Добавил:

spbguap9 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.01.2021

Размер:

1.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Теорема 1. Для того, чтобы функция	f x в точке	x x0 (или при
х → х0) имела своим пределом число А, т.е.	lim f x A , необходимо и дос-
	x x0

таточно, чтобы функция α x f x A была бесконечно малой при х → х0.

Доказательство.	Необходимость.	Пусть lim f x A. Рассмотрим
		x x0
разность f x A α x . Перейдем к пределу при x x0 . Имеем
lim f x A lim f x lim A A A 0 .
x x0	x x0	x x0

Достаточность. Пусть f(x)– A = (x) и (x) – бесконечно малая функция при х → х0. Имеем f x A (x). Переходя к пределу при х → х0, получим

lim	f x lim A α x lim		A lim α x A 0 A .
x x0	x x0	x x0	x x0

Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, что и бесконечно малые числовые последовательности.

Теорема 2. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x x0 , а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при x x0 .

Утверждение теоремы непосредственно следует из определения предела функции и теорем 1-3 раздела 4.8.

Все сказанное о бесконечно малых функциях при x x0 справедливо для бесконечно малых функций при x , x и x .

Определение 2. Функция f x называется бесконечно большой функци-

ей (или просто бесконечно большой) в точке x x0 (или при x x0 ), если для любой сходящейся к x0 последовательности xn значений аргумента x , отличных от x0 , соответствующая последовательность f xn значений функции является бесконечно большой.

Символическая запись lim f x .

x x0

Аналогично определяются бесконечно большие функции при х → ∞, х → –∞

или х → +∞.

Замечание. Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует такая же связь, что и между соответствующими числовыми последовательностями.

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

4.16. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Теоремы об арифметических операциях над числовыми последовательностями или функциями в предположении, что они стремятся к конечным пределам, устанавливают, чему равны пределы суммы, разности, произведения и частного. В последнем случае предполагается, что пределы последовательности или функции, стоящих в знаменателе, отличны от нуля. Также предполагается, что в процессе изменения ни последовательность, ни функция нулевых значений не принимают.

В теоремах не рассматривались случаи, когда пределы (один или оба) бесконечны или – если речь идет о частном – когда предел знаменателя равен нулю или бесконечности.

Остановимся на некоторых из этих случаев.

1. Рассмотрим сначала частное двух функций, которые одновременно стремятся к нулю при x 0:

а)

f x 2x; g x 5x;

lim

f x

lim

;

x 0 g x

x 0 5x 5

б)

f x 2x2

; g x 5x;

lim

f x

lim

2x2

lim x 0;

x 0 g x

x 0 5x

5 x 0

в)

f x 2x;

g x 5x3 ;

lim

f x

lim

;

x 0 g x

x 0 5x3

5 x 0 x2

г) f x 1 n 1x; g x x;lim

f x

lim

1 n 1x

lim 1 n 1 (предел не

x 0 g x

x 0

существует).

Таким образом, знание пределов самих функций не позволяет судить о поведении их отношения. Необходимо знать закон изменения функций и непосредственно исследовать их отношение.

Для того, чтобы охарактеризовать эту особенность, говорят, что отноше-

f x

ние

при f x 0 и g

x 0 представляет неопределенность вида

g x

2. Рассмотрим частное двух функций, которые при x 0 одновременно

стремятся к бесконечности:

f x

а)

f x

; g x

;

lim

;

x 0 g x

x 0 5x 5

б)

f x

;

g x

;

lim

f x

lim

2x3

lim x 0;

x 0 g x

x 0 5x2

5 x 0

в)

f x

;

g x

;

lim

f x

lim

;

x 0 g x

x 0 5x3

5 x 0 x2

г) f x

1 n 1

; g x

; lim

f x

lim

1 n 1 x

lim 1 n 1 (предел не

x x 0 g x

x 0

существует).

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

В этом случае говорят, что отношение	f x	при	f x и	g x
	g x

представляет неопределенность вида .

3. Рассмотрим произведение двух функций, одна из которых при x 0 стремится к нулю, в то время как вторая функция стремится к бесконечности:

а)

f x 2x;

g x

; lim f x g x lim

;

5x x 0

x 0 5x 5

б)

f x 2x3

; g x

; lim f x g x lim

2x3

lim x2 0;

5x x 0

x 0 5x

5 x 0

в)

f x 2x; g x

;lim f x g x lim

lim

;

5x3

x 0

x 0 5x3

5 x 0 x2

г) f x x;g x

1 n 1

;lim f x g x lim

x 1 n 1

lim 1 n 1 (предел

x 0

не существует).

