2. Алгебра, теория чисел и числовые системы

1. Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Группа, примеры групп. Единственность единичного элемента. Единственность элемента, обратного данному. Подгруппа, примеры подгрупп, признак подгруппы. Гомоморфное и изоморфное отображения одной группы в другую, примеры. Свойства гомоморфного и изоморфного отображений группы. /8/ стр.4-27, /3/ стр. 390-398, /6/ стр.846-853, /10/ стр. 121-135.

2. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Кольцо, примеры колец. Простейшие свойства: умножение на нулевой элемент, на разность элементов, правила знаков. Подкольцо, примеры подколец, признак подкольца. Гомоморфное и изоморфное отображения одного кольца в другое, примеры. Свойства гомоморфного отображения кольца. /8/ стр.50-60, /6/ стр. 104-111, /3/ стр. 370-375, 281-285, /10/ стр.136-143, 161-163.

3. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел в кольце целых чисел. Ввести понятие делимости чисел. Сформулировать простейшие свойства делимости. Сформулировать и доказать теорему о делении с остатком. Дать определения НОД и НОК двух чисел. Рассмотреть алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя. Установить формулу, связывающую НОД и НОК. /6/ стр.139-141, 372-376, /1/ стр.15-20, 33-43 или /8/ стр.33-36, /2/ стр.5-7, 8-19.

4. Поле. Простейшие свойства поля. Поле комплексных чисел.Поле, примеры полей. Существование и единственность нуля, единицы, элемента, противоположного данному, элемента, обратного ненулевому. Отсутствие делителей нуля. Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, ее единственность, действия над комплексными числами в алгебраической форме. /10/ стр.143-148, /3/ стр.226-269, 276-279, /6/ стр.116-118.

5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. /6/ стр.157-169, /3/ стр.110-122.

6. Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Векторное пространство над полем, примеры, свойства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис конечной системы векторов, его существование. Доказать, что любые два базиса конечной системы векторов состоят из одинакового числа векторов. Ранг конечной системы векторов./8/ стр.72-76, /6/ стр.174-184, /3/ стр.134-187, 69,70. /7/ стр.77-83, 87-88, /10/ стр.232-238.

7. Равносильные системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных. Система линейных уравнений. Решение системы. Равносильные системы. Элементарные преобразования систем. Критерий совместности систем линейных уравнений /с доказательством/. Критерий определенности. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных методом Гаусса (на примере). /6/ стр.185-188, 191-196, 206-208, /7/ стр.18-61, 99-102, /10/ стр. 221-280, 251-260.

8. Конечномерное векторное пространство. Базис и размерность. Подпространства. Изоморфизм векторных пространств.Конечномерное векторное пространство над полем. Примеры. Базис векторного пространства. Доказать, что любые два базиса конечномерного векторного пространства состоят из одинакового числа векторов. Размерность конечномерного векторного пространства. Подпространства. Изоморфизм векторных пространств. Теорема об изоморфизме конечномерных векторных пространств. /6/ стр.250-252, 256-258, 260-261, 165-269, /3/ стр.187-191, 201-202, /8/ стр.79-86, 91-93, 96-99, /10/ стр. 336-340, 345-360.

9. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность. Простые и составные натуральные числа. Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел. Основная теорема арифметики. Каноническая форма натурального числа. /6/ стр.365-367, 369-371, /5/ стр. 31-34, 246-247, /2/ стр.20-25, /1/ стр.25-26.

10. Основные свойства сравнений. Полная и приведенная системы вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма. Числовые сравнения, основные свойства (2-3 свойства с доказательством). Классы чисел, взаимно простых с модулем. Приведенная система вычетов, пример. Теоремы Эйлера и Ферма. /1/ стр. 66-72, 81-83, 35-36, 92-94, /5/ стр.36-42, 47-51, 57-59, /6/ стр.397-400, 402-408, /2/ стр.124-127, 130-131, 135-136, 142.

11. Многочлены над полем. Наибольший общий делитель двух многочленов и алгоритм Евклида. Многочлены над полем и операции над ними. Кольцо многочленов. Отношение делимости в кольце многочленов. НОД двух многочленов и алгоритм Евклида. /6/ стр.459.-460, 471-479, /3/ стр.130-142, 290-294, /11/ стр.5-12, 33-43, 48-52.

12. Разложение многочлена в произведение неприводимых множителей и его единственность.Неприводимые многочлены над данным полем. Примеры. Свойства неприводимых многочленов (два-три доказать). Разложение многочлена в произведение неприводимых множителей и его единственность. /6/ стр.459.-460, 471-479, /3/ стр.130-142, 290-294, /11/ стр.5-12, 33-43, 48-52.

13. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел (без доказательства). Многочлены, неприводимые над полем комплексных чисел. Разложение многочлена с комплексными коэффициентами в произведение неприводимых множителей. Сопряженность мнимых корней многочлена над полем действительных чисел. Многочлены, неприводимые над полем действительных чисел. /6/ стр.510-511, 513-514, /3/ стр. 156-157, 159-161, /11/ стр. 117-125.

14. Строение простого алгебраического расширения поля. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби. Дать определение простого алгебраического расширения поля. Сформулировать и доказать теорему о строении простого алгебраического расширения поля. Привести пример использования этой теоремы в элементарной математике. /6/ стр.523-532, /4/ стр.196, 200-202.

15. Аксиоматическая теория натуральных чисел. Роль аксиом индукции в арифметике. Содержательная аксиоматическая теория натуральных чисел. Независимость аксиомы индукции. Роль аксиомы индукции в обосновании теории неравенств, теории делимости и свойств арифметических действий. /9/ стр. 52-56, 68-72.

16. Аксиоматическая теория действительных чисел. Построение модели. Свойства действительных чисел. Теорема о существовании корня.Первичные термины и аксиомы системы действительных чисел- линейно и архимедовски упорядоченное поле, всякая фундаментальная последовательность которого сходится. Аксиомы Арихимеда и Кантора. Свойства действительных чисел. Теорема о существовании корня. /9/ стр. 126-128.