Добавил:

spbguap9 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.01.2021

Размер:

1.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Подставим в левые и правые части равенств (6.8) и (6.9) вместо x значение a и используем условия (6.7). При этом получим

f (a) C0;

C1;

(a)

(a) 2 1 C2;

...; f

(n)

(a) n(n 1) ... 2 1 Cn.

(a) 3 2 1 C3;

Отсюда

C0 f a ;

1 2

C1 f a ;

a ;

a .

1 2 3

a ; ;Cn

1 2 ... n

Используя обозначение

n! 1 2 ... n

0! 1 и подставляя найденные

значения C0,C1,...,Cn в формулу (6.8), получим искомый многочлен, который называется многочленом Тейлора для функции f (x):

P x f a	f' a	x a	f a	x a 2	...	f n a	x a n.

n	1!	2!				n!

Обозначим Rn(x) – разность значений данной функции и ее многочлена Тей-

лора (рис.6.5): Rn (x) f (x) Pn(x). Тогда						f (x) Pn (x) Rn (x) или в раз-
вернутом виде:
f (x) f (a)	f (a)	(x a)	f (a)	(x a)2	...		f (n) (a)	(x a)n	Rn (x). (6.10)
			2!
1!							n!

Слагаемое Rn x в формуле (6.10) на-		у
зывается остаточным членом. Формула
(6.10) дает возможность заменить функцию
f (x) многочленом Pn x с соответствую-
щей степенью точности, определяемой зна-
чением остаточного члена Rn x .
		О	a
Для оценки величины R x запишем
n
остаточный член в форме
Rn (x)	(x a)n 1	Q(x),
	(n 1)!

y=f(х)

y=Pn(х)

f(х)

Pn(х)

t х х

Рис.6.5

(6.11)

где Q(x) некоторая неизвестная функция. В соответствии с этим обозна-

чением перепишем формулу (6.10):


f(x) f(a)	f (a)	(x a)	f	(a)	(x a)2 .
				2!
1!

f(n)(a)	(x a)n	(x a)n 1	Q(x).	(6.12)
n!	(x a)n	(n 1)!	Q(x).	(6.12)
n!		(n 1)!
				67

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

При фиксированном x (напомним, что a – заданное число) функция Q(x) имеет определенное значение, которое обозначим q.

Введем вспомогательную функцию от аргумента t, причем t заключено между a и x (рис.6.5):

(t)

F(t) f (x) f (t)

(x t)

...

f (n)

(t)

n 1

(x t)

(6.13)

(n 1)!

где значение q определяется из соотношения (6.12) при фиксированном x и заданном a.

Покажем, что функция F(t) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля на отрезке [а, х], а именно: эта функция непрерывна на отрезке [а, х] и дифференцируема в интервале (а, х), так как является линейной комбинацией функций, обладающих указанными свойствами, и на основе формулы (6.12) F x F a 0. Поэтому к функции F(t) применима теорема Ролля. Найдем

F t , пользуясь формулой (6.13):

(t)

(x t)

(t)

(x t)

F (t) f

(t) f

f (t)

(x t)2

f (n)(t)

(x t)n 1

nf (n)(t)

(x t)n 1

(n 1)!

f (n 1)

(t)

(x t)

(n 1)q

(x t)

(n 1)!

Или после сокращения

f (n 1)(t)

(t)

(x t)

На основе теоремы Ролля существует точка t = c (a, x), в которой

F (c) 0.

В этой точке получим

f (n 1)(c)

(x c)n

(x c)n 0.

откуда q = f(n + 1)(c). Подставляянайденное значениеq в формулу (6.11), имеем

Rn (x)	f (n 1) (c)	(x a)n 1.	(6.14)

	(n 1)!

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Полученное выражение и определяет остаточный член в форме Ла-

гранжа.

Окончательно формула (6.11) примет теперь вид

f (x) P (x) R (x) f (a)

(a)

(x a)

(a)

(x a)2

f (n) (a)

(x a)n

f (n 1)(c)

(x a)n 1.

(6.15)

(n 1)!

Последнее выражение называется формулой Тейлора для функции f(x) с

остаточным членом в форме Лагранжа.

В частности,

при n = 0 формула

(6.15)

примет

вид f(x) =

f (a) f (c)(x a), т.е. формулы Лагранжа.