В этих случаях говорят, что произведение f x g x при f x 0 и g x представляет неопределенность вида 0 .

Замечание 1. Кроме неопределенностей вида, и 0 существуют

еще неопределенности вида , 1 , 0 , 00 .

Замечание 2. Во всех случаях приходится, учитывая закон изменения последовательностей или функций, непосредственно исследовать интересующее нас выражение. Подобное исследование получило название раскрытия неопределенности. Далеко не всегда оно так просто, как в приведенных схематических примерах.

Замечание 3. Если последовательность или функция, стоящие в знаменателе, имеют своим пределом нуль или бесконечность, в то время, как предел последовательности или функции, стоящих в числителе, есть константа, то предел частного устанавливается на основании теоремы о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими. Константа должна быть отличной от нуля, если в знаменателе стоит последовательность или функция, имеющие своим пределом нуль.

При нахождении предела суммы двух бесконечно больших одного знака следует воспользоваться соответствующим свойством бесконечно больших.

4.17. ПЕРВЫЙ КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ

Теорема. Предел отношения sin x/x при стремлении x к нулю по лю-

бому закону (x 0 ) равен единице, т.е. lim sin x 1 .

x 0 x

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

	х
sinх	tgх

Ох

Рис.4.3

Тогда

Заметим, что

Доказательство. Для доказательства теоремы воспользуемся вспомогательными неравенствами:

sin x x tgx 0 x /2 , (4.7)

где угол x измеряется в радианах. Неравенство становится очевидным, если

рассмотреть четверть тригонометрического круга радиуса равного единице (рис.4.3).

Разделим неравенства (4.7) почленно на sin x и перейдем к обратным величинам.

1 sin x cosx.

	x
0 1	sin x	1 cosx.	(4.8)

	x

1 cosx 2sin2	x	2sin	x	2	x	x .	(4.9)

2		2		2

Неравенства (4.8) с учетом (4.9) перепишем в виде

0 1 sin x x. x

Переходя к пределу при x 0 и используя теорему 2 раздела 4.14, получим

lim(1

sin x

) 0

при x 0

или

lim

sin x

при x 0.

x 0

Пусть x 0.

Обозначим x y и рассмотрим

lim

sinx

lim

sin( y)

lim

sin y

x 0 x

y 0

x 0

y 0

Следовательно,

sinx

lim

x 0

Используя первый классический предел, найдем следующие пределы:

1 cosx

2sin2

sin

lim

x 0

x 0 2

lim

tgx

lim

sin x

x 0

x 0 x

cosx

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

artgx

artgx y

lim

x 0

x tg y

y 0 tg y

arcsinx

arcsinx y

lim

x 0

x sin y

y 0 sin y

4.18. ВТОРОЙ КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ

	Теорема. Функция				1 x	при x имеет своим пределом число e,
				1
				1
					x
т.е.		1 x
	lim 1		е.
	lim 1		е.
	x	x
	Доказательство. Ранее было доказано, что							1	n
							lim 1			е.
							lim 1	n		е.
							n	n

Пусть х → 0, принимая как нецелые, так и отрицательные значения.

1. Рассмотрим случай, когда х → +∞. Каждое значение переменной x заключено между двумя положительными целыми числами: n x n 1. Переходя к обратным величинам, получим

n 1

При этом будут выполняться неравенства

1 n 1

1 x

1 n

;

n 1

Заметим, что если x , то и n .

Найдем

пределы переменных,

между

которыми заключена функция

1 x

1 n 1

1 n

lim 1

lim

lim 1

е 1 е;

n n

lim 1

					1		n 1
1 n		1
				n		1
	lim
					1
n 1	n		1

n 1

	1		n 1
lim 1					е
	n 1
n						е.
	1
				1
lim 1
		n 1
n

* Здесь и далее вфигурных скобках даны необходимые пояснения.

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

По теореме 2 раздела 4.14 имеем

	1	x
lim 1			е.

x	x

2. Рассмотрим случай

x . Введем новую переменную t x 1

или x t 1 . При t

x . Имеем

1 t 1

t 1

lim 1

lim

t t 1

t 1 t 1

1 t

lim

е 1 е.

t t

Объединяя оба случая, окончательно получим

1 x

lim 1

е.

Замечание. Если в равенстве

1 x

положить

α, то при

lim

x имеем α 0

(α 0) и, следовательно,

lim 1 α 1/α

е.

α 0

Пример 4.7. Найти lim

2x 1 3x

2x 5

Решение. Заметим, что

2x 1

lim

x 2x 5

Следовательно,

предел

2x 1 3x

представляет

неопределенность

lim

x 2x 5

вида 1 . Для того, чтобы применить второй классический предел, необходимо в основании выделить единицу:

2x 1

2x 5

lim

lim 1

2x 5

так как

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

	lim				6 3x			lim				18x							lim							18				9.
	lim							lim								5			lim									5		9.
	x 2x 5								x							5					x				2			5
											x		2
																													x

																x
											3
Пример 4.8. Найти lim cosx											2x2			.
						x 0
Решение. Имеем неопределенность вида 1 . Тогда
3																				2															x	3
3																				2														2		2x	2
		2																					2											2		2x	2
lim cos x 2x			1 lim1								cos x					1					2x			lim 1 2sin
lim cos x 2x			1 lim1								cos x					1					2x			lim 1 2sin
x 0							x 0																			x 0									2
																						2sin			2 x		3
																1						2sin				2	3
																										2
											x													x	2						3
																									2

										2					2sin		2	x
																		x
																															4
																															4
		lim				1 2sin											2												e			,
			x 0								2
											2


так как
							2	x																2	x
				2sin					3		0									sin								3				3
	lim			2sin				2	3		0			lim						sin					2			3				3	.
	lim					2x2					0			lim										2				4				4	.
	x 0					2x2					0						x 0 x							2				4				4


																					2

Определение. Логарифмы, основанием которых является число e , называются натуральными и обозначаются символом lnx: ln x loge x.

Логарифмируя по основанию 10 тождество x eln x получим
			lgx lnx M ,	(4.10)
где M lge		1	0,434294...
где M lge			0,434294...
	ln10
Равенство		(4.10) можно переписать в виде: ln x lgx M1 , где		M1

модуль перехода от десятичных логарифмов к натуральным логарифмам,

M1 1 2,302585...

4.19.ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

1.limln(1 x) 1.

x 0 x

Доказательство.

	ln(1 x)	1		1
lim		limln(1 x)	x	ln(lim(1 x)	x	) lne 1.

x 0 x		x 0		x 0

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Замечание. Возможность перестановки знака функции и знака предела будет обоснована в дальнейшем.

2. lim ax 1 lna.

x 0 x

Доказательство. Заметим, что при x 0 ax 1. Следовательно, раз-

ность ax 1 есть бесконечно малая функция при x 0, т.е. ax 1 α x , где

α x 0 при x 0. Отсюда

ax 1 α x .

(4.11)

Логарифмируя полученное равенство, получим

xlna ln 1 (х)

или x

ln 1 (х)

(4.12)

lna

С учетом (4.11) и (4.12) искомый предел запишем в виде

x lna

lna lim

lna.

lim

x 0 x

x 0 ln 1 (х)

(1 x)m

где m const.

lim

x 0

Доказательство. Аналогично п.2 имеем

(1 x)m 1 α x ,

(4.13)

где α x 0

при x 0.

Отсюда

(1 x)m 1 α x и, логарифмируя обе части равенства, получим

mln(1 x) ln 1 (х)

или

mln(1 x)

(4.14)

ln 1 (х)

С учетом (4.13) и (4.14) искомый предел можно записать в виде

lim

(1 x)m 1

lim

mln(1 x)

lim

ln(1 x)

m m.

ln 1 (х)

x 0

При доказательстве второго и третьего вспомогательных пределов использован первый вспомогательный предел.

