Добавил:

spbguap9 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

гидромеханика нефти

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.01.2021

Размер:

20.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 4645 46 > Следующая >>>

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ

485

Из формулы (23.30) следует, что дебит галереи убывает с течением времени, как 1t , и при t → ∞ стремится к нулю. В момент време- ни t = 0 формула (23.30) дает бесконечное значение дебита, и это обстоя- тельство является следствием скачка давления на галерее (от pк до pг ) в начальный момент времени.

Накопленная к моменту t добыча (объем добытой нефти) Vдоб опре-

деляется по формуле

− pг )

2k(

pк − pг ) Bh

Vдоб = ∫ Q(t) dt =

pк

∫

πκ

t =

µ πκ

t ,

т.е. сразу после начала отбора из галереи

она быстро возрастает, а в дальнейшем

растет очень медленно (рис. 23.2).

Случай 2. Приток к галерее, на кото-

рой поддерживается постоянный дебит.

Пусть в таком же полубесконечном пла-

сте, что и в случае 1, в момент времени t =

= 0 пущена в эксплуатацию галерея, но

теперь будем считать, что на галерее

Рис. 23.2. Зависимости дебита и

поддерживается постоянный

объемный

дебит Q. Требуется найти давление в лю-

добычи жидкости от времени по-

бой точке пласта в любой момент време-

сле пуска галереи при условии рг =

ни.

= const

Математически задача заключается в

интегрировании того же уравнения (23.22),

но с иными начальными и граничными условиями:

p(x, t) =

pк

при

t =

0 ;

w(x, t) =

∂ p

w1 =

const

при

x =

0 , t >

0 ;

µ ∂ x

p(x, t)

pк

при t >

0 , x → ∞

(23.31)

Первое условие, как и в первом случае, задает распределение давления в пласте до пуска галереи, из него следует, что давление во всех точках пласта в начальный момент времени постоянно и равно контурному. Вто- рое условие задает постоянство дебита на галерее после ее пуска. Из третьего условия следует, что граница возмущенной зоны с ростом време- ни перемещается к бесконечности.

Для интегрирования уравнения пьезопроводности в данном случае умножим обе части уравнения (23.22) на k и далее продифференцируем

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

486	ГЛАВА XXIII

по x. В результате получим
	k	∂ 2 p	=	k	κ	∂ 3 p
µ		∂ x ∂ t	=	µ	κ	∂ x 3	,
µ		∂ x ∂ t		µ		∂ x 3

откуда, поменяв порядок вычисления производных, получим:

∂

k ∂ p

∂ 2

k ∂ p

∂

∂ x

Так как

k ∂ p = w(x t)

µ ∂ x , ,

то уравнение (23.32) можно переписать в виде

∂ w (x, t)	=	κ	∂ 2 w (x, t)
∂ t			∂ x 2	.

(23.32)

(23.33)

Уравнение (23.33) по форме также совпадает с уравнением теплопро- водности (23.22). Следовательно, решением уравнения (23.33) будет реше- ние, аналогичное (23.26), с заменой давления p на скорость фильтрации w

w =		x	+ C2 .	(23.34)
w =	C1 erf		+ C2 .	(23.34)
	2	κ t

При этом следует иметь в виду, что начальное и граничное условия для w имеют вид:

w(x,0) = 0,		w( 0, t) = w1 .
Используя эти условия, найдем константы интегрирования.
При t = 0 из (23.34) следует		∞
		∞
0 = C1	2π ∫ e− u2 du + C2 .
		0
∞
Так как ∫ e− u2 du = π 2 , получаем
0
0 =		C1 +	C2 .
Второе условие, при x = 0 , дает
		0
w1 = C1	2π ∫ e− u2 du + C2 .
		0
Из этих двух равенств имеем C2	= w1, C1			=	− w1	и, следовательно,
				x			k ∂ p
w(x,t) = w1 1	− erf		2			=	µ		.	(23.35)
w(x,t) = w1 1	− erf					=			.	(23.35)
				κ t				∂ x

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ

487

Чтобы найти распределение давления в потоке, необходимо проинтегриро- вать уравнение (23.35) по x при фиксированном времени t .

