гидромеханика нефти

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

жим пласта следует называть упруговодонапорным. Различают и вторую разновидность упругого режима – замкнуто-упругий режим. Встречаются залежи нефти в закрытых со всех сторон пластовых «ловушках», когда на небольших расстояниях от нефтяной залежи продуктивный пласт либо вы- клинивается, либо экранирован сбросом. В начальной стадии разработки та- кой залежи, до тех пор, пока пластовое давление не снизилось до давления насыщения, имеет место замкнуто-упругий режим движения флюида.

Характерная особенность проявления упругого режима в процессе разработки нефтяных месторождений проявляется в длительности во вре- мени процесса перераспределения пластового давления после начала рабо- ты скважины или изменения темпа отбора жидкости из скважины. Это свя- зано с тем, что при фильтрации вязкой жидкости в пласте возникают очень большие силы сопротивления. Неустановившиеся процессы протекают тем быстрее, чем больше коэффициент проницаемости k , и тем медленнее, чем больше вязкость жидкости и коэффициенты объемной упругости

жидкости β ж и твердого скелета пласта β с .

Первыми исследователями, разрабатывавшими теорию упругого ре- жима в 30-х годах 20-го века, были Маскет, Шилсуиз, Херст, Тсейс и Дже- коб. Однако они не учитывали объемную упругость пласта. Наиболее пол- но теория упругого режима с учетом упругих свойств твердого скелета пласта и насыщающих жидкостей была разработана В.Н.Щелкачевым.

§2. Подсчет упругого запаса жидкости в пласте

Под упругим запасом жидкости в пласте понимают количество жид- кости, которое можно извлечь из пласта при снижении давления в нем за счет объемной упругости твердого скелета пласта и насыщающих его жид- костей. Хотя коэффициенты объемной упругой деформации жидкости и твердого скелета пласта очень малы (см. гл. XIX), очень велики объемы пласта, поэтому упругий запас жидкости в пласте может быть весьма су- щественным. При снижении давления в пласте упругий запас жидкости ес- тественно убывает, а при повышении давления происходит накопление уп- ругого запаса жидкости в нем.

Упругий запас жидкости в пласте можно подсчитать следующим об- разом. Выделим мысленно элемент объема пласта V0 . Пусть V0ж есть объ- ем жидкости, насыщающей этот элемент объема пласта V0 при начальном давлении p0 . Упругий запас жидкости будем определять по ее объему, за- меряемому при начальном пластовом давлении. Обозначим через ∆ Vз из- менение упругого запаса жидкости внутри объема пласта V0 при измене- нии давления во всех его точках на величину ∆ p . В соответствии с форму-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

лами (19.22) и (19.40), заменив дифференциалы давления и объемов пор и жидкости на конечные разности, имеем

− β жV0ж∆ p = ∆ Vж и β ÒV0∆ p = ∆ Vп .

Для дальнейшего использования этих формул необходимо внести некото- рые уточнения. При определении формулы для коэффициента объемного сжатия жидкости β ж считалось, что на жидкость действует только сжи- мающее гидростатическое давление, поэтому при увеличении давления (сжатие) объем жидкости уменьшается и, наоборот, при уменьшении дав- ления объем возрастает. В результате перед коэффициентом β ж стоит знак «минус». В случае упругого режима при падении давления в пласте объем жидкости уменьшается. Такое поведение жидкости обусловливается тем, что рассматривается жидкость в порах и, как следует из формулы для β c , при уменьшении давления объем пор уменьшается, а жидкость испытыва- ет сжимающее воздействие со стороны твердого скелета. Поэтому знак минус перед β ж опускается. Полагая, что изменение упругого запаса скла- дывается из ∆ Vж и ∆ Vп получаем:

m – пористость пласта.

Тогда формулу (23.1) с учетом равенства (23.2) можно переписать в

численно равен изменению упругого запаса жидкости в единице объема

пласта при изменении пластового давления в нем на единицу

β * = ∆ Vз .

V0∆ p

Если формулы (23.3) или (23.4) относить к разрабатываемому в усло- виях замкнуто-упругого режима нефтяному месторождению, то под V0 сле- дует понимать объем пласта, в котором к данному моменту времени про-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

изошло изменение давления на величину ∆ p , при этом, по определению, полагается что

вестна геометрия возмущенной части пласта и конкретное распределение давления в ней.

Дифференцируя равенство (23.4), получим d(∆ Vз) = β *d[V0( t) ∆ p] .