Используя вспомогательные пределы, найдем следующие пределы:

2x 1 1 2

15 2x 1 1

lim

lim2

x 0

ex e x

e2x 1

e2x 1 x

lne 1 2 2 .

lim

sinx

sin x

x 0

x 0 ex sin x

x 0 2x

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

4.20. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть функции x и x при x x0 ( или при x , x и x ) являются бесконечно малыми функциями. Для сравнения быстроты стремления к нулю бесконечно малых (относительно друг друга ) рассмотрим предел их отношения.


	lim	x		K.

	x x0	x
Если K 0, то говорят, что α x			– бесконечно малая высшего порядка
по сравнению с β x . Если	K const		и K 0,		то α x и β x называются

бесконечно малыми функциями одного порядка. Если K 1, то α x и β x называются эквивалентными бесконечно малыми функциями. Этот факт коротко записывают в виде α x ~β x .

Замечание. Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения. Так, например, если предел отношения двух бесконечно больших функций равен нулю, то бесконечно большая функция, стоящая в числителе, более низкого порядка по сравнению с бесконечно большой, стоящей в знаменателе.

На основании ранее установленных пределов можно выписать следующую таблицу эквивалентных бесконечно малых функций:

sin (x)~ (x);	a (x) 1~ (x)lna;
tg (x) ~ (x);	e (x) 1~ (x);
arcsin (x)~ (x);	ln 1 (x) ~ (x);
arctg (x) ~ (x);	(1 (x))m 1~ (x)m (m const ).
Рассмотрим некоторые теоремы об эквивалентных бесконечно малых
функциях.	α x ~ α1 x , β x ~β1 x при x x0 и существует
Теорема 1. Если	α x ~ α1 x , β x ~β1 x при x x0 и существует
предел отношения эквивалентных бесконечно малых функций α1 x		и β1 x

при x x0 , то существует предел отношения исходных бесконечно малых функций при x x0 , причем

lim	x	lim	1 x	.

x x0 x		x x0	x
			1

Доказательство. Составим тождество

α x α x β1 x α1 x . β x α1 x β x β1 x

Переходя к пределу при x x0 , получим

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

lim

α x

lim

α x

lim

β1 x

lim

α1 x

lim

α1

x x0 β x

x x0 α

x x0 β x

Итак,

α x

α1 x

lim

x x0 β x

x x0 β1 x

Пример 4.9. Найти lim

1 cosx

Решение. Имеем

x 0

1 cosx 0

2sin2

sin x ~ x

2 x

lim

x 0

sin

x 0 x2

Итак,

1 cosx

1 cosx ~

lim

или

lim

x 0 x2

x 0

1 3x

Пример 4.10. Найти lim

Решение. Имеем

x 0 arcsin2x

( 3x)

1 3x 1

lim

1 3x 1~

( 3x)

lim

x 0

arcsin2x

~ 2x

x 0

Теорема 2. Если α x ~β x при

x x0 , то их разность при x x0 есть

бесконечно малая функция высшего порядка по сравнению с α x и β x .

Доказательство.

α x β x

Составим дробь

Переходя к пределу,

α x

получим

α x β x

β x

lim

1 lim

1 1 0.

x x0

α x

x x0

α x

x x0

α x

Обратная теорема (доказывается аналогично). Если разность двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с каждой из них, то рассматриваемые бесконечно малые функции эквивалентны.

Замечание. Пусть α x и β x при x x0 бесконечно малые функции,

причем α x ~β x . Рассмотрим очевидное тождество (х) = (х) + ( (х) –

– (х)). Разность α x β x есть бесконечно малая функция высшего порядка по сравнению с β x по теореме 2. Поэтому с точностью до бесконечно малой высшего порядка имеем

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
24.01.20211.08 Mб3Выбор параметров редуктора.pdf
#
03.01.20212.26 Mб6Выбор сечений жил кабельных линий.pdf
#
17.01.2021107.99 Кб3Выбор условий возбуждения колебаний при сейсморазведке МГТ 2Д в условиях Западно-прикаспийской впадины.pdf
#
24.01.2021762 Кб5Выбор электродвигателя, кинематический и силовой расчет привода.pdf
#
06.01.2021559.2 Кб4высокополярные нефти.pdf
#
03.01.20211.01 Mб15ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ.pdf
#
06.01.2021233.22 Кб8вытеснении нефти.pdf
#
03.01.2021439.96 Кб4вытеснения нефти.pdf
#
31.01.20211.39 Mб3ВЯЗКОСТЬ.pdf
#
01.02.20211.21 Mб5Газгольдеры.pdf
#
03.02.20212.86 Mб23газоанализатор.pdf