∂ p

κ t

−

µ ∫

∂ x dx

= w1 ∫ 1 −

∫ e

dx .

Выполнив интегрирование, получаем

p(x, t)

− p( 0, t)

x 2

κ t

w1 ∫

∫ e

−

k w1x −

dx .

(23.36)

Последнее слагаемое в (23.36) интегрируется по частям

x 2

κ t

∫

2 w

e− u2 du dx =

x 2

κ t

4κ t dx

∫ e

− u2

du | − ∫ x e

− x2

w1 x

2 κ t

2µ w

x 2 κ t

κ t(1 − e

∫ e

−

4κ

k π

x ×

du −

) .

Поэтому уравнение (23.36) можно записать в виде

µ w1

1 − e−

p(x, t) −

p( 0, t) =

−

4κ t

x 1

erf

(23.37)

π x

κ t

= pг( t) ,

С учетом того, что p(0, t) есть давление на галерее, т.е.

p(0, t)

из (23.37) запишем выражение для давления в любой точке потока:

p(x,t)

pг +

µ w1

−

κ t

(1 − e

− x2 4κ t

(23.38)

x 1

erf

) .

2 κ t

pг (t) ,

Чтобы найти закон изменения давления на галерее

подставим

в (23.38) граничное условие p(x, t)

pк при x →

∞

. Так как при x → ∞

→

то

произведение

erf

x 1

− erf

дает неопределен-

κ t

2 κ t

ность вида ∞

0 . Раскрывая ее по правилу Лопиталя, можно показать, что

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

488				ГЛАВА XXIII
это произведение стремится к нулю. Учитывая также, что				e− x2 4κ t → 0
при x → ∞ , получаем		− 2 w1
pг (t) =	pк	− 2 w1	κ t
		k π
или
pг (t) =	pк −	Qµ 2	κ t .	(23.39)
		Bh k	π

Нетрудно видеть, что решение (23.39) при очень больших значениях времени теряет физический смысл. В самом деле, так как процесс во времени не ограничен, то можно указать такие значения t , при которых pг (t) < 0. По- лученный результат означает, что принятое граничное условие – задание w(0, t) = const = w1 является слишком «жестким», для его реализации тре- буются отрицательные давления при больших временах t . Реально эти дав- ления возникать не будут – возникнет кавитация вблизи галереи.

5.2. Плоскорадиальный фильтрационный поток упругой жидкости. Основная формула теории упругого режима фильтрации

Пусть в неограниченном горизонтальном пласте постоянной толщины h имеется добывающая скважина «нулевого» радиуса (точечный сток). На- чальное пластовое давление во всем пласте одинаково и равно pк . В мо- мент времени t = 0 скважина пущена в эксплуатацию с постоянным объем- ным дебитом Q0 . В результате в пласте образуется неустановившийся плоскорадиальный поток упругой жидкости.

Распределение давления в пласте (в любой его точке в любой момент времени) p(r, t) определяется интегрированием уравнения (23.16), которое для радиального течения в цилиндрической системе координат имеет вид

∂ p

∂

2 p

1 ∂ p

= κ

(23.40)

∂ t

∂

r ∂ r

Начальные и граничные условия задачи следующие:

p(r, t) =

pк

при t = 0 ,

p(r, t)

pк

при t >

0 и r →

∞ ,

(23.41)

Q =

2π kh

∂

Q0 =

const

при t > 0 .

∂

r r =

Первое условие означает, что до момента времени t = 0

во всем пла-

сте давление было постоянным и равным контурному. Второе условие по- казывает, что граница возмущенной зоны (т.е. значение радиуса, на кото- ром давление равно контурному) перемещается с ростом времени и для больших времен стремится к бесконечности. Из третьего условия следует, что дебит скважины поддерживается постоянным.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ				489
Последнее условие запишем в виде
	∂ p	=	Q0µ	(23.42)
r
			.
	∂ r r = 0		2π kh
Так же, как в предыдущем случае, проведем анализ размерностей. Ис-

комое распределение давления в пласте зависит от пяти определяющих па-
раметров: r , t, κ , pк , Q0µ	(2π kh) , размерности которых следующие:
[r] = L, [ t] = T,[ κ]		=		2	− 1
[r] = L, [ t] = T,[ κ]		=		L T	,[ p]к =[ ]p ,
	Q0µ		=	[ p]
			=	[ p]	,
	2π kh

где [ p] – размерность давления. Из этого следует, что давление, приведен- ное к безразмерному виду, P = p pк , зависит только от двух безразмер- ных параметров (так как из пяти параметров три имеют независимые раз- мерности (r, t, pк) ), то есть можно записать

P =		Q0µ		ξ =	r
					.	(23.43)

	f ξ ,		,		2 κ t
		2π khpк

Таким образом, задача автомодельна, и уравнение (23.40) можно све- сти к обыкновенному дифференциальному уравнению. Продифференциру- ем (23.43) и найдем представление частных производных по независимым переменным t и r через производные по автомодельной переменной:

∂ P

−

dP ξ

∂ P

dP 1

∂ 2P

1 d2P

∂ t

dξ 2t

∂ r

dξ 2

κ t

∂ r2

4κ t dξ 2

Подставив полученные выражения в уравнение (23.40), получим обык- новенное дифференциальное уравнение

d2P	+		1	+	dP		= 0 ,
					2ξ			(23.44)
dξ 2						dξ
		ξ

которое нужно проинтегрировать при условиях, полученных из (23.41)

преобразованием к безразмерному виду,

P(ξ ) = 1 при ξ → ∞ ,

	ξ	dP



		dξ ξ =

Воспользуемся подстановкой

=	Q0µ	(23.45)
	.
0	2π khpк

			dP		= v

			dξ
и из уравнения (23.44) получим
	dv		1
		+		+	2ξ v = 0 ,
		+		+	2ξ v = 0 ,
	dξ		ξ
	dξ		ξ

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

490

ГЛАВА XXIII

или

dξ

− 2ξ

dξ .

(23.46)

Проинтегрировав (23.46), получим

ln ξ + ln v =

− ξ 2 +

ln C1 ,

(23.47)

где C1 – постоянная интегрирования.

Потенцируя (23.47), найдем:

v =

e− ξ 2

(23.48)

dξ

Проинтегрируем (23.48) в пределах от ξ

до бесконечности, учтя первое

из условий (23.41), и получим

P (ξ ) =

∞

− ξ 2

− C1 ∫

dξ +

(23.49)

Умножая равенство (23.49) на ξ

, устремляя ξ →

0 и используя вто-

рое условие (23.45), найдем величину C1

2π

khpк

Тогда (23.49) преобразуется к виду

P(ξ ) = 1 −

Q0µ

∞

e−

ξ 2

∫

dξ

(23.50)

2π khpк

Интеграл в последней формуле легко свести к табличному подстановкой

u = ξ 2 =

dξ

4κ t

Перейдя также от безразмерного давления P к размерному p =

Ppк , бу-

дем иметь окончательно

p(r, t) = pк

Q0µ

∞

e− u

−

∫

du.

(23.51)

2π kh

r2 (4κ t)

Интеграл в формуле (23.51) называется интегральной показательной функцией, которая табулирована и имеет специальное обозначение

			r2		∫	e− u
−		−		=			du .

	Ei
			4κ t	r2		u
					(4κ t)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ

491

Таким образом, давление в любой точке плоскорадиального потока в условиях упругого режима фильтрации определяется по формуле

p(r,t) = pк	−	Q0µ
		4κ kh

			r2
−	Ei	−		.	(23.52)

			4κ t

Формула (23.52) получила название основной формулы теории упру- гого режима фильтрации. Она имеет широкое практическое применение, в частности, используется при интерпретации результатов исследования скважин, в расчетах распределения давления при фильтрации упругой жид- кости и т.д.

Интегральную показательную функцию можно представить в виде ряда

	1	∞	n
− Ei (− x) = ln	1	− γ + ∑	(−n1)n!+ 1xn ,
− Ei (− x) = ln	x	− γ + ∑	(−n1)n!+ 1xn ,
		n= 1

который сходится при всех значени- ях x (0 < x < ∞ ) , γ – постоянная Эйлера – иррациональное число, приближенное значение которого при вычислениях в подземной гид- ромеханике принимается рав-

ным 0,5772.