С другой стороны, изменение упругого запаса жидкости в пласте за время dt , равное объему отобранной из пласта нефти, дается выражением

d(∆ Vз) = Q( t) dt,

где Q(t) – дебит всех скважин, эксплуатирующих данную нефтяную за- лежь.

Приравняв правые части двух последних равенств, получим диффе- ренциальное уравнение истощения нефтяной залежи в условиях замкнуто- упругого режима

Полученное соотношение далее будет использоваться при построении приближенных решений теории упругого режима.

§3. Математическая модель неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде

Изучение гидродинамики упругого режима фильтрации имеет важ- нейшее значение как для теории, так и для практики разработки нефтяных и газовых месторождений. Знание этих основ позволяет в наиболее полной мере использовать упругий запас пластовых флюидов для обеспечения притока к скважинам, правильно определять потенциальные возможности упругой водонапорной системы для вытеснения флюидов, ставить и ре- шать так называемые обратные задачи определения коллекторских свойств пластов по наблюдениям за изменением дебитов или давлений и т.д. Как правило, при естественном упругом режиме добывается незначительная часть извлекаемых запасов (до 2–5%). Однако известны случаи, когда уп- ругий запас настолько велик, что позволяет отобрать гораздо больший

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

процент от извлекаемых запасов. Так, например, на крупнейшем месторож- дении Тенгиз при упругом режиме будет отобрано до 20% запасов нефти.

Для вывода основных дифференциальных уравнений фильтрации уп- ругой жидкости в упругой пористой среде необходимо воспользоваться уравнением неразрывности потока, уравнениями движения (законом Дар- си) и уравнениями состояния пористой среды и насыщающей ее жидкости. При этом воспользуемся математической моделью, описанной в главе XIX, c системой уравнений (19.8):

которая после пренебрежения массовыми силами и введения обобщенной функции Лейбензона, преобразуется к виду (19.21)

P= ∫ k(( p)) ρ ( p) dp.

µp

Вкачестве уравнений состояния среды и жидкости воспользуемся урав- нениями состояния упругой жидкости и упругой пористой среды в ранее полученной форме (19.24) и (19.42):

заметим, что, как показывают результаты лабораторных экспериментов, а также опыт разработки месторождений, в ряде случаев наряду с измене- нием пористости вследствие возникающих деформаций, происходят и из- менения проницаемости пластов. Особенно это относится к глубоко зале- гающим месторождениям углеводородов. Понятно, что данное обстоятель- ство не учитывается в рассматриваемой модели. Однако введение еще од- ного уравнения состояния k = k(m( p)) приведет к существенному услож- нению модели. Поэтому, несмотря на то, что развитию теории упругого

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

режима с учетом зависимости k = k(m( p)) посвящено большое число ис- следований, изложение этого раздела в более общей постановке заметно усложнило бы изложение, и авторы считают целесообразным, сохранив традиционный подход, рекомендовать читателям обратиться к посвящен- ным этому вопросу монографиям самостоятельно.

§4. Вывод дифференциального уравнения фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде по закону Дарси

Обратимся теперь к математической модели неустановившегося дви- жения упругого флюида, подчиняющегося закону Дарси, в деформируемой пористой среде (23.9) с уравнениями состояния (23.10) и (23.11) и при k = const, = const. Полная система уравнений имеет вид

Понятно, что все уравнения системы определяют математическую модель, но для постановки и решения задач в рамках модели желательно преобразовать уравнения и получить одно дифференциальное уравнение для одной искомой функции. Для этой цели рассмотрим первое уравнение

Теперь преобразуем выражение в левой части уравнения (23.12), для чего используем уравнения состояния упругой жидкости и упругой порис-

той среды (23.10) и (23.11)

ρ = ρ 0 [1 + β ж ( p − p0)] , m = m0 + β c ( p − p0) ,

и вычислим произведение mρ

mρ = m0 ρ 0 + (m0 ρ 0 β ж + ρ 0 β с)( p − p0) + ρ 0 β c β ж( p − p0) 2.

Последним слагаемым в правой части полученного выражения ввиду его малости по сравнению с двумя другими слагаемыми можно пренебречь

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

до 30·10–10 Па–1, а для пластовых вод диапазон изменения лежит в пределах

Подставив (23.13) и (23.15) в исходное дифференциальное уравне- ние (23.12), получим дифференциальное уравнение относительно давления

Уравнение (23.16) – основное дифференциальное уравнение теории упругого режима фильтрации. По предложению В.Н.Щелкачева, оно на- звано уравнением пьезопроводности. Дифференциальное уравнение пьезо- проводности относится к уравнениям типа уравнения теплопроводности (уравнения Фурье), которое является одним из основных уравнений мате- матической физики.

