Вот это значение является абсолютно точным.
Погрешности рассчитываются по стандартным формулам, о которых уже шла речь в этой статье.
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Ответ: ,
абсолютная погрешность: 
, относительная погрешность: 
.
Пример 9
Вычислить приближенное значение функции 
в точке 
с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.
Это пример для самостоятельного решения. Кто остановится подробнее на данном примере, тот обратит внимание на то, что погрешности вычислений получились весьма и весьма заметными. Это произошло по следующей причине: в предложенной задаче достаточно велики приращения
аргументов: 
.
Общая закономерность такова – чем больше эти приращения по абсолютной величине, тем ниже точность вычислений. Так, например, для похожей точки 
приращения будут
небольшими: 
, и точность приближенных вычислений получится очень высокой.
Данная особенность справедлива и для случая функции одной переменной (первая часть урока).
Пример 10 С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно
значение данного выражения:
.
Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.
Решение: Вычислим данное выражение приближенно с помощью полного дифференциала функции двух переменных:
.
Отличие от Примеров 8-9 состоит в том, что нам сначала необходимо составить функцию двух
переменных: 
.
Как составлена функция, думаю, всем интуитивно понятно.
Значение 4,9973 близко к «пятерке», поэтому: 
, 
.
Значение 0,9919 близко к «единице», следовательно, полагаем: 
, 
.
Вычислим значение функции в точке 
:
Дифференциал в точке |
найдем по формуле: |
Для этого вычислим частные производные первого порядка в точке 
. Производные здесь не самые простые, и следует быть аккуратным:
.
.
Полный дифференциал в точке 
:
Таким образом, приближенное значение данного выражения:
.
Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора: 2,998899527.
Найдем относительную погрешность вычислений:
.
Ответ: 
. 
.
Как иллюстрация к вышесказанному, в рассмотренной задаче приращения аргументов очень малы 
, и погрешность получилась фантастически мизерной.
Пример 11 С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно
значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.
.
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.
И заключительный простой пример:
Пример 12 С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно
значение функции 
, если 
. Решение смотрите ниже.
Еще раз обратите внимание на формулировки заданий урока, в различных примерах на практике формулировки могут быть разными, но это принципиально не меняет сути и алгоритма решения. Задачи вычислительной математики обычно не очень сложны, не очень интересны. Самое важное здесь - не допустить ошибку в обычных расчётах.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: Используем формулу: 
В данном случае: 
, 
, 
.
.
Таким образом: 
.
Ответ: 
.
Пример 4: Решение: Используем формулу: 
В данном случае: 
, 
, 
Таким образом: 
.
Вычислим более точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
193
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
.
Ответ: 
, абсолютная погрешность вычислений 
, относительная погрешность вычислений 
.
Пример 5: Решение: Используем формулу: 
.
В данном случае: 
, 
, 
.
Таким образом:
Ответ:
.
Пример 7: Решение: Используем формулу: 
.
В данном случае: 
, 
,
.
.
Таким образом: 
.
Ответ: 
.
Пример 9: Решение: Используем формулу: 
В данной задаче:
, 
, 
, 
, 
.
Вычислим частные производные первого порядка в точке (2; 1):
.
Полный дифференциал в точке (2; 1): 
.
Таким образом: 
.
С помощью калькулятора вычислим точное значение функции в данной точке:
Абсолютная погрешность:
.
Относительная погрешность:
.
Ответ: 
,
абсолютная погрешность: 
, относительная погрешность: 
.
Пример 11: Решение: С помощью полного дифференциала вычислим данное выражение приближенно:
.
В данной задаче:
, 
, 
, 
.
.
.
Вычислим частные производные первого порядка в точке (1; 1):
.
.
.
Полный дифференциал в точке (1; 1):
Таким образом, приближенное значение данного выражения:
.
Значение, вычисленное с помощью микрокалькулятора: 2,007045533.
Найдем относительную погрешность вычислений:
.
Ответ: 
, 
.
Пример 12: Решение: Используем формулу: 
.
В данной задаче: 
, 
, 
, 
, 
.
.
.
Вычислим частные производные первого порядка в точке (5; 0):
.
Полный дифференциал в точке (5; 0):
.
Таким образом:
.
Ответ: 
.
7.5. Частные производные функции трёх переменных
Продолжаем всеми любимую тему математического анализа – производные. В данной статье мы научимся находить частные производные функции трёх переменных: первые производные и вторые производные. Что необходимо знать и уметь для освоения материала? Не поверите, но, во-первых, нужно уметь находить «обычные» производные функции одной переменной – на высоком или хотя бы среднем уровне. Если с ними совсем туго, то начните с урока Производные функций одной переменной. Во-вторых, очень важно прочитать статью Частные производные функции двух переменных, осмыслить и прорешать если не все, то бОльшую часть примеров. Если это уже сделано, то пойдём уверенной походкой, будет интересно, даже удовольствие получите!
Методы и принципы нахождения частных производных функции трёх переменных на самом деле очень похожи на частные производные функции двух переменных. Функция двух переменных, напоминаю, имеет вид z = f(x; y), где «икс» и «игрек» – независимые переменные. Геометрически функция двух переменных представляет собой некоторую поверхность в нашем трёхмерном пространстве.
Функция трёх переменных имеет вид u = f(x; y; z), при этом переменные x; y; z называются
независимыми переменными или аргументами, а переменная u называется зависимой переменной или функцией. Например:
– это функция трёх переменных.
А теперь немного о фантастических фильмах и инопланетянах. Часто можно услышать о четырехмерном, пятимерном, десятимерном и т.д. пространствах. Чушь это или нет?
Ведь функция трёх переменных 
подразумевает тот факт, что все дела происходят в четырехмерном пространстве (действительно, переменных же четыре). График функции трёх переменных представляет собой так называемую гиперповерхность.
Представить её невозможно, поскольку мы живём в трехмерном пространстве (длина / ширина / высота). Чтобы вам со мной не было скучно, предлагаю викторину. Я задам несколько вопросов, а желающие могут попробовать на них ответить:
–Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина / ширина / высота)?
–Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни.
–Возможно ли путешествие в прошлое?
–Возможно ли путешествие в будущее?
–Существуют ли инопланетяне?
На любой вопрос можно выбрать один из четырёх ответов:
Да / Нет (наукой это запрещено) / Наукой это не запрещено / Не знаю Кто правильно ответит на все вопросы, тот, скорее всего, обладает некоторой вещью ☺.
Ответы на вопросы я постепенно буду выдавать по ходу урока, не пропускайте примеры! Собственно, полетели. И сразу хорошая новость: для функции трёх переменных справедливы правила дифференцирования и таблица производных. Именно поэтому вам необходимо хорошо управляться с «обычными» производными функций одной переменной. Отличий совсем немного!
Пример 1 Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных
Решение: Нетрудно догадаться, что для функции трёх переменных существуют три частных производных первого порядка, которые обозначаются следующим образом:
или 
– частная производная по «икс»;
или 
– частная производная по «игрек»;
или 
– частная производная по «зет».
В ходу больше обозначение со штрихом, но составители сборников и методичек в условиях задач очень любят использовать как раз громоздкие обозначения – так что не теряйтесь! Возможно, не все знают, как правильно читать вслух эти «страшные дроби с круглыми дэ»?
Пример: 
следует читать следующим образом: «частная производная дэ у по дэ икс».
Начнём с производной « у по икс»: 
. Когда мы находим частную производную по 
, то переменные 
и 
считаются константами (постоянными числами). А производная любой константы, как известно, равна нулю:
Сразу обратите внимание на подстрочный индекс 
– никто вам не запрещает помечать, что 
являются константами. Так даже удобнее, начинающим рекомендую использовать именно такую запись, меньше риск запутаться.
(1) Используем свойства линейности производной, в частности, выносим все константы за знак производной. Обратите внимание, что во втором слагаемом 
константу выносить не нужно:
так как «игрек» является константой, то 
– тоже константа. В слагаемом 
за знак производной вынесена «обычная» константа 8 и константа «зет».
(2) Находим простейшие производные, не забывая при этом, что 
– константы. Далее причесываем ответ.
Частная производная 
. Когда мы находим частную производную «у по игрек», то
переменные 
и 
считаются константами:
(1) Используем свойства линейности. И снова заметьте, что слагаемые |
, |
являются |
константами, а значит, за знак производной выносить ничего не нужно. |
|
|
(2) Находим производные, не забывая, что 
константы. Далее упрощаем ответ.
И, наконец, частная производная 
. Когда мы находим частную производную по «у по зет»,
то переменные 
и 
считаются константами:
Общее правило очевидно и незатейливо: «Когда мы находим частную производную по какойлибо независимой переменной, то две другие независимые переменные считаются константами».
При оформлении данных задач следует быть предельно внимательным, в частности, нельзя терять подстрочные индексы (которые указывают, по какой переменной проводится дифференцирование). Потеря индекса будет ГРУБЫМ НЕДОЧЁТОМ.