При изменении аргумента x от 0 до ∞ функция − Ei (− x) быстро убывает от ∞ до 0. График этой функции приведен на рис. 23.3. При малых значениях x суммой ряда можно пренебречь, тогда

− Ei (− x) = ln 1 − 0,5772 . x

Рис. 23.3. График интегральной пока- зательной функции

При этом погрешность не превосходит:

				r2
0,25%,	если	x =			≤ 0,01;
				4κ t
5,7%,	если	x ≤	0,1;
9,7%,	если	x ≤	0,14 .

Следовательно, для значений r2 (4κ t) ≤ 1 давление можно определять по формуле

p(r, t) =		−	Q0µ		4κ t	−
	pк			ln			0,5772 .	(23.53)
			4π kh		r2

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

492	ГЛАВА XXIII

Из (23.52) находим, что расход жидкости через любую цилиндричес- кую поверхность радиусом r и скорость фильтрации там определяются, соответственно, по формулам


Q(r, t) =	k	∂ p		2π rh =		Q0e− r2 4κ t ,	(23.54)

µ		∂ r
w =			Q0		e− r2	4κ t .	(23.55)
			2π rh
							w =
Из последней формулы следует,					что стационарная скорость

стац

= Q0 ( 2π rh) достигается очень быстро на небольших расстояниях от сква-

жины, так как значение коэффициента пьезопроводности обычно велико. При теоретическом исследовании неустановившихся процессов пере-

распределения пластового давления удобно пользоваться безразмерными параметрами Фурье fo и Fo, играющими роль безразмерного времени и оп- ределяемыми по формулам:

fo =	κ t		,	Fo =	κ t		.	(23.56)
		2
	r				R	2

	c				к

В зависимости от специфики решаемой задачи удобно пользоваться тем или другим из указанных параметров Фурье.

Строго говоря, основная формула теории упругого режима (23.52) справедлива лишь для случая точечного стока (при rc = 0) в неограничен- ном пласте ( Rк = ∞ ).

Для оценки влияния конечности радиуса возмущающей скважины rc на результаты расчетов давления В.Н.Щелкачев сравнил результаты расче- тов по формуле (23.52) и по точной формуле (Ван-Эвердинген и Херст), учитывающей конечный радиус скважины rc . В.Н.Щелкачев установил, что погрешность подсчетов давления по формуле (23.52) составляет 0,6%

при fo = 100; 2,3% при fo = 25, 5% при fo = 10, 9,4%; при fo = 5 контура пи-

тания или радиус круговой непроницаемой границы пласта.

Оценим практическое значение этой погрешности. Допустим, что κ = = 1 м2/с, rc = 0,1 м. Тогда, полагая fo = 100, найдем

t = fo	rc2	=	100	0,12	= 1 c.
	κ
			1

Следовательно, уже через 1 с после пуска скважины расчеты забойного давления, выполненные по формуле (23.52), будут иметь погрешность, не превышающую 0,6%. Отсюда следует, что для скважин обычных размеров формула (23.52) обеспечивает высокую степень точности уже на самой ран- ней (а тем более на поздней) стадии процесса перераспределения давления.

Непосредственными расчетами В.Н.Щелкачевым было установлено, что в громадном большинстве практически интересных случаев изменение давления при работе скважины в конечном открытом пласте можно в тече-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ

493

ние достаточно длительного времени изучать при помощи простой форму- лы (23.52) для бесконечного пласта. При этом погрешность в подсчетах за- бойного давления не превзойдет 0,08% при Fo ≤ 0,2; 1% при Fo ≤ 0,35; 1,9% при Fo ≤ 0,5.

Для расчетов пластового давления в любой точке открытого кругового пласта в случае r ≤ 0,1 Rк , можно с высокой степенью точности (до 0,2%) пользоваться формулой (23.52) для бесконечного пласта, если при этом Rк ≥ 105 rc , Fo ≤ 0,2.

Вдополнение к указанным оценкам можно еще отметить, что различие

ввеличинах забойных давлений в условиях конечного (открытого и закрыто- го) и бесконечного пластов не превзойдет 1%, если Fo ≤ 0,33, Rк ≥ 50 rc или

если Fo ≤ 0,35, Rк ≥ 1000 rc .

