29. Исследование функции спроса на товар, имеющих цену х.

Когда по мере роста дохода спрос на данную группу товаров возрастает все более высокими темпам- выпуклая кривая спроса. Если рост значений спроса (потребления), начиная с определенного момента по мере насыщения спроса, отстает от роста дохода, то графически связь между этими показателями выражается вогнутой кривой.

30. Функции нескольких переменных. Определение: Переменная z (с областью изменения Z) называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М, если каждой паре (х,у) из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение N M-область определения функции N-область значения М=Е, N=D (элептический параболоит z=x^2+y^2) 31. Однородные функции. Однородная функция степени q — числовая функция такая, что для любого и выполняется равенство:причём q называют порядком однородности. Различают также положительно однородные функции, для которых равенство * выполняется только для положительных и абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство Св-ва1 Если функция f является многочленом от n переменных, то она будет однородной функцией степени q в том и только в том случае, когда f — однородный многочлен степени , в частности в этом случае q должно быть целым.2 Однородная функция в нуле равна нулю, если она там определена 3 Лемма Эйлера. Однородные функции пропорциональны скалярному произведению своего градиента на вектор своих переменных с коэффициентом равным порядку однородности:

32. Частные производные и дифференциалы.  Частная производная отличается от производной тем, что при нахождении частной производной другая переменная становится постоянной.

Опр. Частное производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю. Опр. Частным дифференциалом по х функции называется главная часть частного приращения Δx, пропорциональная приращению Δx независимой переменной х. 33. Градиент. Производная по направлению.  Опр. Пусть дана функция z=f(x,y) и вектор S с координатами {cos и cos} тогда предел отношения приращении функции z к S, при S→0 производной функции z=f(x,y) по направлению вектора S и обозначается z деленный наS, т.е. limz/S=z /S =z/x cos + z/y cos, где , cos и cos- направляющие косинусы вектора S Градиентом функции u=u(x,y) называется Вектор координаты которого равны соответственно частным производным и обозначаются Свойства градиента:

1. Градиент показывает наиболее быстрого изменения функции.

2. Градиент в данной точке всегда перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.

3. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к градиенту равна нулю.

34. Понятие об экстремуме функций нескольких переменных. Условный экстремум. Определение

1. точка M0(x0, y0) называется точкой максимума функции f(x, y); если f(x0,y0)>f(x,y) для всех точек (x,y) из некоторой окрестности точки М0.

2. точка M0(x0, y0) называется точкой минимуму функции f(x, y); если f(x0,y0)<f(x,y)

Если М0 точка экстремума функции, то в этой точке все производные первого порядка равны 0, или хотя бы одна из них не существует.

Теорема(дост. условие экстремума) Пусть в некоторой окрестности точки М0(x0,y0), являющимся стационарной точкой функции x= f (x,y) эта функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно.

Тогда:

1. f (x,y) имеет в т.М0 максимум, если АС-В^2>0, A<0

2. f (x,y) имеет в т.М0 минимум, если АС-В^2>0, A>0

3. экстремум в критической точке отсутствует, если АС-В^2<0

4. если АС-В^2=0, необходимо дополнительное исследование.

Экстремум функций z= f (x,y) при выполнении условий gi(x,y) называется условным экстремумом.

Способы

1. из уравнения связи выражаем одну переменную и поставляем в другую

2. методом Лагранжа. L(x,y,)=f(x,y)+g(x,y)

35. Приложения функций нескольких переменных в экономике. значит. часть экономич. механизмов иллюстрируются на рисунках, изображающих линии уровня ф-ции двух переменных z=f(x,y). Например, линии уровня производственной ф-ции называются изоквантами. Изокванты позволяют геометрически иллюстрировать решение задачи об оптимальном распределении ресурсов. Пусть z=f(x,y) – ф-ция издержек, хар-ая затраты, необходимые для обеспечения значений ресурсов х и у. комбинации линий уровня ф-ции f(x) и g(x) позволяют делать выводы о предпочтительности того или иного значения факторов х и у. например, пара значений (х1,у1) более предпочтительнее, чем пара (х2,у2), т.к. обеспечивает тот же выпуск, но с меньшими затратами.