как значение ФВ определяется только после того, как размер данного объекта измерения выражен посредством какой-либо единицы.

Измерения производятся с целью получения количественной информации о свойствах объекта наблюдения. Измерение физической величины – это нахождение её значения опытным путем с помощью

2 Лем (Lem) Станислав – польский учёный и писатель-фантаст, автор романа «Солярис».

9

специальных технических средств. Измерить физическую величину

– значит сравнить её с однородной величиной, принятой за единицу данной величины.

Наблюдение при измерении – экспериментальная операция, выполняемая в процессе измерений и имеющая целью своевременно и правильно произвести отсчёт. При отсчёте получается одно значение величины – результат единичного измерения. Результат измерения записывают в виде Х = А[Х], где Х – условное обозначение физической величины; А – отвлечённое число, называемое числовым значением величины Х; [Х] – единица величины Х.

Примеры: электрическое напряжение U = 0,25 В; индуктивность катушки L = 0,5 Гн; масса тела m = 12 кг.

Пусть произведена серия из n измерений величины Х одного и того же размера при неизменных условиях опыта. Результат единичного измерения хi (i = 1, 2, 3, ... , n) представляет собой случайную величину. Любая функция от хi – также случайная величина. Многократное измерение – измерение физической величины одного и того же размера, результат которого получается из нескольких следующих друг за другом измерений, т. е. состоит из ряда однократных (единичных) измерений. В учебной лаборатории серия единичных измерений (отсчётов) обычно ограничивается числом n < 10.

Ограниченный ряд результатов измерений называют выборкой из генеральной совокупности или просто выборкой. Выборка состоит из конечного числа результатов единичных измерений при неизменных условиях опыта. Генеральная совокупность – это множество результатов измерений одной и той же величины при неизменных условиях опыта при n → ∞. Генеральная совокупность, в отличие от выборки, содержит полный набор всех возможных значений, которые может принимать случайная величина (в данном случае результат единичного измерения). Генеральная совокупность характеризуется следующими параметрами: средним значением (математическим ожиданием) μ и средним квадратичным отклонением σ. Генеральное среднее, или математическое ожидание, − величина, бесконечно близкая к истинному значению наблюдаемой величины. По результатам выборки посредством математической обработки результатов можно получить лишь оценки названных величин: выборочное среднее значение x , выборочную среднюю квадратическую погрешность Sх и среднюю квадратическую погрешность среднего (стандартное отклонение) S<x>.

Выборочное среднее, вычисляемое для разных выборок из генеральной совокупности, является случайной величиной,

10