Решения дифференциального уравнения Фурье (23.40) для различных случаев фильтрации упругой жидкости в ограниченных открытых и закры- тых пластах представляются бесконечными рядами по специальным функ- циям Бесселя.

В заключение покажем, как ведут себя пьезометрические кривые вблизи скважины, которая эксплуатируется с постоянным дебитом Q0 (рис. 23.4). Для точек вблизи забоя можно пользоваться формулой (23.53). Продиффе- ренцировав ее по координате r , найдем градиент давления

∂ p ∂ r= Q0 µ ( 2π kr) .

	Из этой формулы следует,
	что градиент давления для значе-
	ний r , удовлетворяющих нера-
	венству r2 ≤ 0,03 4κ t , практиче-
	ски не зависит от времени и оп-
	ределяется по той же формуле,
	что и для установившейся плос-
	корадиальной фильтрации не-
	сжимаемой жидкости. Для ука-
	занных значений r пьезометри-
	ческие кривые представляют со-
Рис. 23.4. Пьезометрические кривые при	бой логарифмические линии
пуске скважины с постоянным дебитом	(рис. 23.4). Давление на забое
Q0 ; rc – радиус скважины; Rк – радиус	скважины падает с течением вре-
кругового контура питания или радиус	мени, углы наклона касательных
круговой непроницаемой границы пласта.	θ на забое одинаковы для всех
	кривых.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Глава XXIV

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОГО РЕЖИМА

Как было показано в предыдущей главе, решения краевых задач неус- тановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде

вусловиях как бесконечного, так и конечного пластов можно получить при помощи хорошо известных методов интегрирования дифференциаль- ного уравнения пьезопроводности (теплопроводности) (23.16). Однако во многих случаях эти решения представляются громоздкими формулами

ввиде бесконечного медленно сходящегося ряда или несобственного инте- грала, содержащего специальные функции. В связи с этим были предпри- няты поиски приближенных эффективных решений задач неустановив- шейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде. Рассмот- рим здесь некоторые из разработанных приближенных методов, получив- ших широкое применение при решении задач теории упругого режима.

§1. Метод последовательной смены стационарных состояний

Одним из наиболее простых по своей идее приближенных методов решения задач теории упругого режима является метод последовательной смены стационарных состояний (ПССС), развитый И.А.Чарным и широко применяющийся в практических расчетах. Метод основан на предположе- нии, что давление в пласте меняется во времени значительно медленнее, чем по координатам. Поэтому производную по времени можно в первом приближении отбросить, в результате чего для давления получается урав- нение Лапласа, описывающее стационарный процесс.

В каждый момент времени весь пласт условно разделяется на две об- ласти – возмущенную и невозмущенную. При этом предполагается, что в возмущенной области пласта, начинающейся от стенки скважины, давле- ние распределяется так, как будто бы движение жидкости в ней устано- вившееся и внешняя граница этой области служит в данный момент конту- ром питания. В невозмущенной области пласта давление всюду постоянно и равно начальному контурному давлению. Закон движения подвижной границы, разделяющей возмущенную и невозмущенную области, опреде- ляется при помощи уравнения материального баланса и граничных условий.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 4645 46 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
10.01.20214.54 Mб106Гидродинамические исследования скважин Курс лекций.pdf
#
10.01.2021459.11 Кб22ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН НА ПРИОБСКОМ МЕСТОРОЖДЕНИИ.pdf
#
07.02.20211.03 Mб27ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН-1.pdf
#
10.01.2021353.18 Кб46Гидродинамические методы исследования скважин.pdf
#
02.01.202138.63 Mб23Гидродинамическое исследование скважин.pdf
#
02.01.202120.67 Mб30гидромеханика нефти.pdf
#
07.02.20211.34 Mб36Гидроочистка сырья.pdf
#
03.02.20211.46 Mб10гидроочистки сырья.pdf
#
24.01.2021452.97 Кб20Гидроразрыв пласта при КРС.pdf
#
24.01.2021271.57 Кб18Гидроразрыв пласта.pdf
#
29.01.2021304.86 Кб8Глубину превращения при термическом крекинге.pdf