Оценка «неудовлетворительно»

Актуальность темы слабо аргументирована. Цели и задачи работы сформулированы неправильно. Структура работы не соответствует целям и задачам. Цель и задачи работы не достигнуты.

В оформлении работы имеют место грубые недостатки. Неудовлетворительно оформлен список литературы, отсутствуют ссылки на источники, наблюдается буквальное переписывание источников, использованных в работе.

Автор не владеет методами исследования, не умеет анализировать и обобщать факты. Изложение носит сугубо репродуктивный характер, собственные результаты автора отсутствуют. Выводы и предложения не обоснованы.

Автор смутно представляет суть своей проблемы, испытывает затруднения при ответах на вопросы.

7. Программа итогового междисциплинарного экзамена по направлению подготовки Перечень вопросов, выносимых для проверки на итоговом междисциплинарном экзамене по направлению подготовки

1. Математический анализ, теория функций действительного переменного, теория функций комплексного переменного, дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными

1. Мощность множества. Счетные множества. Несчетность множества действительных чисел. Рассказать о способах сравнения конечных и бесконечных множеств. Раскрыть понятия эквивалентности множеств и сравнения множеств по мощности. Дать определение счетного множества. Привести примеры счетных множеств. Доказать, что множество действительных чисел несчетно. /1/гл.1,§ 2,пп.1,2,3,4,5,/2/ гл.1, §§ 2,3,4,5.

2. Отображения множеств (функции). Предел и непрерывность функции в точке. Раскрыть понятие отображения и понятие действительной функции действительной переменной. Привести примеры. Сформулировать различные определения предела функции в точке и непрерывности в точке. Доказать, что данное число является пределом функции в заданной точке (пример подобрать самостоятельно). Доказать эквивалентность определения предела по Коши и по Гейне. /3/ пп.17,19,23,25,32,33,60,/4/ гл. 4, §§1,4, /6/ §3, /10 / № 4, 49, 190, 191, 270, 272, 281, 282, 296, 309, 321, 223, 226, 221.

3. Основные свойства непрерывных функций на отрезке. Дать определение функции, непрерывной на отрезке. Сформулировать теоремы о свойствах функции, непрерывной на отрезке: теорему об обращении функции в нуль, теорему о промежуточном значении, теорему о достижении наибольшего и наименьшего значений, теорему о существовании обратной функции. Указать, где используются эти свойства в школьном курсе математики. Раскрыть геометрический смысл каждой из этих теорем. Доказать одну из них. /3/ пп.68,79,71-75,/4/ гл 4, §§ 5,6,/5/ том 1, §§ 51,52,53,/6/ п.14, /10/ № 240.

4. Предел числовой последовательности. Существование точной верхней границы ограниченного сверху множества. Теорема о пределе монотонной последовательности.Дать определение предела числовой последовательности и раскрыть геометрический смысл этого понятия. Привести примеры сходящихся и расходящихся последовательностей. Сформулировать теорему о единственности предела. Дать определение ограниченного множества и сформулировать предложение о существовании точной верхней границы. Сформулировать и доказать теорему о пределе монотонной последовательности. Ввести числое./3/ пп.6,27,28,36,44 /4/ гл. 3, §§1,6 /5/том 1, §§10,25-27,35 /6/ §2 /10/ №№ 178,184,246,252.

5. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Необходимый и достаточный признак сходимости последовательности.Сформулировать теорему об ограниченности сходящейся последовательности. Привести пример, показывающий, что обратное утверждение не имеет места. Сформулировать и доказать теорему Больцано-Вейерштрасса об ограниченных последовательностях. Сформулировать необходимый и достаточный признак сходимости последовательности (критерий Коши). /3/ пп. 51,52 /4/ гл.3, §9, гл.20, §6 /5/ том 1, §35.

6. Степенная функция с натуральным, целым, рациональным и действительным показателем. Дать определения степени с натуральным, целым, рациональным и действительным показателем. Ввести понятие степенной функции, сформулировать ее основные свойства (непрерывность, монотонность, существование экстремумов, выпуклость, наличие асимптот и др.) и раскрыть их геометрический смысл. Некоторые из этих свойств доказать (можно пользоваться аппаратом дифференциального исчисления). /3/ пп. 22 /4/ гл.4, §§ 6,8,9 гл.24 §7. /5/ том 1, §§22,57 /7/ §10 пп. 28-30, /6/ §17, п.68.

7. Показательная функция. Ее основные свойства. Разложение в степенной ряд. Определить показательную функцию. Сформулировать основные свойства (непрерывность, монотонность, отсутствие экстремумов, выпуклость, наличие асимптот, область значений и др.) и раскрыть их геометрический смысл. Некоторые из этих свойств доказать (можно пользоваться аппаратом дифференциального исчисления). Разложить функцию в степенной ряд. /3/ пп. 22,108,253, /4/ гл.2, §6, гл.4 §9, гл.22 §3 /5/ том 1, §§22,55 /7/ §10, пп.27,28, §§11,12, /6/ §15,63, §10, п.65 /10/ №129.