При n = 1 имеем

f (x) f (a)

f (a)

(x a)

f (c)

(x a)2 .

(6.16)

Отбросив в последнем выражении остаточный член, имеем

f (a x) f (a) f (a) х,	x x a,
или
f a df a .

Таким образом, получим известное приближенное представление приращения функции в данной точке x = a ее дифференциалом в этой точке.

Рассмотрим предел отношения остаточного члена в форме Лагранжа

(6.14) к разности (x a)n				при x a :
lim	Rn (x)	lim	f (n 1)(c)(x a)n 1			1		lim	f n 1 c (x a) 0.
lim		lim						lim	f n 1 c (x a) 0.
x a (x a)n		x a	(n 1)!(x a)n			(n 1)!x a
Итак,					Rn x
				lim	Rn x		0,		(6.17)
				lim			0,		(6.17)
				x a x a n
что означает
				R (x) o((x a)n),					(6.18)
				n

где «о-малое» o((x a)n) – величина более высокого порядка малости, чем

(x a)n . В указанной форме остаточный член	R x был представлен
Дж. Пеано, и формула (6.15) примет вид	n
Дж. Пеано, и формула (6.15) примет вид
	69

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

f (x) f (a)	f (a)	(x a)		f (a)	(x a)2
	1!			2!

	f (n)(a)		(x a)n o((x a)n ).			(6.19)

	n!

Формула (6.19) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

6.1.6.Примеры разложения функций по формуле Маклорена

Вразделе 6.1.5 показано, что достаточно гладкие функции с помощью формулы Тейлора можно приближенно, с определенной степенью точности заменить алгебраическим многочленом. Ошибка такой замены определяется величиной остаточного члена формулы Тейлора (6.14). Так как точка с, как

правило, неизвестна, то величину Rn x нельзя вычислить. В этом случае не-

обходимо оценить значение модуля Rn x , т.е. найти абсолютную погреш-

ность приближенного равенства f x Pn x .

Рассмотрим примеры разложения некоторых функций по формуле Тейлора при а = 0:

f (x) f (0)

(0)

x2 ...

(n)

(0)

(n 1)

(c)

xn 1, (6.20)

(n 1)!

где точка с 0,x . Этот частный случай формулы Тейлора называется фор-

мулой Маклорена.

Построим формулу Маклорена для следующих функций. 1. f(x) = ех. Вычислим значения производных:

f ' x f '' x ... f n x ex

при x = 0

f (0) f

(n)

(0) e

(0) f

(0) ... f

Таким образом, получим

ex 1

(6.21)

Ошибка приближенного равенства (6.21) определяется оценкой остаточного члена вида

	x	f n 1 c		ecxn 1
Rn			xn 1		, c 0,x .
		n 1 !
				n 1 !

В частности, если функция f(x) = ех задана на отрезке [–1; 1] то получим сле-

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

дующую оценку Rn(x):

ec xn 1

;

c 1;1 .

n 1 !

R x

Итак,

для x

1;1 , т. е. абсолютная погрешность прибли-

n 1 !

женного равенства (6.21) для функции ex на отрезке [–1; 1]

(n 1)!

Определим, при каком значении n абсолютная погрешность приближенного равенства (6.21) на отрезке [–1; 1] не превосходит 0,001. Нужное значение n найдем из условия

0,001.

n 1 !

Вычислим последовательно:

1! 1;

2! 2;

3! 3 2 6;

4! 3! 4 24;

5! 4!5 120;

6! 5! 6 720;

7! 6!7 5040 .

Очевидно,

что 0,001

при n 1 7, или n 6 . Итак,

с абсолютной погрешностью,

не превосходя-

щей 0,001, имеем приближенную формулу

ex 1

...

x 1;

1 .

В частности, при x = 1 получим

ex 1

...

2,718.

2. f x sin x. В точке x = 0

значение функции

f (0) 0. Вычислим ее

производные в этой точке:

;

(x) cosx sin x

(0) 1;

sin x

;

(x) sinx

(0) 0;

;

(x) cosx sin x 3

(0) 1;

f (4)(x) sinx

(4)(0) 0.

sin x

;

Отсюда имеем рекуррентную формулу

	n		π
f		x sin x n		;
			2

f n 0 sin nπ 2

n 1

1 2 , n нечетное,

0, n четное.

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Подставляя полученные значения в формулу (6.20), получим разложение

функции f(x) sinx

по формуле Маклорена:

xn 1

sin x x

...

sin

sin c n 1

c 0,x .

n 1 !

Вычислим приближенное значение sin 20 . Если ограничиться первыми

двумя членами разложения:

sin20

sin

0,342,

то абсолютная погрешность такого приближения равна абсолютной величине остаточного члена:

		4	1			4	1
R				sin(c 2 )
								0,00062 0,001.

3	9		4!		9		4!

Следовательно, sin 20 = 0,342 с точностью до 0,001.

3. f x cos x . Аналогично предыдущей процедуре получим

xn 1

cosx x

...

cos

cos c n 1

c 0,x ;

n 1 !

n нечетное,

cos

21 n2 , n четное.

4.f(x) ln(1 x). Данная функция определена и бесконечное число раз дифференцируема для x 1. Вычислим производные:

' x 1 x; f

x 1 x 2 ;

1 x 3 ;

f 4 x

2 3

;...; f n x

1 n 1 n 1 !

1 x 4

1 x n

Тогда

f (0) 0;

(n)

(0) ( 1)

n 1

(n 1)!.

f (0) 1;

(0) 1; ...;

Формула Маклорена для функции f x ln 1 x имеет вид

ln(1 x) x

( 1)n 1

R (x),

где остаточный член

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts


	Rn	x	1 n xn 1		, c 0,x .
			1 c n 1	n 1

5. f (x) (1 x) ,	x 1. Вычислим производные

f ' x 1 x 1; f x 1 1 x 2;

f x 1 2 1 x 3;... ; f n x 1 ... n 1 1 x n.

Таким образом,

f (0) 1; f (0)

; f (0) ( 1); f

(0) ( 1)( 2);...;

f (n) (x) ( 1) ... ( n 1).

Формула Маклорена для функции f (x) (1 x)

примет вид

(1 x) 1 x

( 1)

( 1) ... ( n 1)

xn R (x),

где

1 ... n

n 1

Rn x

1 c

c 0,x .

n 1!

6.1.7. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

Часто при вычислении предела lim f (x)непосредственная подстановка в

x a

выражение для f(x) вместо х предельного значения a приводит к одной из следующих неопределенностей:

0				0	0
		,	, 0 , , 0		,	, 1	.
	0

В этом случае нельзя судить о том, существует или нет указанный предел, не говоря уже о его значении в случае существования последнего. Поэтому говорят, что в точке a имеет место неопределенность соответствую-

щего типа, а вычисление предела называют раскрытием неопределенности.

Неопределенности типа	0	и		. Исследуем вопрос о пределе от-

0
ношения двух функций f(x) и g x , стремящихся к нулю при x a.
Теорема. Пусть f(x) и g x определены и дифференцируемы в некото-
					исключая,
рой окрестности точки а, причем g (x) 0 в этой окрестности,
может быть, саму точку а; кроме того имеет место равенство
lim f x limg x 0.					(6.22)
x a			x a
					73

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Тогда, если существует предел lim f ' x , то существует и предел отно-

x a g' x

шения функций и они равны, т.е.

lim	f (x)	lim	f (x)	.	(6.23)

x a g(x)		x a g (x)

Доказательство. В формуле (6.23) значение a может быть как конечным, так и бесконечным.

1. Рассмотрим случай, когда a конечное число. Пусть x a точка рассматриваемой окрестности. По условию теоремы функции f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности точки а, значит, они непрерывны в этой окрестности. Доопределим их в точке x = a так, чтобы они были непрерывны в точке а: f a 0; g a 0. Применяя формулу Коши (6.3), будем иметь

f x

f x f a

f ' c

, c a,x .

(6.24)

g x

g x g a

g' c

Перейдем в этом равенстве к пределу при x a.

Так как c а,x ,

то при

x a имеем c a . Поэтому, если lim

f (x)

то lim

f (с)

также суще-

g (с)

x a

g (x)

x a

ствует и равен А:

lim

f (x)

lim

f (c)

lim

f (c)

lim

f (x)

g(x)

x a

g (c)

c a

g (c)

x a

g (x)

Окончательно имеем

f (x)

lim

f (x)

lim

g(x)

x a

g (x)

что и требовалось доказать.

lim f (x) 0и

lim g(x) 0. Полагая х =1/z,

2. Пусть теперь

a , т.е.

z 0 .

