3. Постановка задачи

Рассматривается электронно-оптическая система, состоящая из двух коаксиальных цилиндров одинакового диаметра, расположенных на небольшом расстоянии друг от друга по оси (рис. 6).

Рис.6.

Потенциалы цилиндров: левого - Ф_аи правого -Ф_b (в относительных единицах). Распределение потенциала вдоль оси определяется аналитическим выражением:

, (5)

где R – радиус цилиндров (все расстояния в данной работе выражаются в единицах радиусов – R).

Применяя формулу зависимости потенциала от расстояния, можно найти его распределение вдоль оси z (табл. 1 и рис. 7).

Рис. 7.

Аппроксимируем плавную кривую изменения потенциала ломаной линией. Для этого надо разбить всю протяжённость поля на 10 равных отрезков z₁z₂, z₂z₃, z₃z₄, …, z₁₀z₁₁. Обозначим потенциалы на концах этих отрезков соответственно Ф₁, Ф₂, Ф₃, …, Ф₁₁ (табл. 1 и рис. 8).

Начальные условия вылета электрона: электрон вылетает из объекта, расположенного на оси на расстоянии z₀ радиусов цилиндров от начала координат со скоростью Ф₀ (относительных единиц) и с наклоном .

Требуется:

(По задаваемым для каждого варианта Ф_А (потенциал первого цилиндра), Ф_В (потенциал второго цилиндра) и начальным условиям вылета электрона z₀, Ф₀ и ).

1. Найти сопряжённую точку изображения (т. е. точку, где электрон вновь пересечёт ось).

Используя аналитические выражения и необходимые допущения, определить кардинальные элементы рассматриваемой линзы.

Рис. 8.

Рис. 8.

Таблица 1

	z	Ф0(z)
z1	-2,0		Ф1
	-1,8
z2	-1,6		Ф2
	-1,4
z3	-1,2		Ф3
	-1,0
z4	-0,8		Ф4
	-0,6
z5	-0,4		Ф5
	-0,2
z6	0		Ф6
	0,2
z7	0,4		Ф7
	0,6
z8	0,8		Ф8
	1,0
z9	1,2		Ф9
	1,4
z10	1,6		Ф10
	1,8
z11	2,0		Ф11

4. Схема расчёта и построения траектории

Расчёт траектории электрона методом ломаной линии (другое название этого метода – «метод многоугольника») основан на последовательном решении уравнения траектории – основного уравнения электронной оптики – на участках аппроксимированной кривой распределения потенциала. Для этого уравнение траектории

(6)

приводится к выражению вида (если взять производную в скобках):

. (7)

Интегрирование последнего выражения на линейных участках распределения потенциала и в окрестностях точек его излома (где изменяется скачком, аобращается в бесконечность), приводит к выражениям вида:

; ;

; ,

где c_i,i+1 и c_i-1,i – постоянные интегрирования на участках между точками i и i+1, i-1 и i, соответственно; и – наклоны траектории к оси в окрестностях точкиi; индекс Л относится к величинам до (слева) точки излома, а индекс П – после (справа) неё; r_i и r_i+1 – отклонения электрона от оси в точках i и i+1; Ф_i и Ф_i+1 – потенциалы на оси в точках i и i+1;– напряжённость поля на участке между точкамиi-1 и i; – напряжённость поля на участке между точкамиi и i+1;

; .

Порядок расчёта для нашего случая.

1. Определим начальные условия в начале первого участка (между точками с координатами z₁ и z₂), т. е.

• расстояние электрона от оси в точке с координатой z₁ – r₁;

• наклон его траектории к оси – .

Электрон, вышедший из объекта, будет двигаться вдоль прямой и в момент влёта на первый участок будет отстоять от оси на расстоянии, определяемом выражением:

, (8)

где z₀ – расстояние объекта от начала координат.

Подставляя численные значения (, , z₀ – из заданных начальных условий), рассчитываем r₁.

2. Определим наклон траектории по другую сторону от точки излома потенциала. Для этого используем выражение:

, (9)

где ;.

3. Постоянная интегрирования для первого отрезка определяется из выражения:

. (10)

4. Находим наклон траектории в конце первого участка (т. е. в точке с координатойz₂ c левой стороны):

. (11)

5. Расстояние электрона от оси в конце первого отрезка, то есть в точке с координатой z₂, находим из выражения:

. (12)

Аналогичный расчёт произвести для всех последующих точек излома потенциала и отрезков. Результаты расчёта свести в табл. 2.

Таким образом, ход вычислений имеет следующий вид:

r₀’ = r_1Л’ (из начальных условий)  r₁   c₁₂  

 r₂   c₂₃  

 r₃  …  r₁₁  .

Рис. 9.

По расчётным данным построить траекторию параксиальных электронов (рис. 9).

Таблица 2

z	Ф0(z)			r			с
		0,0
-2.0
-1,6
-1,2
-0,8
-0,4
0,0
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
		0,0

6. Из последней точки (с координатой z₁₁) электрон продолжает движение вдоль прямой, имеющей наклон к оси, равный . Следовательно, координату точки изображения можно найти из выражения:

. (13)