8. Логарифмическая функция, ее основные свойства. Разложение в степенной ряд. Дать определение логарифмической функции действительного аргумента, как функции, обратной показательной. Сформулировать основные свойства этой функции (монотонность, отсутствие экстремумов, выпуклость, наличие асимптот, область значений и др.) и раскрыть их геометрический смысл. Доказать некоторые из этих свойств (при этом можно пользоваться аппаратом дифференциального исчисления). Разложить логарифмическую функцию в степенной ряд. /3/ пп.22, 108, 256, /4/ гл.2, §6, гл.4, §9, гл.22, §4, гл.24, §§6,8, /5/ том 1, §§22,56, /7/ §13, /6/ §15, п.64, §16, п.67, /8/ гл.4 §5, гл.5, § /9/ гл.6, §2, /10/ №138.

9. Тригонометрические функции, их основные свойства. Разложение синуса и косинуса в степенной ряд. Дать определение тригонометрических функций: синуса, косинуса и тангенса. Сформулировать основные свойства этих функций (периодичность, непрерывность, монотонность, наличие асимптот, область значений и др.) и раскрыть их геометрический смысл. Доказать некоторые из этих свойств (при этом можно пользоваться аппаратом дифференциального исчисления). Разложить синус и косинус в степенной ряд. /3/ пп. 22,108,253, /4/ гл.2 §§3,6, гл. 24 §§2,4, /5/ том 1 §§22,58, /6/ §§7,8,10,11.

10. Дифференцируемые функции одной и нескольких переменных. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования. Дать понятие дифференцируемой функции одной переменной и ее производной. Установить механический и геометрический смысл производной. Дать определение дифференцируемости функции нескольких переменных и частной производной. Сформулировать правила дифференцирования суммы, произведения, частного, сложной функции и обратной функции одной переменной. Доказать хотя бы одно из этих свойств. /3/ пп.78,79,80,82,83,84,142, /4/ гл. 5 §§1,2,3,5, гл.15 §5, /5/ том 1 §§61-64,66-68, /6/ §§4,5 /10/ №№441,455,667-680,907.

11. Теорема Лагранжа. Условия постоянства и монотонности функции на промежутке. Выпуклые кривые. Сформулировать и доказать теорему Лагранжа. Раскрыть ее геометрический смысл. Так как доказательство теоремы Лагранжа опирается на теорему Ролля, то обязательно знать содержание этой теоремы. Сформулировать теорему о необходимом и достаточном условии постоянства функции и теорему о достаточном условии строгой монотонности функции на промежутке. Показать, что условие это не является необходимым. Дать понятие кривой, выпуклой на промежутке. Сформулировать теорему об условии выпуклости кривой. /3/ пп. 102,110,11,214, /4/ гл. 6 §1, гл.7 §§1,4, /5/ том 1 §§75,79,82 /6/ §6 п.25, /10/ №№1131,1144,1152.

12. Экстремумы и точки перегиба.Дать определения максимума и минимума функции одной переменной, а также точек минимума и максимума. Раскрыть геометрический смысл этих понятий. Сформулировать и доказать теорему о необходимом условии экстремума. Показать, что это условие не является достаточным. Сформулировать достаточное условие экстремума: по характеру изменения знака первой производной и по знаку второй производной. Один из этих признаков доказать. Привести пример на отыскание экстремума. Ввести понятие точки перегиба кривой. Сформулировать правило отыскание точек перегиба. /3/ пп.112.,113,114,118, 214, /4/ гл.7 §§2,4, /5/ том 1, §§81,82, /6/ пп.26-28, /10/ №№1166,1186,1208.

13. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование по частям и подстановкой.Ввести понятие первообразной функции. Привести примеры. Знать, что всякая непрерывная в данном промежутке функция имеет первообразную. Описать множество всех первообразных данной функции. Доказать, что если функция имеет первообразную, то это множество состоит из тех и только тех функций, которые отличаются от данной первообразной на постоянное слагаемое. Ввести понятие неопределенного интеграла. Раскрыть связь между операциями интегрирования и дифференцирования. Сформулировать простейшие правила интегрирования. Привести примеры интегрирования по частям. /3/ пп.155, 156, 157, 158, 160, 162, /4/ гл.8 §§ 1-5, /5/ том 1, §§ 85-89, /6/ §13, /10/ №№1676 -1700, 1720, 1723, 1726, 1832, 1837, 1870-1877.