Коэффициент κ , характеризующий скорость перераспределения пла- стового давления при неустановившейся фильтрации упругой жидкости в

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

упругой пористой среде, В.Н.Щелкачев назвал коэффициентом пьезопро- водности пласта по аналогии с коэффициентом температуропроводности в уравнении теплопроводности.

где L, M, Т – соответственно, размерности длины, массы и времени. Наи- более часто встречающиеся в нефтепромысловой практике значения коэф- фициента пьезопроводности заключены в пределах от 0,1 до 5 м2/с.

Отметим, что уравнение пьезопроводности (23.16) применимо только для слабосжимаемой упругой жидкости, для которой β ж ( p − p0) << 1. Ес- ли же это условие не выполняется, то при переходе от (23.14) к (23.15) нельзя пренебрегать слагаемым с β ж . Данное обстоятельство приведет к тому, что дифференциальное уравнение значительно усложнится и ста- нет нелинейным.

§5. Одномерные фильтрационные потоки упругой жидкости. Точные решения уравнения пьезопроводности. Основная формула теории упругого режима

Рассмотрим наиболее простые точные решения уравнения пьезопроводности (23.16) для одномерных потоков.

5.1. Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток упругой жидкости

Случай 1. Приток к галерее, на которой поддерживается постоянное давление. Пусть в полубесконечном горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины В начальное пластовое давление всюду постоянно и равно pк . На галерее (при x = 0) давление мгновенно снижено до pг и в дальнейшем поддерживается постоянным (т.е. pг = const). В удаленных точках ( x → ∞ ) давление в любой момент времени остается равным pк .

При этих условиях в упругом (деформируемом) пласте образуется не- установившийся прямолинейно-параллельный поток упругой жидкости. Давление в любой точке потока x и в любой момент времени t можно оп- ределить, интегрируя уравнение пьезопроводности (23.17), которое для одномерного течения в декартовой системе координат запишется в виде:

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

482 ГЛАВА XXIII

Начальные и граничные условия, сформулированные выше и записан-

любой точке потока, в любой момент времени, то есть функции p(x, t) .

Используя анализ размерностей, покажем, что поставленная задача автомодельна, т. е. из аргументов, от которых зависит давление, можно со- ставить один безразмерный комплекс, от которого будет зависеть искомая функция p(x, t) .

Обозначим через P = ( p − pг ) ( pк − pг) безразмерное давление, ко-

В силу линейности дифференциального уравнения (23.19) для безраз- мерного давления Р имеем такое же уравнение, как и для размерного p ,

Используя правило дифференцирования сложных функций, частные производные по координате и времени можно выразить через производные по безразмерной (автомодельной) переменной. Выполняя дифференциро- вания, находим

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

которое должно быть решено при условиях (23.21). Для решения уравне-

где C1 – постоянная интегрирования.

Проинтегрировав (23.25) с учетом первого из условий (23.21), полу-

чим:

u

P = C1 ∫ e− u2 du.

0

Вторым условием (23.20) воспользуемся для нахождения константы интегрирования C1 . Устремим переменный верхний предел u в интеграле

к бесконечности и получим

∞

1 = C1 ∫ e− u2 du .

Интеграл (23.26) называется интегралом вероятности, является табу- лированной функцией, изменяющейся в пределах от 0 до 1 и имеет специ-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

484 ГЛАВА XXIII

альное обозначение

тановившемся прямолинейно-параллельном фильтрационном потоке упру- гой жидкости имеет вид

Типичные кривые распределения давления в различные моменты вре- мени в неустановившемся прямолинейно-параллельном потоке упругой жид- кости в галерее, пущенной в эксплуатацию с постоянным забойным давлением pг = const, приведены на рис. 23.1.

Рис. 23.1. Кривые распределения давле- ния в различные моменты времени в не- установившемся прямолинейно-парал- лельном потоке упругой жидкости при условии pг = const

Найдем дебит галереи Q. Будем считать положительным дебит, отби- раемый из галереи ( x = 0), когда поток движется против оси x и ∂ p∂ x > 0 . Согласно закону Дарси

где В, h – соответственно, ширина и толщина пласта. Продифференциро- вав выражение (23.27), получим

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts