Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уманский государственный педагогический университет им. П. Тычины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Квантова механіка_Модуль 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2015

Размер:

1.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

лення s–терма (l=0, m=0) отримується тільки завдяки спіну електрона. Саме це ро- зщеплення спостерігали Штерн і Герлах в своїх дослідах.

m = ±1

Завдяки розщепленню рівнів збі-

H = 0

H ≠ 0

льшується число можливих переходів, а

m=0

разом з тим і число спектральних ліній.

2р

m = +1

m=-1

Це явище називають простим ефектом

m = ±1

Зеемана. Частоти переходів обчислю-

m=0

ються за формулою:

m=-1

Enlmms − En 'l 'm 'ms

ω =

= ωnn0 ' + Ω (m '− m), (12)

причому враховано, що для оптичних

ms =

переходів ∆m = 0, ±1 , а ∆m = 0 через слаб-

ку взаємодію спінового магнітного мо-

m=0

= −

менту з магнітним полем світлової хви-

лі. З малюнку видно, що спектральна лі-

нія розщеплюється у магнітному полі і утворюється так званий нормальний три- плет Зеемана: одна незміщена і дві зміщенні на частоту ±Ω спектральні лінії. Оскі- льки Ω не містить в собі , то не дивно, що точно такий же результат був отрима- ний і в класичній теорії Зеемана, який пояснювався прецесією орбіти електрона.

Нормальний ефект Зеемана зустрічається досить рідко: 1) у сильних магнітних полях; 2) коли загальний спін електронів у атомі дорівнює 0. У слабкому магнітно- му полі розщеплення спектральних ліній накладається на мультиплетну структуру спектра, яка обумовлена взаємодією спіна з орбітальним моментом та релятивіст- ською залежністю маси від швидкості. В результаті спектральні лінії розщеплю- ються більше ніж на 3 лінії. Це явище називають складним, або аномальним ефек- том Зеемана. Його теорія була побудована тільки після появи рівняння Дірака, яка враховує спінові і релятивістські ефекти.

§40. Додавання моментів (НСО)

У §21, 22 ми бачили, що і орбітальний момент M , і спін s є величинами, що приймають лише квантові дискретні значення. Розглянемо тепер повний момент імпульсу, що є сумою орбітального і спінового моментів. Оператора повного моме-


				ɵ	:
нту визначимо у вигляді суми операторів орбітального моменту M				і s	:
			ɵ ɵ ɵ
		ɵ	ɵ ɵ ɵ		(1)
J	= M	+ s ,	J x = M x + s x , J y = M y + s y , J z = M z + s z .		(1)

Покажемо, що оператори компонентів повного обертального моменту підко- ряються тим же правилам комутації (21.2), що і компоненти орбітального моменту

								ɵ
		Для цього відмітимо, що						ɵ		оскільки оператор
M x , M y	, M z .	Для цього відмітимо, що					M	і s комутують,		оскільки оператор	M

діє на координати, а оператор					ɵ
діє на координати, а оператор					s на них не діє. Тому
			ɵ ɵ				ɵ ɵ
J x J y − J y		J x =	(M x + s x )(M y + s y ) −				(M y + s y )(M x		+ s x ) =
				ɵ ɵ	ɵ ɵ			ɵ
= M x M y − M y			M x	+ s x s y	− s x s y	= i M z		+ i s z
(останнє в силу (21.2) і (23.7)). Таким чином
	J x J y − J y J x = i J z , J y J z − J z J y = i J x , J z J x − J x J z = i J y .										(3)

(дві останні рівності виходять з першої циклічною перестановкою).

Знайдемо тепер оператора квадрата повного обертального моменту J . Маємо

2 2

ɵ ɵ ɵ

+ s )

= M

+ s

2M s

= M

+ s

+ 2(M x s x + M y s y + M z s z ) . (4)

Оператор

комутує з будь-якою проекцією

Наприклад, розглянемо прое-

J .

кцію на OZ

J z

= M z + s z . Оскільки

M z комутує з

і s z

з M ,

s , то отрима-

ємо

2 2

ɵ ɵ ɵ ɵ

J J z − J z J = 2(M x sx

+ M y s y + M z sz )(M z + sz ) − 2(M z

+ sz )(M x sx + M y s y + M z sz ) .

Розкриваючи тут дужки, знайдемо

ɵ ɵ

J J z

− J z

= 2{(M x M z

− M z M x )sx

(M y M z

− M z M y )s y +

ɵ ɵ

+ M x (sx sz

− sz sx ) + M y (s y sz

− sz s y )}

і, враховуючи (21.2) і (23.7), отримуємо остаточно

J J z

− J z

J = 2{−i M y sx

+ i M x s y + M x (−i s y ) + M y (+i sx )} = 0 .

Подібним же чином доводиться твердження для останніх двох компонент. Таким чином,

(5)

J x − J x J

= 0, J

J y

− J y J

= 0, J

J z − J z J

= 0 .

Звідси випливає, що оскільки оператор J 2

і оператор будь-якої проекції (але одні-

єї), наприклад J z ,

комутують,

то величини

J 2

і Jz належать до числа одночасно

вимірюваних.

ɵ2

Легко також бачити, що оператор

комутує з операторами M

s . Дійсно,

звертаючись до формули (4), ми безпосередньо бачимо цю властивість оператора

ɵ ɵ ɵ

комутує з

, бу-

, оскільки M

M ,

M x , M y , M z

, s x , s y

, s z . В свою чергу

ɵ ɵ ɵ

дучи одиничною матрицею (помноженою на 3ћ

/4 (23.6)), комутує з s x , s y , s z . Тому

2 2

(6)

J M

− M

J = 0,

− s

J = 0 .

Отже, J 2 , M 2 і s 2 є також одночасно вимірюваними величинами. З (4) маємо

ɵ2

M s =

(J − M

− s

) .

(7)

Оскільки ( Ms ) утворюється з одночасно вимірюваних величин, то скалярний добу- ток ( Ms ) одночасний вимірюваний з J 2 , M 2 і s 2 . Помічаючи, що

		ɵ
ɵ		ɵ		2	=	ɵ				(8)
(M s ) + s					=	(J s ) ,				(8)
ми отримуємо з (7) ще й скалярний добуток					ɵ
ми отримуємо з (7) ще й скалярний добуток					(J s ) :
		1			2		2	2
ɵ		1						ɵ
(J s )	=		(J			− M		+ s	) .	(9)
(J s )	=	2	(J			− M		+ s	) .	(9)
		2

Можна також показати (що опускається через громіздкість виведення), що квадрат

повного моменту J 2 і його проекція Jz на будь-який напрям квантуються аналогіч- но орбітальному моменту, але напівцілими числами. А саме:

																				67
	2 = 2 j( j + 1), j =									1			3			5
J										1	,		3		,	5		,...,		(10)
J											,				,			,...,		(10)
									2		2				2
J		= m		,	m		= ±	1	, ±			3		, ±			5		,..., ± j,	(11)
J	z	= m	j	,	m	j	= ±		, ±					, ±					,..., ± j,	(11)
	z		j			j	2				2				2
							2				2				2

причому квантове число j, що визначає власні значення повного моменту, може бу- ти виражене через орбітальне число l і спінове s (22.2) за формулою

	j = l + s			або j =\| l − s \| .							(12)
	2			2				2
								2
З формул для власних значень		(10),						ɵ	(22.2)	отримуємо важливі в
З формул для власних значень	J	(10),		M			(21.7)	і s	(22.2)	отримуємо важливі в

спектроскопії вирази для власних значень							ɵ	ɵ
спектроскопії вирази для власних значень							(M s ) і	(J s ) :
			2
	(Ms ) =					[ j( j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)],					(13)
	(Ms ) =			2		[ j( j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)],					(13)
				2
				2
	(Js ) =				[ j( j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1)].						(14)
	(Js ) =				[ j( j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1)].						(14)
			2

Ці формули ми застосуємо нижче до теорії складного ефекту Зеемана.

§41. Мультиплетна структура спектрів (НСО)

Як зазначалось в §30, стан електрона в атомі з урахуванням спіну можна хара- ктеризувати четвіркою квантових чисел:

1 n = 1, 2, 3,...; 0 ≤ l ≤ n −1; − l ≤ m ≤ l; ms = ± ;

йому відповідає хвильова функція ψnlmms (r, θ,ϕ, sz ) . Якщо взаємодією спіну з орбі- тальним рухом знехтувати, то, згідно (30.6), ця хвильова функція може бути подана у вигляді

ψnlmms (r, θ,ϕ, sz ) = ψnlm (r,θ,ϕ)ums (sz ).

Відповідний квантовий рівень (терм) є Enl . Четвірка квантових чисел може прийма- ти наступні значення:

n = 1, 2, 3,...; l = 0,1, 2,..., n −1; − l ≤ m ≤ l; m = ±	1	.

s	2

Для кожного терма Enl ми маємо 2l+1 стани, які відрізняються проекцією орбі-

тального моменту; кожен з них у свою чергу розпадається на 2 стани, що відрізня- ються проекцією спіну – всього 2(2l+1) стани. Таким чином, еожен терм Enl вияв-

ляється 2(2l+1) – кратно вироджений.

Але при такій класифікації станів атома не враховується один ефект: орбіталь- ний рух спектрів у атомі приводить до виникнення магнітного поля Hорб , з яким буде взаємодіяти спіновий магнітний момент s Б . Ця енергія виявляється того

ж порядку, що й поправка від залежності маси електрона від швидкості, тому вір- ний розрахунок розщеплення рівнів вимагає розв’язання релятивістського рівняння руху електрона (рівняння Дірака), яке тут не розглядається. Тому ми обмежимось далі якісним аналізом цього розщеплення і оцінкою його величини. Енергія спін– орбітальної взаємодії дорівнюватиме

∆E = − s Hорб .

(1)

Оцінимо Hорб , розглядаючи його як магнітне поле диполя, еквівалентного орбіта-

льним струмам, тобто поля з моментом 0 :

3( 0 r )r

− r3

~ a3

(2)

орб

де r - радіус – вектор, що з’єднує диполі 0

і s . Оскільки нас цікавить лише поря-

док величини

∆E , то будемо вважати

Hорб ≈

де а – лінійний розмір атома

( a ~ 10−8 см ). Тоді

(

)

∆E ≈ Б 0 cos

≈ ± Б 0 ,

,Hорб

(3)

причому cos ( s , Hорб )= ±1

в залежності від орієнтації спіна по або проти поля Hорб .

Підставляючи в (3) числові значення, отримаємо ∆Ε ≈ ±5 10−3 eB . Ця величина мала порівняно з різницею енергій між рівнями, які відрізняються числами n і l, тому виникаючі нові спектральні лінії близькі одна до одної. Зокрема, у атома Na в спек- трі спостерігається жовтий дублет – лінії 5896 A0 і 5890 A0 .

Отже, відмінність в орієнтації спінового магнітного моменту по відношенню до внутрішнього магнітного поля атома може пояснити походження мультиплетно- сті спектральних ліній. Звідси випливає, що для атомів з одним оптичним електро- ном можливі тільки дублети (подвійні лінії) відповідно до двох орієнтацій спіна електрона. Цей висновок теорії підтверджується спектральними даними.

Звернемось тепер до нумерації рівнів атома з урахуванням мультиплетної структури. При урахуванні спін–орбітальної взаємодії ні орбітальний момент M , ні спіновий s не мають певного значення в стані з певною енергією (вони не комуту- ють з оператором Гамільтона). Але повинен зберігатися повний момент імпульсу:

		(4)
J	= M + s .
Тому при врахуванні спін–орбітальної взаємодії тільки повний момент J		має певне

значення у стані з певною енергією, і стани слід класифікувати по значенням пов- ного моменту J .

Як було показано у попередньому параграфі, повний момент квантується за тими ж правилами, що й орбітальний момент. А саме, якщо ввести квантове число j, яке визначає повний момент J , то

				= 2 j ( j +1),
			J 2			(5)
а проекція J	на довільний напрям Oz має значення:
			J z = m j ,			(6)
при цьому	j = l + s, якщо					(7)
				M ↑↑ s ,
і	j =	l − s				(8)
			, якщо M		↑↓ s .

( s =	1	, якщо в електронній оболонці лише 1 електрон). Аналогічно квантове число
( s =
2
m j , яке визначає проекцію Jz, дорівнює
		m		= m + m ,						m = ±				1	.						(9)
		m	j	= m + m ,						m = ±					.						(9)
			j						s	s		2
												2
Оскільки l, m – цілі, а s і ms – напівцілі, то
		j =		1		3		5			1					= ±	1	, ±	3	,..., ± j .	(10)
				1	,	3	,	5	,...,	l ±	1		; m j				1		3
					,		,		,...,	l ±			; m j
				2	2		2			2						2		2

В залежності від орієнтації спіна енергія буде різною, а саме, вона буде різ-

ною для j = l +	1	i j =	l −	1	. Тому рівні енергії слід характеризувати значенням го-
ною для j = l +		i j =	l −		. Тому рівні енергії слід характеризувати значенням го-
2			2
ловного квантового числа n , орбітального числа l і числом									j , який визначає пов-
ний магнітний момент, тобто в цьому випадку:
							E = Enlj .		(11)
Хвильові функції будуть залежати від спінової змінної sz і квантових чисел j
та m j :
					ψ nljm	j	= ψ nljm	(r,θ ,ϕ, sz ).	(12)
						j		j

У цьому випадку змінні r, θ, ϕ і sz не розділяються. Квантові рівні при заданому l, які відрізняються величиною j, близькі один до одного, оскільки відрізняються як- раз на енергію взаємодії спіну з орбітальним рухом для двох різних орієнтацій спі-

ну. Четвірка чисел n, l,

j, m j

може приймати значення

l + s,

n = 1, 2,...;

l =

0,1, 2,..., n −1; j =

− s

(s =

); − j ≤ m j ≤ j.

(13)

Величину орбітального

моменту l

позначають в

спектроскопії буквами

s (l = 0), p (l = 1), d (l = 2), f (l = 3),.... Головне квантове число n

ставлять попереду бук-

ви, що відповідає орбітальному моменту. Квантове число j

вказується справа вни-

зу від букви. Наприклад,

рівень n = 2, l = 1, j =

позначають так:

2 p

. Іноді вказу-

ється мультиплетність рівня:

32 p3 - двійка над

p означає, що цей рівень відносить-

ся до дублетних (подвійних). В разі одного оптичного електрона цей значок зайвий,

										2s : n = 2, l = 0,		j =	1	оскільки там				всі рівні дублетні
2	2		s1							2s : n = 2, l = 0,		j =		( j = l + l		i j =	l − l		, крім, звичайно, s
2			s1										2	( j = l + l	s	i j =	l − l	s	, крім, звичайно, s
						2							2		s			s
						2								– рівнів, де l=0).
2		2			p3					2 p1 : n = 2, l = 1, j =			3	– рівнів, де l=0).
		2											3	На малюнку приведена схема

													2
							2
							2							рівнів воднеподібного атома (тобто
22 p1											2 p : n = 2, l = 1, j = 1
22 p1											2 p : n = 2, l = 1, j = 1
				2				0		0	2			атома з одним оптичним електро-
				2				0		0	2		2	атома з одним оптичним електро-
									A	A				ном) з урахуванням мультилентної
								5896		5890				ном) з урахуванням мультилентної
								5896		5890				структури. Там же приведені кван-
														структури. Там же приведені кван-
12 s1											1s : n = 1, l = 0,	j =	1	тові числа і спектроскопічні позна-
				2							1s : n = 1, l = 0,	j =	2	чення (для натрію).
													2	чення (для натрію).

Кожному з розглянутих рівнів Enlj відповідає 2 j +1 стан, які відрізняються значенням квантового числа m j , тобто

орієнтацією повного момента J у просторі. При накладанні зовнішнього поля ці співпадаючі рівні можуть розщепитись на 2 j +1 підрівень. Таке розщеплення в ма- гнітному полі називають складним (аномальним) ефектом Зеемана. У відсутності цього поля ми маємо (2j+1) – кратне виродження. Так, 2s1/ 2 -терм є 2-кратно виро-

дженим: є два стани, які відрізняються орієнтацією спіну. 2 p1/ 2 має виродження 4

відповідно орієнтаціям вектора J : m j = ± 1 , ± 3 .

2 2

§42. Аномальний ефект Зеемана (НСО)

Розглянута в § 39 теорія розщеплення спектральних ліній в магнітному полі є далеко не повною, оскільки не враховує мультиплетної структури спектральних лі- ній. Введемо тепер в розгляд і цю структуру.

Гамільтонін		атомного електрона, що знаходиться в магнітному полі, згідно
Гамільтонін	H
(39.5), дорівнює

		0		0			eH	ɵ
	H	= H	+ H' = H			+		(M z + 2s z ),	(1)
	H	= H	+ H' = H			+	2m c	(M z + 2s z ),	(1)
							0
0	є гамільтоніан при відсутності зовнішнього магнітного поля:
H	є гамільтоніан при відсутності зовнішнього магнітного поля:
		0		= −	2	∆ + U (r) .			(2)
		H
		H			2m0
					2m0

Враховуючи мультиплетну структуру спектру, ми повинні доповнити цей гаміль- тоніан членами енергії взаємодії спіну з орбітальним рухом (вони, як пояснювалося в § 41, обумовлюють структуру спектрів). Далі, зауважимо, що поправка на залеж- ність маси електрона від швидкості (релятивістський ефект) такого ж порядку, як і взаємодія спіну з орбітою. Всі ці додаткові члени в енергії електрона, що обумов-

	0	0	ɵ
люють мультиплетную структуру, позначимо через W		= W	(x, y, z, s z , p x	, p y	, p z ) .
Ми не розкриватимемо явно вид цього оператора і обмежимося вказівкою ар-
0	операторів імпульсу електрона ясно
гументів, від яких він залежить. Поява в W	операторів імпульсу електрона ясно

вже з того, що внутрішнє магнітне поле, створюване орбітальним рухом електрона, залежить від швидкості електрона, а отже, і від його імпульсу. Таким чином, пов- ний гамільтоніан повинен бути написаний у вигляді

	0	0	eH	ɵ
H	= H	+ H' + W , H' =		(M z + 2s z ).	(3)
H	= H	+ H' + W , H' =	2m c	(M z + 2s z ).	(3)
			0

Ми розрізнятимемо два випадки: перший, коли магнітне поле настільки вели-

ке, що енергія електрона в зовнішньому полі H ' значно більше енергії W 0 , що обу- мовлює мультиплетное розщеплення, і другий, коли енергія в зовнішньому полі H '

значно менше енергії W 0 (малі магнітні поля).

Уточнимо поняття «сильного» і «слабкого» поля. Відмітимо, що енергія W0, якою ми нехтуємо по порядку величини, дорівнює різниці енергій рівнів в дублеті

(див. §

39). Позначимо цю величину через ∆E

jj '

= E0 − E0

. Розщеплення, що

nlj

nlj '

створюється магнітним

полем, дорівнює, згідно

(39.11),

по

порядку

величини

H . Тому розглянуте в §39 наближення відповідає умові

H | ∆E

| . На-

2m0c

jj '

впаки,

слабке

поле

H визначається з нерівності

H | ∆E

| ,

тобто

jj '

2m0c

| ∆E

| . У першому випадку (сильні поля!) ми можемо нехтувати величи-

ною W 0 в порівнянні з H '. Тоді ми отримуємо випадок, вже розглянутий в § 39 (простий ефект Зеемана). У випадку слабких полів відстань між рівнями в мульти-

до діаго-

						71
плеті ∆E		значно більша за	e	H , тому в нульовому наближенні ми можемо не-
плеті ∆E	jj '	значно більша за	2m0c	H , тому в нульовому наближенні ми можемо не-
	jj '

хтувати енергією електрона в зовнішньому полі H ' в порівнянні з W0 і розглядати
як гамільтоніан незбуреної системи
				0	0	(4)
			H	= H	+ W ,	(4)

а як збурення Картина розщеплення рівнів що виходить у цьому випадку і

H ' — . , ,

відповідно спектральних ліній набагато складніша за розглянуту в § 39. Само яви- ще носить назву складного (або аномального) ефекту Зеемана.

Щоб розглянути це розщеплювання, відмітимо, що квантові рівні E0nlj незбуре- ної системи (гамільтоніан (4)), як пояснювалося в § 41, будуть вироджені 2l+1 раз,

відповідно можливим орієнтація повного моменту J . За наявності зовнішнього по- ля такий рівень повинен розщеплюватися, оскільки різним орієнтаціям J відпові- датиме різна енергія магнітного моменту у зовнішньому полі H. Для того, щоб знайти це розщеплення, ми повинні визначити власні значення енергії збурення

	'. Для цього нагадаємо (див. § 41),	що стани незбуреної системи з урахуванням
H

мультиплетності характеризуються чотирма квантовими числами n, l, j, mj. Тому

матричні елементи енергії збурення		'	матимуть вид H 'nlmm		' . Якщо ми
матричні елементи енергії збурення	H	'	матимуть вид H 'nlmm	,n 'l ' m ' m	' . Якщо ми
			j	j

обмежимося першим наближенням, то потрібно нехтувати матричними елементами енергії збурення, що відносяться до різних рівнів незбуреної системи. Оскільки у нас ці рівні нумеруються числами n, l, j, то в нульовому наближенні розгляду під-

лягають тільки елементи

H 'm

≡ H 'nlmm

,nlmm

' . Придатність такого наближення

забезпечується малістю магнітного поля. Оскільки матричні елементи H 'm

' ма-

ють порядок величини

H ,

то умова малості збурення може бути записана у

2m0c

вигляді

H 'nlmm

,nlmm

(5)

Enlj − Enlj '

що є якраз умовою застосовності теорії збурень. При цьому ми взяли різницю енер- гій в межах мультиплета (різні l і l', але однакові п і l). Зрозуміло, що для різних п і l умова (5) виконана, якщо вона виконана для однакових п і l.

На підставі сказаного справа зводиться до зведення матриці H 'm j m j '

нального вигляду. Для цього виразимо енергію збурення

' через проекцію

на

J z

вісь OZ повного моменту J

. Маємо з (3):

H' =

(M z

+ 2s z )= ΩL (J z + s z ),

(6)

2m c

де ΩL є частота Лармора.

Розглянемо тепер добуток

s z J

. Цю величину можна

подати у вигляді

ɵ 2

s z

J = s z (J x

+ J y + J z ) = J z (s x J x + s y J y + s z J z ) +

+(s z J x − J z s x )J x

+ (s z J y − J z s y )J y ,

				72
або	ɵ 2	ɵ	ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ	(7)
або	s z J	= J z (s J ) + Q ,	Q = (s z J x − J z s x )J x + (s z J y − J z s y )J y .	(7)

Користуючись теоремою про додавання обертальних моментів, ми можемо, згідно (40.9), переписати (7) у вигляді

ɵ2

s z J

= J z

− M

+ s

) + Q .

(7')

Якщо ми візьмемо тепер таке подання, в якому J 2

є діагональна матриця, то тоді

(7') можна розділити на J 2

(бо діагональна матриця веде себе як звичайна величи-

на, а не як оператор). Тому в цьому поданні з (7') отримуємо

J z

s z =

− M

+ s

) +

' можна записати у вигляді

і, отже, енергію збурення H

− M

+ s

+ Ω

H' = Ω

J z

(8)

Матричні елементи оператора

відмінні від нуля лише у тому випадку, коли j≠j'.

Таким чином, в матрицю збурення, що цікавить нас, елементи якої відносяться до

одного і того ж значення повного моменту

J , оператор

не дає ніякого вкладу.

Іншими словами, всі елементи матриці

H 'm

утворюються за рахунок частини

, тобто за рахунок оператора

H' , що не містить Q

1 +

− M

+ sɵ

W' = Ω

J z

(9)

Оскільки оператори

J z ,

M ,

комутують один з одним, то їх матриці мо-

жуть бути одночасно приведені до діагонального вигляду. Разом з тим приводиться

до діагонального вигляду і матриця оператора W' (з елементами W'mm'. Щоб отрима-

ти її діагональні елементи, досить підставити замість

ɵ2

власні зна-

J z ,

M ,

і J

чення цих операторів. Маючи на увазі, що

= m

, J 2 = 2 j( j + 1) , M 2 = 2l(l + 1) , s 2

= 2s(s + 1) ,

(10)

ми отримуємо

j( j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1)

W ' = ΩLm j 1

(11)

2 j( j + 1)

Ця формула і дає розщеплення в слабкому магнітному полі квантового рівня, що характеризується числами j, l; оскільки мова йде про один електрон, s =1/2. Позна-

чаючи тепер поправку W ' до енергії рівня Enlj через ∆Enlm j	, ми можемо написати
(11) у вигляді
∆Enlm j = ΩLm j g ,	(12)
де g означає «множник Ланде» і дорівнює

			73
g = 1 +	j( j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1)	.	(13)

	2 j( j + 1)

Оскільки mj пробігає всі значення від –j до +j, то, як видно з (13), кожен рівень Enlj розщеплюється в слабкому маг- нітному полі на 2j+1 рівень.

На малюнку приведена схе- ма розщеплення рівнів 2S1/2

(j=1/2, l=0), 2P1/2 (j=1/2, l=1),

2P3/2 (j=3/2, l=1). При більшому магнітному полі складне розще-

плення спрощується і перехо- дить у розглянуте у §39. Це яви- ще спрощення розщеплення спе- ктральних ліній в магнітному полі при переході від слабких полів до сильних спостерігається на досліді.

§ 43. Парамагнетизм і діамагнетизм атомів

Основним і найпростішим завданням атомної механіки з області магнітних явищ є обчислення магнітних моментів атомів, поміщених в зовнішнє магнітне по- ле. При цьому оператори проекцій магнітного моменту можуть бути визначені як похідні (з протилежним знаком) від оператора повної енергії (точніше, гамільтоні- ана) по проекціям магнітного поля:

∂H

∂ H

∂H

= −

, z

= −

(1)

∂Hx

∂Hy

∂Hz

Зокрема, для одного електрона гамільтоніан

H , що описує рух електрона в магніт-

ному полі, має вигляд

e ɵ

P +

+ U (r ) +

(sH)

(2)

2m0

m0c

(знак + перед вектором-потенціалом A узятий тому, що ми вважаємо заряд елект- рона рівним –е). Направимо вісь OZ по напрямку магнітного поля і візьмемо век- тор-потенціал у формі

= −

A = 0 .

(3)

Диференціюючи

по Hz

, ми знайдемо

z = −

P y

Ay x − P x +

Ax y

−

s z .

(4)

2m0c

m0c

є оператором проекції на вісь OZ моменту імпульсу, а з

Оскільки P y x − Px y = M z

урахуванням (3)

A x − A y =

x2 + y2

представимо (4) у вигляді

e2H

= −

(M z + 2s z )−

+ y

)= −

(J z + s z )−

+ y

). (5)

2m0c

4m0c

2m0c

4m0c

Як ми бачимо, оператор складається з двох частин: не залежної від магнітного поля і залежної від нього. Розглянемо їх порізно. Перша частина

		e	ɵ
′z	= −		(J z + s z )
′z	= −	2m c	(J z + s z )
		0

має власні значення, які ми вже знаходили в теорії ефекту Зеемана.