14. Определенный интеграл и его свойства. Интегрируемость непрерывной функции.Дать определение определенного интеграла через интегральные суммы и через приращение первообразной. Какой из этих подходов предпочтительней в средней школе? Установить их геометрический смысл. Сформулировать необходимое условие существования определенного интеграла и его основные свойства. Ввести понятие сумм Дарбу и перечислить их основные свойства. Сформулировать необходимое и достаточное условия интегрируемости функции (с использованием сумм Дарбу). Знать определение равномерной непрерывности и формулировку теоремы Кантора. Доказать, что всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем. /3/ пп.175-179, 74, 75, 184, 189, /4/ гл.9 §§1-3, /5/ том 1, §§93,95, 96, 98, 105,/6/ № 14.

15. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.Рассмотреть определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Доказать, что если подынтегральная функция непрерывна, то производная по верхнему пределу равна подынтегральной функции. Вывести формулу Ньютона-Лейбница. Показать на примере применение этой формулы. /3/ пп.183, 185, /4/ гл.9 §§5,7, /5/ том 1, §§100, 101, /6/ §14, п.60, /10/ №№ 2231,2234.

16. Геометрические приложения определенного интеграла.Ввести понятие квадрируемой фигуры, кубируемого тела, спрямляемой дуги кривой. Обосновать вычисление площади квадрируемой фигуры и объема тела вращения с помощью определенного интеграла. Привести примеры. /3/ пп.193-198, 205, /4/ гл.10 §§ 1,4,5, /5/ том 1, §§109, 112, 113 /6/ §14, пп.59-60, /10/ №№ 2455, 2460, 2555, 2559, 2594, 2595. Вывести формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной в декартовых координатах. /3/ пп.199, 201, /4/ гл.10 §§2,3, /5/ том 1, §110, /10/ том 2, §§ 1, 4, 7, №№2771-2780.

17. Числовые ряды. Признаки сходимости положительных рядов.Ввести понятие числового ряда и его суммы. Сформулировать необходимое условие сходимости числового ряда, а также признак сравнения положительных рядов. Доказать признак сходимости Даламбера. Сформулировать интегральный признак сходимости. /3/ пп. 234-237, 239, 241, /4/ гл.20 §§1-5, /5/ том 2, §§1, 4, 7, /10/ №№2771-2780.

18. Знакочередующиеся ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.Ввести понятие знакочередующегося ряда. Доказать теорему Лейбница. Ввести понятия абсолютно и условно сходящихся рядов. Привести примеры. Сформулировать свойства абсолютно сходящихся рядов (сочетательное, переместительное). Сформулировать теорему Римана для условно сходящихся рядов. /3/ пп. 242-247, /10/ №№ 2790-2793.

19. Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд.Ввести понятие формулы Тейлора и ее остаточного члена. Раскрыть смысл разложения функции в степенной ряд. Сформулировать необходимое и достаточное условия разложимости функции в степенной ряд (ряд Тейлора). Вывести ряд Тейлора для функции (x+a)^α­и найти радиус его сходимости. Формула бинома Ньютона. /3/ пп.105, 106, 252, 258, /4/ гл.6 §3, гл. 22, §§1, 5, /5/ том 2, §§ 16, 18-21.

20. Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества.Ввести понятие метрического пространства. Привести примеры метрических пространств. Среди примеров обязательно рассмотреть пространство непрерывных на отрезке действительных функций. Ввести понятия замкнутого и открытого множества метрического пространства. Привести примеры. Сформулировать свойства. Доказать, что множество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение до всего метрического пространства замкнуто. /1/ гл. 2 §§ 1,2, /2/ гл.3 §§ 1,3.

21. Полные метрические пространства.Ввести понятия сходящихся и фундаментальных последовательностей в произвольном метрическом пространстве. Раскрыть существующую между этими понятиями связь. Дать определение полного метрического пространства. Привести примеры полных метрических пространств. Доказать полноту пространстваC_[a,b]. /1/ гл. 2 § 3, /2/ гл. 3 §§ 1,2.

22. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения.Ввести понятия дифференциального уравнения первого порядка, его решения, общего решения и частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Дать этим понятиям геометрическое истолкование. Сформулировать теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка. Записать общий вид дифференциального уравнения с разделяющимися переменными и рассказать об общем методе его решения. Привести пример. Ввести понятие линейного дифференциального уравнения первого порядка и рассказать о методах его решения. Привести пример. /4/ гл.25, §§ 1-3, 5,7, /5/ том 2, §§ 81,84,85,87, /6/ § 16, п. 66, /10/ №№3913-3916, 3965-3967.

23. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Ввести понятия линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и его характеристического уравнения. Рассмотреть различные случаи решения дифференциального уравнения в зависимости от особенностей корней характеристического уравнения. Привести примеры. /4/ гл. 27 §4, /5/ том 2, §99, /6/ §11, п. 50 /10/ №№4255,4256, 4259, 4262.

24. Теорема Банаха о сжимающем отображении и ее приложения. Дать определение сжимающего отображения. Сформулировать и доказать теорему Банаха. Объяснить ее применение при решении уравнений.