получим z 0

при

x и,

следовательно,

lim f 1 z 0, lim g 1

z 0

Применяя доказанную теорему к отношению

, получим

f x

f 1 z

lim

1 z 1

lim

f 1 z

lim

f x

g x

g 1 z

g 1 z 1 z

g 1 z

z 0

g x

что и требовалось доказать.

Аналогичную теорему можно доказать и для неопределенности

типа .

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Итак, для раскрытия неопределенностей типа	0		или	можно

		0

сформулировать следующее правило.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых (или двух бесконечно больших) функций существует и равен пределу отношения их производных

lim	f (x)	lim	f (x)	(6.25)
	g(x)		g (x)
x a		x a

если выполнены условия:

1) функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой ок-

рестности точки х = а,

в этой окрестности (кроме, может

причем g x 0

быть, самой точки a);

(lim f x lim g x );

2) lim f x lim g x 0

x a

f ' x

x a

3) существует lim

конечный или бесконечный.

g' x

x a

f ' x

Замечание. Если предел отношения производных lim

вновь пред-

x a g' x

ставляет собой неопределенность типа

или

, то правило Лопиталя

применяется еще раз.

Пример 6.2. Найти lim

sin x

x 2

Решение. Подстановка предельного значения x 2 в выражение предела

приводит к неопределенности типа

. Функции

f x sin x и g x x 2

дифференцируемы: f (x) cos x, g (x) =1. Предел отношения производных существует:

lim

f (x)

cos2

x 2

g (x)

Поэтому получим

lim

sin x

lim

(sin x)

lim

cos x

cos2

x 2 x 2

x 2 (x 2)

x 2 1

Пример 6.3. Найти

lim

x x2

Решение. При х → +∞ имеем неопределенность типа . По правилу

Лопиталя

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

	e	x		(e	x	)		e	x
lim			lim				lim			.

x x2			x (x2)				x 2x

Получена неопределенность типа . Применим правило Лопиталя еще раз:

lim	ex	lim	(ex )			lim	ex	.
lim	2x	lim				lim	2	.
x	2x	x	(2x)			x	2
x		x				x
Итак, имеем
				ex
		lim			.
		lim			.
		x x2

Отметим, что формула (6.25) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа (конечный или бесконечный) существует, т.е. при выполнении условия 3 правила Лопиталя. Иногда предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий справа, не существует. Например,

предел lim x sinx существует и равен 1. Действительно,

x x

	x sin x		sin x
lim		lim 1		1.
	x		x
x		x

Но отношение производных

(x sin x) 1 cosx 1 cosx x 1

при x не имеет предела.

Неопределенности типа {0∙∞}, {∞ – ∞}. Вначале с помощью тождественных преобразований следует привести предел к неопределенности типа

0		или	. После этого можно непосредственно применять правило

	0

Лопиталя.

Пример 6.4. Найти

lim(1 x)tg x.

x 1 2

Решение. Подставив в выражение для заданной функции предельное значение аргумента x 1, получим


lim 1 x 0; limtg		x	tg	.
lim 1 x 0; limtg			tg	.
x 1	x 1 2		2

Таким образом, имеем неопределенность типа 0 . Учитывая, что

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
24.01.20211.08 Mб3Выбор параметров редуктора.pdf
#
03.01.20212.26 Mб6Выбор сечений жил кабельных линий.pdf
#
17.01.2021107.99 Кб3Выбор условий возбуждения колебаний при сейсморазведке МГТ 2Д в условиях Западно-прикаспийской впадины.pdf
#
24.01.2021762 Кб5Выбор электродвигателя, кинематический и силовой расчет привода.pdf
#
06.01.2021559.2 Кб4высокополярные нефти.pdf
#
03.01.20211.01 Mб15ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ.pdf
#
06.01.2021233.22 Кб8вытеснении нефти.pdf
#
03.01.2021439.96 Кб4вытеснения нефти.pdf
#
31.01.20211.39 Mб3ВЯЗКОСТЬ.pdf
#
01.02.20211.21 Mб5Газгольдеры.pdf
#
03.02.20212.86 Mб23газоанализатор.pdf