збурення в магнітному полі			. Власні значення оператора
	H' = −H ′z

(6)

Дійсно, енергія

різні дивля

H' , -

чись по тому, маємо ми справу з сильними магнітними полями (простий ефект Зее- мана) або із слабкими (складний ефект Зеемана). У останньому випадку власні зна-

чення							Ці власні значення відрізняються від власних
чення	H' даються формулою (42.11).						Ці власні значення відрізняються від власних
		множником −H . Тому з (42.11) знаходимо
значень ′z		множником −H . Тому з (42.11) знаходимо
		′ = −		e	m	1	+	j( j + 1) − l(l + 1) + s(s + 1)	,	(7)
		′ = −			m	1	+		,	(7)
		z		2m0c		j		2 j( j + 1)
				2m0c				2 j( j + 1)
де mj є магнітне число, j –			число, що визначає повний механічний момент, l – орбі-

тальний, s – спіновий. Потенціальна енергія цього моменту в зовнішньому магніт- ному полі є якраз H '. Вона може приймати як позитивні, так і негативні значення,

залежно від значення m j	= ±	1	, ±	3	,..., ± j .

	2		2

При термодинамічній рівновазі віддаватиметься перевага негативним значен-

ням H ' і, отже, позитивним значення ′ . В результаті вийде середній момент, на-

правлений по полю, тобто випадок парамагнетизму. Суттєво, що ′ не може дорів-

нювати нулю. Отже, одноелектронні атоми завжди парамагнітні. Другий член в (5)

′′ = −	e2H		x2	+ y2		(8)
′′ = −		2 (	x2	+ y2	)	(8)
z	4m c	2 (			)
	0

є магнітним моментом, який завжди направлений (як безпосередньо видно) проти поля. Таким чином, цей момент обумовлює діамагнетизм. Він ніколи не може дорі- внювати нулю, оскільки х2 + y2>0, і тому діамагнітний ефект має місце у всіх ато-

мах. Проте легко помітити, що момент ′′ значно менший ніж ′

, ним можна нех-

тувати порівняно з останнім. Дійсно, ′

по порядку величини дорівнює магнетону

Бора

, а ′′

e2H

a2 де а – розміри атома. Тоді ′

′′

для всіх полів H,

2m0c

4m0c2

для яких

= 137

(9)

e2 a2

Всі практично досяжні поля задовольняють цій умові.

Якщо число електронів в атомі парне, повний момент імпульсу може виявити-

ся рівним нулю. Разом з тим дорівнюватиме нулю і магнітний момент ′ , що обу-

мовлює парамагнетизм. Такий атом буде діамагнітним. Так, наприклад, в атомі ге- лію, в основному стані, як ми знаємо, орбітальний момент дорівнює нулю, а спін

компенсований завдяки протилежному напряму спінів. Тому ′ = 0 . Гелій повинен

бути діамагнітним, що і спостерігається насправді. Діамагнітну сприйнятливість

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.11.2019108.03 Кб17ЗМ 1 лекція 2.doc
#
26.11.2019115.71 Кб6ЗМ1 лекція 1.doc
#
22.05.201518.13 Кб21Зміст ІНДЗ.docx
#
09.03.2015209.41 Кб38Зоопсихологыя Т.2.doc
#
07.02.2015593.24 Кб58Квантова механіка. Лекції. Модуль 1.pdf
#
07.02.20151.26 Mб27Квантова механіка_Модуль 2.pdf
#
07.02.2015658.8 Кб30Квантова механіка_Модуль 3.pdf
#
07.02.2015743.73 Кб20Квантова механіка_Модуль 4.pdf
#
20.03.2016903.26 Кб32Кенігсбергер Г. Середньовічна Європа 400 - 1500 рр..rtf
#
07.02.201516.41 Mб641Киреев Н. Г. - История Турции. XX век - 2007.pdf
#
07.09.201983.32 Кб18Кислотні опади.docx