Пример 2 Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Рассмотренные два примера достаточно просты и, решив несколько подобных задачек, даже чайник приноровится расправляться с ними устно.
Для разгрузки вернемся к первому вопросу викторины: Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина / ширина / высота)?
Верный ответ: «Наукой это не запрещено». Вся фундаментальная математическая аксиоматика, теоремы, математический аппарат прекрасно и непротиворечиво работают в пространстве любой размерности. Не исключено, что где-нибудь во Вселенной существуют неподвластные нашему разуму гиперповерхности, например, четырёхмерная гиперповерхность, которая
задается функцией трех переменных 
. А может быть, гиперповерхности рядом с нами или даже мы находимся прямо в них, просто наше зрение, другие органы чувств и сознание способны на восприятие и осмысление только трёх измерений.
Вернемся к примерам. Помимо простейших Примеров 1-2 на практике встречаются задания, которые можно назвать небольшой головоломкой. Навёрстываем упущенное.
Пример 3 Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных и составить полный
дифференциал первого порядка
.
Решение: вроде бы тут «всё просто», но первое впечатление обманчиво. При нахождении частных производных многие будут гадать на кофейной гуще и ошибаться.
Разберём пример последовательно, чётко и понятно.
Начнём с частной производной по «икс». Когда мы находим частную производную по «икс», то переменные y, z считаются константами. Следовательно, показатель нашей функции yz – тоже константа. Для чайников рекомендую следующий приём решения: на черновике поменяйте константу yz на конкретное положительное целое число, например, на «пятерку». В результате получится функция одной переменной:
; или ещё можно записать так: 
.
Это степенная функция со сложным основанием (синусом). По правилу дифференцирования сложной функции:
Теперь вспоминаем, что
, таким образом: 
.
На чистовике, конечно, решение следует оформить так:
Находим частную производную по «игрек», тогда x, z считаются константами. Если «икс»
константа, то 
– тоже константа. На черновике проделываем тот же трюк: 
заменим, например, на 3, «зет» – заменим той же «пятёркой». В результате снова получается функция одной переменной:
.
Это показательная функция со сложным показателем. По правилу дифференцирования сложной функции:
.
Теперь вспоминаем нашу замену: 
.
Таким образом: 
На чистовике, понятно, оформление должно выглядеть, благообразно:
И зеркальный случай с частной производной по «зет» (x, y – константы):
При определенном опыте проведенный анализ можно проводить мысленно.
Выполняем вторую часть задания – составим дифференциал первого порядка. Это очень просто, по аналогии с функцией двух переменных, дифференциал первого порядка записывается по формуле:
В данном случае:
Пример 4 Найти частные производные первого порядка для функции трёх переменных
и составить полный дифференциал первого порядка.
Полное решение и ответ в конце урока. Если возникнут затруднения, используйте рассмотренный «чайниковский» алгоритм, он гарантированно должен помочь. И ещё полезный совет – не спешите. Такие примеры быстро не решаю даже я.
Отвлекаемся и разбираем второй вопрос викторины: «Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова?». То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни.
Верный ответ: Да. Причём, очень легко. Например, добавляем к (длине / ширине / высоте)
четвёртое измерение – время.
К рассмотренному четырехмерному пространству легко добавить пятое измерение, например: атмосферное давление. И так далее, и так далее, и так далее, сколько зададите измерений в своей модели – столько и будет. В широком смысле слова мы живём в многомерном пространстве.
Разберём еще пару типовых задач:
Пример 5
Найти частные производные первого порядка в точке M(2, 1, 0) для функции:
.
Решение: Задание в такой формулировке часто встречается на практике и предполагает выполнение следующих двух действий:
–нужно найти частные производные первого порядка;
–нужно вычислить значения частных производных 1-го порядка в точке M(2, 1, 0). Решаем:
(1) Перед нами сложная функция, и на первом шаге следует взять производную от арктангенса. При этом мы, по сути, невозмутимо используем табличную формулу производной арктангенса
.
По правилу дифференцирования сложной функции результат необходимо домножить на производную внутренней функции (вложения):
.
(2)Используем свойства линейности.
(3)И берём оставшиеся производные, не забывая, что y, z – константы.
По условию задания необходимо найти значение найденной частной производной
в точке M(2, 1, 0). Подставим координаты точки в найденную производную:
.
Преимуществом данного задания является тот факт, что другие частные производные находятся по очень похожей схеме:
200
