13. Замечательные пределы.

Первый замечательный предел называется отношением синуса малой дуги к величине этой дуги, выраженный в радианах, когда последний стремится к нулю.1) lim(x0)sin/x=1 Предел последовательности 1+(1/n)^n при n→∞ называется вторым замечательным пределом. Этот предел равен числу е.lim(n)(1+1/х)^х=e lim(n0)(1+x)^1/x=e Другие замечательные пределы.

14. Производная функции в точке. Таблица производных основных функций. Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если он существует.Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке. Если предел бесконечен, то говорят, что производная бесконечна в данной точке. Если же предел не существует, то и производная функции в этой точке не существует.

Обозначается .Док-во:y=2x F(x+x)=2(x+x)

y'=lim(x→0) (f(x+x)-f(x))/x= lim(x→0) (2(x+x)-2x)/x= lim(x→0) (2x+2x-2x)/x= lim(x→0) 2x/x= lim(x→0) 2=2

15. Дифференцируемость и непрерывность. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение у в этой точке можно представить в виде: y=Ax+x y/x=A+ Теорема (дифференцируемость и непрерывность). Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в произвольной точке x0, т.е. имеет в этой точке производную f ' (x0). Запишем приращение функции ∆y точке x0:∆y =(x0) ∆ x +∆ x, где→0 при ∆ x→0 (см. доказательство теоремы 6.1). Пусть теперь ∆ x→0. Тогда, очевидно, и ∆y→0.  Но это и означает, что функция y=f(x) непрерывна в точке x0. Теорема доказана. 16. Геометрический, физический и экономический смысл производной. Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. Физический смысл производной: функции f(t),где t-время, а f(t) – мгновенная скорость движения. Экономический смысл зависит от вида экономической деятельности. Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач используется понятие эластичности функции. Определение: эластичность функции называется предел отношения относительного прироста функции к относительному приросту переменной. Свойства эластичности функции: 1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной на темп изменения функции Ту = (ln y) '2. Эластичность произведения (доли) двух функций равен сумме (разности) эластичности этих функций: 17. Правила дифференцирования. 18. Инвариантность формы дифференциала. Теорема. Дифференциал сложной функции y=f(x), для которой x=(t), имеет такой же вид, dy=f(x)dx, как и в том случае, когда аргумент x является независимой переменной. Это свойство называется – инвариантность формы дифференциала. Док-во Если x является независимой переменной, то дифференциал функции y=f(x) можно записать так: dy=f(x)dx. Покажем, что эта форма сохраняется и в случае, если x является не независимой переменной, а функцией. Действительно, пусть y=f(x) и x=(t), то есть y – сложная функция от t: y=f[(t)]. Тогда, dy=ytdt. По правилу дифференцирования сложной функции: yt=yx× xt. Отсюда, dy=yx× xtdt=yxdx=f(x)dx. 19. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом функции называется линейная часть приращения функции относительно приращения аргумента. Дифференциал второго порядка – это дифференциал первого порядка. dⁿy =d(dⁿ⁻¹y) Дифференциал второго порядка d²y=d(dy)=d(f'(x)dx)=d(f'(x))dx=(f''(x)dx)dx=f''(x)(dx)^2=f''(x)dx^2 20. Дифференциал в приближенных вычислениях. Пусть известны значения дифференцируемой функции z = f(x, y) и ее частных производных f ¢_x(x, у) и f ¢_y(х, у) в точке (х, у). Поставим задачу о приближенном вычислении значения функции в точке (х + Dх, у + Dу). Полное приращение Dz функции равно Dz = f(x + Dx, y + Dy) – f(x, y) откуда, f(x + Dx, y + Dy) = f(x, y)+ Dz Заменяя Dz полным дифференциалом dz, получим формулу f(x + Dx, y + Dy) » f(x, y) + f ¢_x(x, у) Dx + f ¢_y(х, у)Dу, верную с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно Dx и Dу. 21. Теоремы о среднем (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Теорема Ферма. Если функция у = f (х),  определенная в интервале (а ; b), достигает в  некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует  производная f ′(с), то f ′(с) = 0.   Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой с параллельна оси абсцисс. Теорема Ролля. Если функция у = f (х),  непрерывная на отрезке [а ; b] и  дифференцируемая в интервале (а ; b), принимает на концах этого отрезка равные значения f (a) = f (b), то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что f ′(с) = 0. Геометрически эта теорема означает  следующее: если крайние ординаты кривой у = f (х) равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.). Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [а ; b] и  дифференцируема в интервале (а ; b), то в этом интервале найдется такая точка с, что удовлетворяет выражению: f(b)-f(a)=f '(c)(b-a) Эта теорема имеет простой геометрический смысл: на интервале (а,в) существует хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна секущей, соединяющий значения функции на концах отрезка.  Формула Лагранжа f(b)-f(a)=f '(c)(b-a)Если функции f (х) и g (х): 1) непрерывны на отрезке [а ; b];   2)  дифференцируемы в интервале (а ; b);  3) g'(x) ≠ 0 в этом  интервале,  то в интервале (а ; b) существует  такая точка с, что имеет место равенство 

22. Правило Лопиталя. Пусть функция удовлетворяет условиям: 1)определена на промежутке (х0, х] 2)имеет односторонние нулевые пределы в точке х0, т.е. lim(xх0+0)f(x)=0 3)в промежутке (х0, х] существуют конечные производные f‘(x) , g‘(x) причем g‘(x) не равно 0 для любых хпринадл(х0, х] 4)существует предел отношения производных lim(xх0+0)f‘(x)/g‘(x)=А тогда существует и предел lim(xх0+0)f(x)/g(x)=А 23. Формула Тейлора.  Пусть функция f ( x) имеет в точке а и некоторой её окрестности производные порядка n + 1. Пусть x ≠ a есть любое значение аргумента из указанной окрестности, тогда между точками а и х найдётся такая точка с, что справедлива формула