Sbor_z_u_m (1)
.pdf
Пример 2
Найти частные производные первого и второго порядка функции 
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
При определенном опыте частные производные из примеров №№1,2 будут решаться Вами устно.
Переходим к более сложным примерам.
Пример 3
Найти частные производные первого порядка функции 
. Проверить, что 
.
Записать полный дифференциал первого порядка 
. Решение: Находим частные производные первого порядка:
Обратите внимание на подстрочный индекс: |
, рядом с «иксом» не возбраняется в |
скобках записывать, что 
– константа. Данная пометка может быть очень полезна для начинающих, чтобы легче было ориентироваться в решении.
Дальнейшие комментарии:
(1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае 
и 
, а, значит, и их
произведение 
считается постоянным числом.
(2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни.
(1)Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является 
.
(2)Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно
использовать правило дифференцирования произведения 
.
(3) Не забываем, что 
– это сложная функция (хотя и простейшая из сложных).
Используем соответствующее правило: 
. Теперь находим смешанные производные второго порядка:
181
, значит, все вычисления выполнены верно.
Запишем полный дифференциал 
. В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах.
Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:
.
В данном случае:
То есть, в формулу нужно просто подставить уже найденные частные производные первого
порядка. Значки дифференциалов 
и 
в этой и похожих ситуациях по возможности лучше записывать в числителях:
Пример 4
Найти частные производные первого порядка функции 
. Проверить, что
. Записать полный дифференциал первого порядка 
.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.
Рассмотрим серию примеров, включающих в себя сложные функции.
Пример 5
Найти частные производные первого порядка функции 
.
Записать полный дифференциал 
. Решение:
(1) Применяем правило дифференцирования сложной функции 
. С урока Производная сложной функции следует помнить очень важный момент: когда мы по таблице
превращаем синус (внешнюю функцию) в косинус, то вложение |
(внутренняя функция) у |
нас не меняется. |
|
|
182 |
(2) Здесь используем свойство корней: 
, выносим константу 
за знак производной, а корень 
представляем в нужном для дифференцирования виде.
Аналогично:
Запишем полный дифференциал первого
порядка:
Пример 6
Найти частные производные первого порядка функции 
.
Записать полный дифференциал 
.
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации.
Пример 7
Найти частные производные первого порядка функции 
.
(1)Используем правило дифференцирования суммы.
(2)Первое слагаемое в данном случае считается константой, поскольку в выражении 
нет ничего, зависящего от «икс» – только «игреки».
(Знаете, всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль).
Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования произведения. Кстати, в
алгоритме ничего бы не изменилось, если бы вместо 
была дана функция 
– важно, что здесь мы имеем произведение двух функций, КАЖДАЯ из которых зависит от
«икс», поэтому нужно использовать правило дифференцирования произведения. Для третьего слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции.
Найдем теперь частную производную по y:
183
(1) В первом слагаемом и в числителе и в знаменателе содержится «игрек», следовательно,
нужно использовать правило дифференцирования частного: 
. Второе слагаемое
зависит ТОЛЬКО от «икс», значит, 
считается константой и превращается в ноль. Для третьего слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции.
Для тех читателей, которые мужественно добрались почти до конца урока, расскажу старый мехматовский анекдот для разрядки.
Однажды в пространстве функций появилась злобная производная и как пошла всех дифференцировать. Все функции разбегаются кто куда, никому не хочется превращаться! И только одна функция никуда не убегает. Подходит к ней производная и спрашивает:
–А почему это ты от меня никуда не убегаешь?
–Ха. А мне всё равно, ведь я «е в степени икс», и ты со мной ничего не сделаешь! На что злобная производная с коварной улыбкой отвечает:
–Вот здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую по «игрек», так что быть тебе нулем.
(Кто понял анекдот, тот освоил производные, минимум, на «тройку»).
Пример 8
Найти частные производные первого порядка функции 
. Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.
Пример 9
Дана функция двух переменных 
. Найти все частные производные первого и второго порядков.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления где-то рядом.
Решения и ответы:
Пример 2:
, 
, 
,
Пример 4: Ссылка для просмотра ниже.
Пример 6:
184
, 
,
7.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
Рассмотрим широко распространенную задачу о приближенном вычислении значения функции с помощью дифференциала.
Здесь и далее речь пойдёт о дифференциалах первого порядка, для краткости часто будем говорить просто «дифференциал». Задача о приближенных вычислениях с помощью дифференциала обладает жёстким алгоритмом решения, и, следовательно, особых трудностей возникнуть не должно. Единственное, есть небольшие подводные камни, которые тоже будут подчищены. Так что смело ныряйте головой вниз.
Кроме того, в разделе присутствуют формулы нахождения абсолютной и относительной погрешностей вычислений. Материал очень полезный, поскольку погрешности приходится рассчитывать и в других задачах.
Для успешного освоения примеров необходимо уметь находить производные функций хотя бы на среднем уровне, поэтому если с дифференцированием совсем нелады, пожалуйста, начните с
нахождения производной в точке и с нахождения дифференциала в точке. Из технических средств потребуется микрокалькулятор с различными математическими функциями. Можно использовать возможности MS Excel, но в данном случае он менее удобен.
Урок состоит из двух частей:
–Приближенные вычисления с помощью дифференциала значения функции одной переменной в точке.
–Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала значения функции двух переменных в точке.
Рассматриваемое задание тесно связано с понятием дифференциала, но, поскольку урока о смысле производной и дифференциала у нас пока нет, ограничимся формальным рассмотрением примеров, чего вполне достаточно, чтобы научиться их решать.
Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной
В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через y или через f(x). Для данной задачи намного удобнее использовать второе обозначение. Сразу перейдем к популярному примеру, который часто встречается на практике:
Пример 1
Вычислить приближенно 
, заменяя приращения функции ее дифференциалом. Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала:
Начинаем разбираться, здесь всё просто!
На первом этапе необходимо составить функцию 
. По условию предложено вычислить кубический корень из числа: 
, поэтому соответствующая функция имеет вид: 
.
Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение 
.
185
, и в голову приходит мысль,
. Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе:
– получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения.
.
), возьмите ближайшую целую
). В результате и будет выполнен нужный подбор x
.
.
.
– эту формулу тоже можете переписать к себе в тетрадь. Из формулы следует, что нужно взять первую производную:
.
, заменяя приращения функции ее дифференциалом.
на микрокалькуляторе, чтобы выяснить, какое число принять за 
в точке 
с помощью дифференциала»
. Вычислим значение функции в точке 
, или, то же самое:
с помощью дифференциала. Вычислим точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
, строго говоря, значение всё равно приближенное, но мы будем считать его точным. Такие уж задачи встречаются.
, получены тысячные доли процента, таким образом, дифференциал обеспечил просто отличное приближение.
, абсолютная погрешность вычислений 
, относительная
. Следующий пример для самостоятельного решения:
в
. Вычислить более точное значение функции в данной точке, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.
; в точке
.
, результат округлить до двух знаков после запятой.
и т. д.
Записываем очевидную функцию 
нужно представить в виде 
. Серьёзную помощь окажет 
. Таким образом: 
.
. По формуле перевода градусов в радианы: 
(формулы можно найти в той же таблице). Дальнейшее шаблонно:
.
(при вычислениях используем значение 
). Результат, как и требовалось по условию, округлён до двух знаков после запятой.
, результат округлить до трёх знаков после запятой.
. Применительно к рассматриваемому заданию удобнее использовать эквивалентное
.
в точке 
с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность. 
. А вот и рабочая формула:
.
. Здесь, очевидно:
, 
, что верно при:
, 
.
:
.
:
:
: