Квантова механіка_Модуль 2

85

Розділ IV. ЕЛЕМЕНТИ КВАНТОВОЇ ТЕОРІЇ РОЗСІЯННЯ (НСО)

§49. Переріз розсіяння частинок

Серед задач і методів квантової механіки проблеми розсіяння посідають чіль- не місце. Саме під час експериментів на розсіяння відповідних потоків частинок на досліджуваних об'єктах дізнаємося про властивості останніх. Характерною особливістю задач розсіяння є вибір області спостереження. Підготовлюваний до експерименту потік частинок вважають потоком вільних частинок (частинок, що не взаємодіють). Розсіяний потік вивчають на великих відстанях від центра розсі- яння, коли знову-таки розсіяні частинки можна вважати вільними. Відповідно до цього серед формальних розв'язків рівнянь шукають асимптотичні розв'язки.

Розсіяння може бути пружним і непружним. При пружному розсіянні абсолю- тні значення імпульсу й енергії частинки не змінюються; змінюється лише напрям поширення. При непружному розсіянні змінюються й напрям поширення, й абсо- лютні значення імпульсу та енергії частинки, що налітає. У цьому розділі розгля- даються елементи теорії пружного розсіяння.

Із формального погляду задачі теорії розсіяння належать до задач неперервно- го спектра власних значень.

В експериментах спостерігають розсіяння пучка частинок, що налітає, на пев- них центрах розсіяння, які вважають нерухомими. Систему координат, яка відпові- дає такому описові, називають лабораторною. В теорії її характеризують шістьма змінними: трьома координатами мішені й трьома координатами відносного руху. Ця система координат незручна для розрахунків.

Теоретичні розрахунки виконуються в системі центра мас. Якщо в лаборатор- ній системі координат частинка, що налітає, має енергію Е0, то в системі центра мас Е0=Е + Е', де Е — енергія частинок у системі центра мас, Е' — енергія центра мас. Як бачимо, енергія частинки, що налітає, в різних системах неоднакова, тому різ- ним буде також її розсіяння.

У системі центра мас сам центр мас і далі рухається як вільна частинка. Спо- стерігається розсіяння частинки зі зведеною масою відносно центра мас. Це істотно спрощує задачу. Тому теоретичний розрахунок ведеться в системі центра мас, а об- робка результатів — в лабораторній системі. Є формули, що дають змогу перево- дити характеристики розсіяння, добуті в лабораторній системі координат, в їх зна- чення в системі центра мас, і навпаки.

Розглянемо тепер величини, які характеризують розсіяння.

Нехай маємо певний монохроматичний пучок частинок, кожна з яких рухаєть- ся зі швидкістю v у напрямі осі z. Вважаємо, що частинки в пучку між собою не взаємодіють. Мішень створює певне потенціальне поле. Під дією сил цього поля й змінюються траєкторії ча- стинок, що налітають, відбувається розсіяння. Припустимо, що кожне розсіяння — одноразове. Це означає, що щільність частинок мішені неве- лика. Процес характеризується числом части- нок, розсіяних в одиниці тілесного кута в на-

прямі (θ, φ) (рис. 1). Нехай на n центрів розсіяння налітає потік N частинок. Треба знайти число частинок dN(θ,φ), що за одиницю часу розсіюються в напрямі, який задається кутами (θ, φ) в елементі тілесного кута dΩ:

86

Множник пропорційності σ(θ, φ) повинен мати розмірність площі. Величину

σ(θ,φ) називають ефективним диференціальним перерізом розсіяння потоку час-

тинок, що налітає. Диференціальний переріз розсіяння залежить від кутів (θ, φ), які задають напрям розсіяння. Інтегруючи по всіх можливих напрямах розсіяння, знайдемо величину

яку називають повним ефективним перерізом розсіяння. Величина σ характеризує повну ймовірність розсіяння потоку частинок за одиницю часу одним центром

розсіяння.

Введені поняття мають ясний зміст лише в лабораторній системі координат. У системі центра мас розглядається розсіяння частинок зі зведеною масою. Є фор- мули, за якими переводять диференціальний переріз розсіяння з лабораторної сис- теми координат у систему центра мас, і навпаки. Використавши прості кінематич- ні міркування, можна показати, що зв'язок між диференціальним перерізом σ(θ, φ) у лабораторній системі координат і диференціальним перерізом σ0(θ0, φ0) у системі центра мас задається формулою

Тут γ=m/M – відношення частинок, що падають, та частинок мішені. Якщо γ << 1, то система центра мас практично збігається з лабораторною системою координат і диференціальні перерізи σ(θ, φ) та σ0(θ0, φ0 будуть однаковими.

§50. Хвильова функція розсіяних частинок

Вважатимемо, що імпульс налітаючих частинок відомий. Частинки летять у на- прямі осі z. Хвильова функція розсіяння частинок є суперпозицією падаючої та ро- зсіяної хвиль. Хвильову функцію частинки, що налітає, на великій відстані від центра розсіяння можна записати як плоску хвилю

ψ (r ) = Aeikz ,

де А — амплітуда хвилі, а p = k — імпульс частинок, що налітають. Густина потоку частинок, що налітають,

Наведемо міркування на користь вибору саме такої форми функції розсіяння.

яння форма сферичної хвилі де Бройля. Справді, розглянемо стаціонарне рівнян- ня Шредінгера. У сферичній системі координат воно має такий вигляд:

Ψ(r,θ ,ϕ ) = ψ (r)Ylm (θ ,ϕ) . Нехай ψ (r) = ϕ (r) / r . Крім того, врахуємо, що сферична фу-

Звідси видно, що на великій відстані (r→∞), де потенціальне поле U(r) зникає, рі- вняння (3) переходить у диференціальне рівняння

− 2 d 2 ϕ(r) = Eϕ (r) . 2m dr 2

Розв'язки такого рівняння відомі:

де k = (2mE / 2 )1/ 2 — абсолютне значення коренів характеристичного рівняння. В (4), поклавши с2 =0, візьмемо тільки перший доданок. Він описує поширення хвилі в напрямі радіуса-вектора, тобто від центра розсіяння. Отже, зображення хвильо- вої функції розсіяння виразом (2) зручне тим, що множник f(θ,φ) характеризує виключно процес розсіяння, який залежить від властивостей потенціалу розсіян-

ня. Величину f(θ,φ) називають амплітудою розсіяння. Вона характеризує кутовий розподіл розсіяного потоку частинок, що налітали на центр.

Підсумовуючи, зазначимо, що асимптотичний при r→∞ вираз хвильової функції розсіяної частинки має форму

де перший доданок описує хвилю, що не зазнала розсіяння, а другий — хвилю розсіяну. Функція (5) називається стаціонарною хвилею розсіяння.

Визначимо потік jr(θ,φ) розсіяних частинок. При цьому не зважатимемо на ко- реляцію між падаючою та розсіяною хвилями. За означенням, густина потоку роз- сіяних частинок у напрямі (θ,φ)

і хвильову функцію (2), дістанемо

Виводячи цей вираз, ми знехтували малими в асимптотиці r→∞ доданками. Величина jr(θ,φ) має зміст густини потоку розсіяних у напрямі (θ, φ) частинок. По- тік частинок, що за одиницю часу проходить крізь площадку dS =r2dΩ, розташова- ну на відстані r від центра розсіяння, визначимо за формулою

тобто ефективний диференціальний переріз розсіяння дорівнює квадрату модуля

89

де Ψ0k (r ) — розв'язок однорідного рівняння(∆ + k 2 )Ψ0k (r ) = 0 .

Отже, маємо інтегральне рівняння. Воно тотожне диференціальному рівнянню

(1). Після підстановки в (4) функції Гріна (3) в явному вигляді, а для незбуреної хвильової функції Ψ0k (r ) — плоскої хвилі з одиничною амплітудою й напрямом по- ширення вздовж осі z інтегральне рівняння набере вигляду

Дістали інтегральне рівняння для стаціонарної хвилі розсіяння. Перейдемо тепер до асимптотики r→∞ . Річ у тім, що в теорії розсіяння розсіяні частинки спостерігають зазвичай на великих відстанях від центра розсіяння, де вже впливом потенціалу U(r) можна знехтувати. Припустимо, що потенціал розсі- яння має скінченний радіус дії, отже, інтегрування по r ′ у (5) відбувається в обмеженому просторі навколо центра розсіяння. В результаті можемо скориста- тися такими наближеними співвідношеннями:

де n = r / r — одиничний вектор, напрямлений уздовж вектора спостереження r . Введемо ці співвідношення у формулу (50.5). Тоді

Порівнявши тепер цей вираз з формулою (2.5), знаходимо таке означення для амплітуди розсіяння:

Співвідношення (6) є не остаточним виразом для амплітуди розсіяння, а ін- тегральним рівнянням, оскільки під інтегралом стоїть невідома хвильова фу- нкція Ψk (r ′) . Розв'язати це інтегральне рівняння так само складно, як і (5).

Проте є наближені методи розв'язання цих інтегральних рівнянь. Один із та- ких методів розглянемо в наступному параграфі.

§52. Борнове наближення

Для визначення амплітуди розсіяння використаємо метод послідовних на- ближень. Якщо частинки рухаються дуже швидко, то вони можуть не розсія- тися на силовому центрі або розсіяння буде незначним.

Інакше кажучи, розглянемо випадок, коли в стаціонарній хвилі розсіяння (50.5) переважає перший доданок — плоска падаюча хвиля

За таких умов у інтегральному рівнянні (45.6) хвильову функцію Ψ(r ) , яка стоїть під інтегралом, замінимо падаючою плоскою хвилею. Тоді для амплітуди розсі- яння дістанемо таку формулу:

Перетворимо вираз у показнику експоненти. Введемо одиничний вектор n0 , спря- мований уздовж осі Oz, який задає напрям поширення падаючої хвилі. Отже,

Цей вираз для амплітуди розсіяння називають борновим наближенням. Якщо поле

З цієї формули можна зробити висновок, що амплітуда розсіяння не залежить від азимутального кута φ. Справді, модуль зміни хвильового вектора

Ця формула однозначно пов'язує між собою кут розсіяння частинки зі значеннями початкового імпульсу частинки й імпульсу передачі.

§53. Формула Резерфорда

Розглянемо як приклад застосування борнового наближення розсіяння зарядже- них частинок. Потенціал взаємодії між частинкою, що налітає, та силовим центром розсіяння виберемо у вигляді екранованої кулонівської взаємодії:

Тут χ=1/rD, де rD — так званий радіус екранування, або радіус Дебая; eZ1 та eZ2 — заряди відповідно частинки й силового центра. Підставивши вираз (1) у формулу (46.4), після нескладного інтегрування дістанемо

Підставимо сюди значення для K із формули (4.5). Тоді остаточно диференціа- льний переріз розсіяння згідно з рівнянням (2.9) можна записати так:

Цю формулу застосовують на практиці для визначення кінетичних власти- востей металів і напівпровідників.

Якщо кулонівська взаємодія не екранується (χ=0, або rD →∞), то вираз (3) пе- реходить у відому формулу Резерфорда для диференціального перерізу розсіян- ня заряду eZ2 у кулонівському полі заряду

16 4k 4 sin4 θ 2

Завершимо розгляд борнового наближення докладним аналізом його застосо- вності. Цей аналіз почнемо з нерівності (52.1). Підставивши сюди вираз (52.3), дістанемо

Якщо потенціал розсіяння має скінченний радіус дії а, то останню не- рівність можна записати так:

Справді, щоб частинка розсіялася, необхідно, щоб вона наблизилася до центра на відстань r ≤ a . За співвідношенням невизначеності Гайзенберга, неточність у ви- значенні імпульсу ∆p ≥ / a . Отже, якщо а — радіус дії потенціалу, то щоб відбу-

лося розсіяння, яке можна було б зафіксувати, необхідно, аби кінетична енергія частинки була не меншою від

Повернувшись до нерівності (4), бачимо, що борнове наближення застосовне, ко-

ли кінетична енергія частинки, яка налітає, значно більша від середньої енергії взаємодії частинки із силовим центром.