7. Знайти похідні другого порядку від функції, заданої параметрично:

,

,

,

,

.

8. Провести повне дослідження функції й побудувати графік, якщо .

I

1. ОДЗ функції: або.

2. ,

,

.

3. Асимптоти , тому що прифункція

зазнає розриву 2-го роду. Визначимо похилі асимптоти

,

Таким чином, рівняння похилої асимптоти (як при , так і при, але рівняння асимптот можуть бути і різними).

4. Якщо , то,

якщо , то, тобто.

Точка перетину графіка з осями координат .

II

Критичні точки (підозрілі на екстремум) ,Оскільки функція не задана при(див. ОДЗ), то приекстремуму не може бути.

Визначимо знаки першої похідної

,

.

III

.

Критичні точки (підозрілі на перегин) ,, але точкине належать ОДЗ. Отже, перегин може бути тільки в точці.

Визначимо знаки другої похідної

.

Графік функції:

EMBED PBrush

9. Знайти невизначені інтеграли:

а);

б);

в);

г).

Для обчислення інтеграла з пункту а використовуємо формулу інтегрування частинами :

Перевірка робиться за правилом, що похідна від первісної дорівнює підінтегральній функції:

.

У цьому прикладі ми зробили підстановку , потім під коренем виділили повний квадрат і скористалися табличним інтегралом

Оскільки у прикладі в підінтегральна функція є неправильним дробом, то спочатку виділяємо цілу частину:


			8

Далі застосуємо метод невизначених коефіцієнтів, щоб правильний дріб подати у вигляді суми найпростіших

.

Рівність тотожна, тобто справедлива при будь-яких х.

Нехай , тоді.

Нехай , тоді.

Остаточно

У пункті г підінтегральна функція є правильним дробом, тому відразу застосовуємо метод невизначених коефіцієнтів:

.

Нехай , тоді.

Нехай , тоді.

Нехай , тоді.

Тут було використано «золоте правило», що якщо в чисельнику знаходиться похідна знаменника, то інтеграл від такого виразу дорівнює логарифму модуля знаменника. Оскільки то модуль можна не ставити.

10. Обчислити визначені інтеграли:

а);

б);

в);

г).

У визначеному інтегралі з пункту а зробимо універсальну тригонометричну підстановку:

,

x	0		.
t	0

,

,

,

,

,

У пункті б зробимо тригонометричну підстановку:

x	0		,
t	0

У пункті в зробимо підстановку

піднесемо до квадрата й продиференціюємо останній вираз або

х	0	2
t	1	0

.

Підінтегральний дріб неправильний, тому виділяємо цілу частину.


	
		1/2

В інтегралі з пункту г робимо тригонометричну підстановку ,

x	0	7/2	,
t	0	/6