ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

yx xtdt yxdx , т.е. dy yxdx . Такое свойство первого дифференциала называют свойством инвариантности формы первого дифференциала.

5.14. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

Поскольку дифференциал функции y f (x) представляет собой глав-

ную часть приращения функции, линейную относительно приращения аргумента x , то y = y' x + x или y = dy + x, где при x .

Разность между приращением функции у и дифференциалом этой функции dy есть величина бесконечно малая высшего порядка, чем х. По-

этому при y' 0 lim y 1, т.е. приращение и дифференциал являются экви-

x 0 dy

валентными бесконечно малыми. Таким образом, при малых х имеет место приближенное равенство y dy или f(x + x) – f(x) f'(x) x. Из этого следует формула для приближенного вычисления функции при малых приращениях аргумента

Пример 5.10. Вычислить приращение у и дифференциал dy функции у = х2 – 2х при изменении х от х = 3 до х1 = 3,01.

Решение. При заданных условиях х = 0,01. Тогда

dy = y'dx = (2x – 2) x = (2 ;

y = f(x + x) – f(x) = (3 + 0,01)2 – 2(3 + 0,01) – 32 + 2 3 = = (3,01)2 – 6,02 – 9 + 6 = 0,0401.

57

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Погрешность, которую мы допустили, заменив приращение функции дифференциалом, равна у – dy. Абсолютная величина погрешности

y dy .=0,0401 – 0,04 ≈ 0,0001. Относительная погрешность

y dy 0,0001 0,00249 0,0025, т.е. всего 0,25 %.y 0,0401

5.15.ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

Вгеометрии и механике часто употребляется параметрический способ задания кривой. Кривую линию можно рассматривать как геометрическое место последовательных положений движущейся материальной точки, а координаты x и y этой точки выразить в виде непрерывных функций вспомогательной переменной t, которая называется параметром. Плоская кривая в этом случае определяется двумя уравнениями:

При изменении параметра t в промежутке [ , ] точка с координатами (x=φ(t), y=ψ(t)) описывает всю кривую или рассматриваемую ее часть. Задание кривой уравнениями (5.16) называется параметрическим.

Если из уравнений (5.16) можно исключить параметр t, то получим явное или неявное задание функции y f (x). Исключение параметра t из уравнений движения материальной точки приводит к уравнению траектории этой точки.

Пример 5.11. Установить, какую линию определяют уравнения x 2t 4t2; y t 2t2 .

Решение. Если второе уравнение умножить на 2 и вычесть его почленно из первого, то получим 2y = х. Это уравнение определяет прямую.

Теперь рассмотрим указанные условия:

58

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

1. Пусть t [0, ], тогда y r2 x2 . Перед корнем выбран знак плюс

потому, что если t изменяется в промежутке [0, ], то y 0. В этом случае искомая линия – это полуокружность с центром в начале координат, расположенная в верхней полуплоскости.

2. Пусть t [ , 2 ], тогда y r2 x2 . Это уравнение определяет полу-

окружность с центром в начале координат, расположенную в нижней полуплоскости.

3. Пусть t [0, 2 ], тогда уравнения x rcost, y rsint определяют окружность радиуса r с центром в начале координат.

Укажем, что в случае явного задания функции y f (x), где f (x) опре-

делена и непрерывна в промежутке [a, b], кривую, определяемую этим уравнением, можно легко задать параметрическим способом:

Теорема. Если функция y аргумента x задана параметрическими уравнениями x (t), y (t), причем (t) и (t) – дифференцируемые функции по t и '(t) 0, то производная от функции y по x

Доказательство. Предположим, что функции x(t) и y(t) дифференцируемы по переменной t на множестве, где эти функции определены. Тогда

dy yt t yt . dx xt t xt

По этой же схеме можно вычислить старшие производные. Например,

Вопросы для самопроверки

1.Что называется производной функции в точке?

2.В чем состоит геометрический смысл производной?

3.Как выглядит уравнение касательной к графику функции в данной

точке?

4.В чем состоит механический смысл первой производной?

5.Что называется дифференциалом функции?

6.Каков геометрический смысл дифференциала?

7.В чем состоит и для какого вида функций применяется логарифмическое дифференцирование?

59

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

8.Чему равна производная суммы, произведения и частного двух функций?

9.Докажите формулу нахождения производной произведения двух функций.

10.Как найти производную сложной функции?

11.Сформулируйте теорему о производной обратной функции.

12.Перечислите формулы таблицы производных.

13.Что называется второй производной функции?

14.В чем состоит механический смысл второй производной от функции, описывающей прямолинейное движение материальной точки?

15.Что понимают под производной n-го порядка?

16.В каком случае функция называется дифференцируемой k раз?

17.Как применяют дифференциал к приближенным вычислениям?

18.Можно ли утверждать, что если функция непрерывна на интервале (a, b), то она дифференцируема на этом интервале?

19.Выведете формулу для дифференцирования функции, заданной параметрически.

20.Можно ли сказать, что функция y =│x│ дифференцируема при х = 0?

Тесты

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Глава 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

6.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

6.1.1. Теорема Ферма

Теорема. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b], а в некоторой внутренней его точке x = c, c (a, b), достигает наибольшего (или наименьшего) значения. Если в этой точке существует конечная первая производная, то

Отсюда при х < 0

функция f(x) = sinx на отрезке 0; π/2] достигает в граничной (не внутренней) точке с = 0 наименьшего значения, но ее производная в этой точке равна еди-

нице (cos0 = 1).

6.1.2. Теорема о корнях производной (теорема Ролля)

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке a,b , дифференци-

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

у

у

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке то она принимает на нем наибольшее (M) и наименьшее (m) значения по свойству функции, непрерывной на замкнутом промежутке. Тогда возможны только

2. M > m. Так как f а f (b) , то хоть одно из значений М или т дости-

гается в некоторой точке c a,b . Следовательно, справедлива теорема Фер-

ма: f с 0 . Теорема доказана.

Геометрически теорема Ролля означает следующее: если граничные ординаты кривой у = f(x) равны, то на кривой найдется такая точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.6.2). Если требование дифференцируемости нарушается хотя бы в одной точке интервала a,b , то производ-

ная функции не обращается в нуль. Например, для функции f (x) x на от-

резке 1;1 (рис.6.3) выполнены все условия теоремы Ролля, кроме сущест-

вования производной в точке х = 0. Действительно, в интервале 1;1 нет

не существует.

6.1.3.Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши)

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

противоречит условию теоремы. Введем вспомогательную функцию, удовлетворяющую всем условиям теоремы Ролля, равенством вида F(x) f (x) Rφ(x), где R некоторое постоянное число, подлежащее определению. Тогда функция F(x) как линейная комбинация функций f (x) и

φ(x) будет непрерывна на a,b и дифференцируема в a,b . Подберем те-

перь R так, чтобы F(a) F(b): f(a) R (a) f (b) R (b). Отсюда получим

Теорема доказана.

Формулу (6.3) обычно называют формулой Коши (обобщенной формулой конечных приращений).

6.1.4. Формула конечных приращений (формула Лагранжа)

Формула конечных приращений (формула Лагранжа) является важным частным случаем формулы Коши. Для ее вывода полагаем в (6.3) φ(x) x. Тогда φ(a) a, φ(b) b, x 1 и формула (6.3) примет вид

где a c b.

Формула (6.6) называется формулой конечных приращений, или форму-

лой Лагранжа. В соответствии с этой формулой приращение функции на отрезке равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого интервала. Функция f x , входящая в формулу (6.6), должна быть в соответствии с теоремой Коши непрерывна на a,b и дифференцируема в a,b .

Формулу (6.6) можно записать в другой форме. Значения а и b обозначим x и x x соответственно. Тогда получим

64

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

В теоремах Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши речь идет о существовании некоторой «средней» точки c a,b , в которой выполняется то или иное равенство. Поэтому рассмотренную группу теорем можно объединить названи-

ем теоремы о средних значениях.

6.1.5. Формула Тейлора

Пусть функция y = f(x) определена на некотором промежутке, содержащем точку х = а. Предположим, что в этом промежутке она имеет все производные до (n + 1)-го порядка включительно. Поставим задачу найти алгебраический многочлен, степень которого не превышает n, достаточно точно описывающий функцию f(x) в окрестности точки a. Искомый многочлен Pn x обладает следующими свойствами:

1)значение многочлена в точке a равно значению данной функции в этой точке;

2)значения всех производных многочлена до n-го порядка включительно в точке a равняются значениям соответствующих производных от функции f(x) в этой точке.

Таким образом, можно записать

Неопределенные коэффициенты C0,C1,...,Cn должны быть такими, чтобы выполнялись условия (6.7). Сначала найдем производные от многочлена

Pn(x):

66