Квантова механіка_Модуль 2
.pdf
75
гелію можна обчислити, маючи на увазі, що для двох електронівµ′′ дорівнюватиме |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
µ′′ = − |
e2H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 |
+ x2 |
+ y2 |
. |
(10) |
||||||||
|
|
|
|
4m c2 ( |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
1 |
2 |
2 ) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Середні значення x2 |
, y2 |
, x2 |
, y2 |
через сферичну симетрію основного стану гелію і |
||||||||||||||
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
симетрію електронів в ньому рівні між собою і дорівнюють r 2 / 3 у, де r 2 – серед-
|
µ′′ |
|
e2H |
|
4 |
|
|
|
|
|||
ній квадрат радіус-вектора. Таким чином , |
= − |
|
|
r 2 . Діамагнітна сприйня- |
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
z |
|
4m0c2 3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
тливість, розрахована на один атом, дорівнюватиме |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂µ′′ |
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
||
χ = |
= − |
r 2 . |
|
|||||||||
z |
|
|
(11) |
|||||||||
3m c2 |
||||||||||||
|
∂H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
За допомогою хвильових функцій для електронів атома гелію, знайдених методом
самоузгодженого поля (§32) можна обчислити середнє значення r 2 і отримати чи- сельне значення магнітної сприйнятливості, яке виявляється рівним χ= –1,87·10-6, тоді як експериментальне значення χ= –1,87·10-6. Відмітимо, що вираз (8) для діама- гнітного моменту співпадає з тим, яке отримується в класичній електронній теорії.
Проте тільки квантова механіка дозволяє обчислити x2 + y2 , виходячи з констант,
що характеризують атом.
Якщо ми маємо справу з багатоелектронним атомом, то замість (7) ми отрима-
ємо
µ′ |
= − |
e |
m |
1 + |
J (J + 1) − L(L + 1) + S (S + 1) |
|
, |
(12) |
|
|
|
||||||
z |
|
2m0c |
|
J |
2J (J + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де J є число, що визначає повний момент імпульсу всіх електронів, L – число, що визначає повний орбітальний момент, а S – число, що визначає повний спіновий момент; mJ визначає проекцію повного моменту на магнітне поле. Якщо J=0, що
може бути лише для атомів з парним числом електронів, то µ′ |
= 0 |
і атом буде діа- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
магнітним, причому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
e2H |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
2 |
|
|
|
|
|||
= − |
|
2 |
∑ (xk |
yk |
), |
|
(13) |
||||
µz |
4m c |
|
|
||||||||
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де N – число електронів. Якщо J≠0, то величиною µ′′ |
можна знехтувати порівняно |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
з µ′ , так що атоми з J≠0 будуть парамагнітними.
z
§ 44. Феромагнетизм
Походження постійного магнетизму феромагнітних речовин здавалось протя- гом тривалого часу абсолютно загадковим. Суть явища полягає, як відомо, в тому, що феромагнітні тіла можуть залишатися намагніченими і у відсутності зовнішньо- го магнітного поля H. Для пояснення властивостей феромагнетиків Вейсс запропо- нував теорію, що пояснює постійний магнетизм наявністю внутрішнього магнітно- го поля Hi , яке і змушує орієнтуватися елементарні магніти, навіть якщо зовнішнє
поле дорівнює нулю. Теорія Вейсса дозволяла пояснити багато властивостей феро- магнетиків, проте походження внутрішнього поля Hi залишалося незрозумілим.
Для приведення теорії Вейсса до згоди з дослідом доводиться допускати, що поле
76
Hi має колосальну величину: 106 Ерстед. Прямі досліди показують, що такого маг-
нітного поля усередині феромагнетика насправді не існує. Гейзенбергу вдалося по- казати, що сили, які орієнтують елементарні магніти, є обмінними. Цим була пояс- нена природа загадкового вейссівського поля. Гейзенберг, у згоді з даними досліду Ейнштейна і де Гааза, припустив, що намагнічення феромагнітних тіл обумовлене не орбітальним рухом електронів, а спіновим магнітним моментом. Далі, феромаг- нетизм, мабуть, слід віднести не за рахунок валентних електронів («електрони про- відності»), а за рахунок електронів внутрішніх, незавершених оболонок атомів фе- ромагнетиків.
Для простоти приймемо, що в кожному з атомів, створюючих кристал, є лише один такий електрон. Взаємодію такого електрона з сусідніми атомами можна вва- жати малою і тому можна розглядати хвильову функцію всіх електронів (у кількос- ті N), що обумовлюють феромагнетизм, як таку, що відповідає системі невзаємоді- ючих електронів.
Для нумерації станів відмітимо, що положення центрів атомів в кристалі (вуз- ли гратки) визначається вектором
r = n1a1 + n2a2 + n3a3 , |
(1) |
де п1, п2, п3 – цілі числа, а a1 , a2 , a3 – основні вектори гратки. Таким чином, поло-
ження кожного атома визначається трійкою чисел п1, п2, п3. Ради стислості цю трій- ку позначатимемо однією буквою п і називати номером атома. Нехай хвильова фу- нкція k-того електрона, що знаходиться на п-му атомі, є
Φn (rk , szk ) =ψ n (rk )Sα (szk ) ,
де Sα – спінова функція.
Оскільки ми нехтуємо взаємодією з сусідніми атомами, тому хвильова функція всього кристала в цілому буде виду визначника Слетера (25.4), утвореною антиси- метричною комбінацією з добутків функцій Фп, що відносяться до окремих елект- ронів. Вибір значків α(+1/ або –1/2) у кожної з функцій Sα означатиме вибір певного розподілу спінів (направлених по осі OZ або проти неї) серед атомів кристала. Як- що спіни всіх електронів орієнтовані в одному напрямку, наприклад по OZ, то ми матимемо справу з повним насиченням (максимальне намагнічення). Розглянемо такий стан, коли всі спіни направлені по OZ, за винятком одного, направленого проти OZ. Хай такий спін знаходиться на атомі номера l. Тоді, згідно сказаному вище, хвильову функція Ψ всіх N електронів можна записати у вигляді
|
|
(sz1)ψ |
|
(sz 2 )...ψ l |
|
(szl )...ψ N |
|
|
Ψl = ∑(±1)Pψ1 |
(r1)S+1/ 2 |
2 (r2 )S+1/ 2 |
(rl )S−1/ 2 |
(rN )S+1/ 2 |
(szN ) , (2) |
|||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
де підсумовування здійснюється по всім можливим парним перестановкам части-
нок, |
|
означає оператор перестановки пари частинок, знак + або – береться в зале- |
P |
жності від того, чи отримується певна послідовність координат частинок внаслідок парного або непарного числа парних перестановок.
Врахуємо тепер взаємодію електронів з сусідніми атомами. Для цього застосу- ємо теорію збурень. Ми маємо справу з випадком виродження, оскільки, очевидно, електрон із спіном, направленим проти осі OZy може знаходитися на будь-якому з атомів. Тому правильна функція нульового наближення буде лінійною суперпози- цією з Ψl:
N |
|
Ψ = ∑ al′Ψl′ , |
(2) |
l′=1 |
|
77
причому амплітуди al′ належить ще визначити. Для цього відмітимо,
|
електронів дорівнює |
|
|
|
|
|
||||
повної енергії H |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
N |
e |
2 |
|
|
N |
|
|
|
H = H + |
∑ |
|
|
+ |
|
∑ Un (rm ) , |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n>m=1 rnm |
n>m=1 |
||||
0 |
N |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
H |
|
= ∑ H n (rn ), |
H n (rn ) = − |
|
|
|
∆n + Un (rn ) , |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
2m0 |
|||
що оператор
(4)
(5)
де |
|
– оператор повної енергії п-го електрона, що знаходиться на п-му атомі, |
H n |
e2/rnm – енергія взаємодії п-го і m-гo електронів, а Un(rm) – енергія взаємодії п-го еле-
ктрона з m-им іоном (п≠m). Всі члени в |
|
|
0 |
, розглядатимемо як збурення. |
|||||||
H , крім |
H |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ψ = EΨ замість Ψ наближену функцію (3) і |
||||
Підставляючи в рівняння Шредінгера H |
|||||||||||
маючи на увазі, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
H n (rn )ψ n (rn ) = E0ψ n (rn ) , |
(6) |
|||||
де Е0 – енергія електрона в атомі, ми отримаємо |
|
|
|
|
|||||||
|
|
N |
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
NE0 ∑al′Ψl′ + |
∑ |
|
|
+ Un (rm ) ∑al′Ψl′ |
= E∑al′Ψl′ . |
(7) |
|||||
|
|||||||||||
l′ |
|
|
|
rnm |
|
|
|
|
l′ |
|
|
n>m=1 |
|
|
l′ |
|
|
|
|||||
Помножимо тепер це рівняння на Ψl*, проінтегруємо результат по координатах всіх електронів і підсумуємо по двох значеннях спіну sz = ±ћ/2 кожного з електронів. При цьому ми вважатимемо функції ψ n (r ) і ψ m (r ) , що відносяться до різних ато-
мів, ортогональными. Далі при підсумовуванні по спіну слід мати на увазі ортого- нальность функцій Sα(sz). В результаті ми отримаємо замість (7)
NE0al + ∑Ill′[al′ − al ] = Eal , |
(8) |
l′ |
|
де Ill' є обмінний інтеграл (матричний елемент енергії збурення)
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2e2 |
|
I |
ll′ |
= |
|
ψ |
(r )ψ |
l′ |
(r |
)ψ * (r |
)ψ * (r ) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
∫ l |
1 |
2 |
l 2 |
l′ 1 |
r12 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
+ Ul (r1) + Ul′ (r2 ) + Ul′ (r1) + Ul |
(r2 ) dV1dV2 . (9) |
|||
|
|
|
|
|
Хвильові функції ψ l (r ) швидко спадають із збільшенням відстані r від центру
атома. Тому обмінний інтеграл Ill' швидко убуває із збільшенням відстані між ато- мами l і l'. Завдяки цьому при розв’язанні рівнянь (8) можна обмежитися матрич- ними елементами Ill', що відносяться до найближчих сусідів. Оскільки в кристалі всі найближчі сусідні атоми рівноправні, то обмінний інтеграл має для них одне і те ж значення I. Таким чином, рівняння (8) можна написати у вигляді
(E − NE0 )al + I ∑[al − al′ ] = 0 , |
(9') |
l′ |
|
де сума поширюється лише по атомах l', сусідніх з атомом l. Число найближчих су- сідів і їх розташування залежать від типу кристалічної гратки. Для простої кубічної гратки сусідні з атомом l(l1, l2, l3) атоми мають числа l'=l1±l, l2, l3; l1, l2±l, l3; l1, l2,
l3±1.
Видно, що рівняння (9') мають розв'язки
a |
= a |
l |
= const ei (q1l1+q2l2 +q3l3 ) , |
(10) |
l |
l l |
|
|
|
|
1 2 3 |
|
|
|
де ql, q2, q3 – деякі безрозмірні величини. Дійсно, підстановка (10) у (9') дає |
|
|||
E(q1, q2 , q3 ) − NE0 = 2I (3 − cos q1 − cos q2 − cos q3 ) , |
(11) |
|||
|
|
78 |
звідки |
E(q1, q2 , q3 ) = NE0 + 2I (3 − cos q1 − cos q2 − cos q3 ) . |
(12) |
Помічаючи, що l1а, l2a, l3a, де а – стала гратки, суть координати вузла гратки, ми бачимо, що (10) може розглядатися як плоска хвиля з хвильовим вектором
|
= |
q q |
q |
q |
|
2 |
||||
k |
|
|
1 |
, |
2 |
, |
3 |
|
. Ймовірність знайти спін, направлений проти OZ, є |al| = const, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
a |
a |
a |
a |
|
|
|||
тобто всі положення спину рівноймовірні. Таким чином, амплітуди al, що визнача- ють стан спіну, аналогічні хвильовій функції вільно рухомої частинки, що має за-
даний імпульс. Ця аналогія ще посилюється тим, що принаймні для малих k енергія (12) може бути написана у вигляді
|
|
|
E = const + |
2 |
|
k 2 + ..., |
(12) |
|
|
2m |
* |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
2 |
|
= Ia2 , тобто у вигляді, що співпадає з виразом для енергії вільної частинки. |
||||
2m |
* |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m* можна розглядати як ефективну масу. Зважаючи на наявність такої аналогії між розповсюдженням в кристалі спіну певної орієнтації і рухом вільної частинки стан
(10)називають спіновою хвилею.
Якщо в кристалі є не один, а декілька (r) спінів, орієнтованих проти осі OZ, то
розрахунок виконується аналогічним чином, але ускладнюється тим, що за наявно- сті багатьох спінів, орієнтованих проти осі 0Z, можуть зустрітися пари сусідніх атомів із спінами, направленими проти OZ. Для цих пар обмінні інтеграли не дорі- внюють нулю. Проте при невеликому числі r такі випадки зустрічатимуться рідко, і повний розв'язок може розглядатися як сукупність невзаємодіючих спінових хвиль виду (10) (або, з корпускулярної точки зору, як "спіновий" газ). Енергія буде сумою енергій для кожної з спінових хвиль. Якщо ми позначимо вектор q для k-ї спінової
хвилі через qk , то вся енергія спінового газу буде
r |
|
|
|
E = NE0 + 2I ∑ (3 |
− cos q1k |
− cos q2k − cos q3k ) . |
(12) |
k =1 |
|
|
|
З цієї формули випливає, що при від'ємному І феромагнетизму бути не може, оскільки при І<0 енергія має мінімум при найбільшому r. Тому при тепловій рівно- вазі первинна орієнтація всіх спинів по осі прагнутиме розупорядкуватися. Навпа- ки, при позитивному обмінному інтегралі мінімум енергії досягатиметься при най- меншому r, так що якщо деяка частина спінів орієнтована проти осі OZ, то ці спіни матимуть тенденцію орієнтуватися по осі OZ (число r зменшуватиметься). Тому позитивне значення обмінного інтеграла є необхідною умовою феромагнетизму (тільки в цьому разі стан з найменшою енергією може бути станом, в якому всі спі- ни електронів направлені однаково). Причиною, що приводить до орієнтації спінів в одну сторону, є, таким чином, не фіктивне магнітне поле Вейсса, а обмінні сили. Феромагнетизм є явище квантове. Нарешті, ми бачимо, що феромагнетизм не є властивістю окремих атомів, а є властивістю кристала, що перебуває у згоді з тим фактом, що феромагнітних газів не існує.
Для обчислення намагнічення феромагнетика при якій-небудь температурі Т
слід знайти, методами статистики, середнє значення r . Тоді магнітний момент зра- зка феромагнетика, що містить N електронів, буде, дорівнювати = Б (N − r ) , де
µБ є магнітний момент одного електрона (магнетон Бору).
79
§45. Взаємодія атомів з електромагнітними хвилями
Нехай атом перебуває в області простору, де діє плоска монохромна електро- магнітна хвиля. Дія на електрон в атомі електричного поля хвилі на кілька порядків
|
υ |
|
|
|
|
e |
|
|
більша за дію магнітного поля, яке |
~ |
( F |
= eε |
F |
= |
|
[υ |
× H]), але вона знач- |
|
||||||||
|
c |
ел |
|
магн |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но менша від власного поля атома, тому її можна вважати збуренням. З класичної точки зору на електрон з боку електромагнітного поля хвилі діятиме сила
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
= −e ε |
0 ei k r e−iωt . |
|
|
|
|
|
|
|
Помістимо початок координат в ядро атома, вважаючи його нерухомим. Для |
|||||||||||
видимого світла довжина хвилі набагато більша за розміри атома, тому |
|
|
|
~ |
a |
1 і |
|||||
|
|
||||||||||
|
k r |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
можна взяти |
для любого положення електрона в атомі. В цьому довгох- |
||||||||||
ei k r ≈ e0 = 1 |
|||||||||||
вильовому наближенні: F = −eε 0 re−iωt . Знаючи вираз для сили, знайдемо вигляд опе- ратора збурення як потенціальну енергію частинки в зовнішньому полі:
|
|
|
|
|
|
|
H ′ = −ε p = eε0 re−iωt . |
|
|
|
|
||
|
q |
|
|
|
|
|
Введемо також одиничний вектор поляризації |
(ε 0 |
= qε0 ) |
- вектор, напрямок яко- |
|||
го співпадає з напрямком електричного поля. Тоді |
|
|
|
|
||
|
|
|
−iωt |
. |
(1) |
|
H ' = eε0 |
( q |
r ) e |
|
|
||
Тепер можна за формулою (35.6) записати матричні елементи оператора збурення:
′ |
* |
|
−iωt |
|
|
= ∫ψ m eε0 |
( q r ) e |
ψ n dV . |
(2) |
||
H mn |
Індекси m і n позначать сукупність квантових чисел, які задають початковий і кін-
цевий стани |
електрона. В |
інтегралі |
(2) |
|
величини |
e,ε0 , q - |
сталі. Величину |
|||||||||||
pmn = e∫ψ n*rψ n dV |
називають дипольним моментом переходу. Вводячи його в формулу |
|||||||||||||||||
(2), запишемо матричний елемент H mn у вигляді: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
−iωt |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= ε0 ( qpmn ) e |
|
. |
|
|
(3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
Hmn |
|
|
|
|||||||||
За допомогою (35.11) знаходимо ймовірність переходу: |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
′ |
iωmnt |
|
|
ε0 |
|
|
|
2 |
|
|
i(ωmn −ω )t |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Wmn = |
2 |
|
∫ Hmn e |
|
dt |
= |
2 |
|
q pmn |
|
|
|
∫ e |
|
dt |
. |
(4) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З формули (4) випливає, що ймовірність переходу пропорційна квадрату амплітуди хвилі. Отже, вона пропорційна інтенсивності падаючого випромінювання. Крім то- го, суттєві початковий і кінцевий стани електрона, напрямок поляризації і частота електромагнітної хвилі.
Обчислимо інтеграл в (4):
t |
i(ωmn −ω )t |
|
|
2 |
t |
i(ωmn |
−ω )t |
t |
−i(ωmn −ω )t |
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
∫ e |
|
|
= ∫ e |
dt ∫ e |
≈ ∫ e |
i (ωmn −ω )t |
||||||||
|
dt |
|
|
|
|
dt = нехай t |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
ω |
0 |
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
t |
|
|
|
|
||||
= Функція Дірака δ ( k ) = |
∫ eikx dx |
= 2πδ (ωmn |
− ω ) ∫ eo dt = 2π tδ |
|||
2π |
||||||
|
0 |
|
|
0 |
||
|
Частота переходу ωmn |
|
E |
m |
− E |
n |
|
= 2π t δ ( Em |
|
− ω ). |
= |
= |
|
|
|
− En |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t
dt ∫ e−i(ωmn −ω )t dt =
0
(ωmn − ω ) =
Взагалі кажучи, енергетичні рівні атома Em , En – розмиті, тобто являють собою смуги шириною 2∆En , 2∆Em ( En ± ∆En , Em ± ∆Em ) . Таким чином, мова іде про переходи з інтервалу ∆En в інтервал ∆Em , в середині яких енергія приймає неперервні значен-
80
ня. Тому для обчислення ймовірності переходу необхідно знати енергетичну густи-
ну числа станів ρ (E ) = dν .
dE
Спростимо задачу, |
розглядаючи перехід між дискретним рівнемEn і смугою |
||||||||||||||||||
Em ± ∆Em . Отже, ймовірність переходу в інтервал ∆Em дорівнює |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2π tε02 Em +∆Em |
|
|
|
2 |
|
|
|
2π tε02 |
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Wmn = |
|
|
∫ |
|
|
q pmn |
|
δ (Em − En − ω )ρ (Em )dEm = |
|
|
|
q pmn |
|
|
ρ |
(Em ), (5) |
|||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
E −∆E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
m |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
причому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Em − En |
|
= ω . |
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ймовірність переходу за одиницю часу виражається формулою:
wmn |
= |
Wmn |
= |
2π |
ε |
02 |
|
q pmn |
|
2 ρ (Em ) . |
(7) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формули (5) – (7) є вихідними для розв’язання більшості практичних задач на випромінювання і поглинання світла. З них випливає перший суттєвий висновок: випромінюється і поглинається лише та хвиля, частота якої задовольняє умову ре- зонансу (6):
ω = ωmn |
= |
|
|
Em − En |
|
|
. |
(8) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
тобто частота хвилі, що збурює стан атома, повинна дорівнювати частоті переходу. Ми знаємо, що в атомі одному і тому ж енергетичному рівню, як правило, від- повідають декілька функцій станів; рівень вироджений з деякою кратністю. В фор- мулах для ймовірності переходів ця обставина враховується при підрахунку густи- ни числа станів ρ, тому що береться число станів в dν, яке припадає на інтервал
енергії dE.
§46. Випромінювання і поглинання світла атомами
Випромінювання атомів може бути спонтанним (якщо немає дії зовнішнього випромінювання) і вимушеним (в результаті дії зовнішнього випромінювання). По- глинання є процесом завжди вимушеним. Якщо є 2 рівні з енергіями Ei i Ek , то пе-
реходи між ними характеризуються ймовірностями спонтанного і вимушеного ви- промінювання.
ν = ν ik
Ei , Ni
ν ik
ν ik
ν ik
Ek , Nk
Сталий коефіцієнт пропорційності Aik
Нехай ми маємо сукупність атомів, які можуть поглинати і випромінювати фотони
з частотою ν ik = Ei − Ek .
Кількість Zik(сп) фотонів, які виникли за
одиницю часу при спонтанному випромі- нюванні, пропорційна заселеності Ni верх-
нього рівня Ni , тобто кількості збуджених частинок з енергією Еі:
Z |
(cп) = A N |
. |
(1) |
|
|
ik |
ik i |
|
|
= Zik( cn) дорівнює кількості спонтанно випуще-
Ni
них за одиницю часу фотонів з частотою ν ik в розрахунку на один збуджений атом з енергією Ei . Aik називається ймовірністю спонтанного випромінювання, або коефі-
81
цієнтом Ейнштейна для спонтанного випромінювання.
Кількість Zki(погл) поглинутих за одиницю часу фотонів пропорційна заселеності Nk нижнього рівня. Якщо врахувати, що поглинання є процес вимушений, то Zki(погл)
пропорційне густині випромінювання ρ (ν ) |
частоти, |
яка падає на нашу сукупність |
|||
атомів, тобто енергії фотонів в одиниці об’єму ρ (ν ) = n (ν )hν , де n (ν ) |
- кількість фо- |
||||
тонів частоти ν = ν ik в одиниці об’єму. Отже, |
|
|
|
|
|
Z (погл) |
= B N |
ρ ν |
) |
, |
(2) |
ki |
ki k |
( |
|
|
|
де Bki – коефіцієнт Ейнштейна для поглинання і є ймовірністю поглинання в розра- хунку на одиницю густини ρ (ν ) випромінювання, яке й зумовлює вимушені пере-
ходи при поглинанні: |
|
= |
z |
(погл) |
. |
Bki |
|
ki |
|||
N |
ρ ν |
||||
|
|
|
k |
( ) |
|
Нарешті, кількість |
Zik(вим) |
пропорційна кількості фотонів з частотою ν = ν ik , які |
|||
випромінюються за одиницю часу в результаті дії випромінювання густини ρ (ν ),
тобто при вимушених переходах з верхнього рівня Ei |
на нижній Ek , повинна бути |
||||||||
пропорційною N |
i |
і ρ ν |
) |
: |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Z |
(вим) = B N |
ρ ν |
. |
(3) |
|
|
|
|
|
|
ik |
ik i |
( ) |
|
|
Коефіцієнт Bik називається коефіцієнтом Ейнштейна для вимушеного випроміню- вання; він є ймовірністю вимушеного випромінювання, яка припадає на ρ (ν ).
Нехай газ має N = Ni + Nk атомів в одиниці об’єму, які взаємодіють з електрома-
гнітним полем випромінювання абсолютно чорного тіла. Між атомами і електрома- гнітним полем встановлюється стан рухомої рівноваги, при якій кількість переходів
i → k та k → i |
за одиницю часу в одиниці об’єму буде однаковою: Zik(cn) + Zik(вим) = Zki(погл) |
|||||||||||||||||
або |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A + B ρ ν |
|
N |
i |
= B ρ ν |
N |
k |
. |
|
|
|
(4) |
||||||
|
ik ik |
( )) |
|
|
ki ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Звідси |
|
ρ (ν ) = |
Aik Ni |
|
|
= |
|
|
|
Aik |
|
. |
(5) |
|||||
|
B N |
k |
− N B |
|
|
|
N |
k |
|
|
||||||||
|
|
|
ki |
|
|
i ik |
|
|
Bki |
|
|
|
− Bik |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ni |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Відношення чисел Nk
Ni
формулою Больцмана:
, які характеризують заселеність рівнів, визначається
Nk |
|
gk |
|
(Ek −Ei ) |
|
gk |
|
hν |
|
|
|
= |
e kT |
= |
e |
kT |
. |
(6) |
|||||
|
|
|
|||||||||
Ni |
|
gi |
|
gi |
|
||||||
Коефіцієнти gi і gk називаються статичною вагою рівнів і дорівнюють ступеню виродження (g=2l+1) внаслідок просторового квантування моменту. Отже,
ρ (ν ) = |
|
|
|
Aik |
|
= |
По формулі Планка: = |
|
8πν 3 |
|
. |
(7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
g |
|
|
hν |
|
|
|
|
hν |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Bki |
|
ekT − Bik |
|
|
c3 |
ekT −1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
gi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При kT hν порівняння обох частин дає
B |
= |
g |
i |
|
= |
8πν 3 |
|
|
ki |
|
; A |
|
B . |
(8) |
|||
|
|
|
|
|||||
B |
|
g |
|
ik |
|
c3 |
ik |
|
|
k |
|
|
|
||||
ik |
|
|
|
|
|
|
||
Рівняння (8) встановлюють зв’язок між ймовірністю переходів і дають можливість
82
обчислити ймовірність спонтанного випромінювання, якщо відома ймовірність по- глинання й навпаки. Приведена теорія випромінювання і поглинання електромагні- тних хвиль атомами була запропонована А.Ейнштейном.
§47. Час життя і природна ширина рівнів енергії
З ймовірностями переходів, а саме з Aik , пов’язана важлива характеристика збуджених станів – їх час існування. Нехай при t = 0 заселеність рівня Ei була Ni 0 . Зменшення заселеності цього рівня за проміжок часу (t, t + dt ) , обумовлене перехо- дами з рівня Ei на рівень Ek , дорівнюватиме, згідно з (46.1):
− (dNi )k = Zik(cn) dt = Aik Ni dt ,
де Ni - заселеність рівня Ei в момент t. Якщо врахувати переходи на всі можливі рівні, знайдемо повне зменшення заселеності i -го рівня:
−dNi = −∑(dNi )k |
|
|
|
= |
∑Aik Ni dt . |
||
k |
|
k |
|
Вводячи поняття повної ймовірності спонтанних переходів з рівня Ei на рівень Ek , яка дорівнює сумі ймовірностей Aik окремих переходів:
Ai = ∑Aik |
= − |
1 |
|
dNi |
, |
(1) |
Ni |
|
|||||
k |
|
|
dt |
|
||
дістанемо рівняння: −dNi = Ai Ni dt , розв’язок якого дає закон зменшення кількості збуджених атомів з часом:
Ni = Ni 0e− Ait . |
(2) |
Отже, заселеність рівня Ei зменшується з часом за експоненціальним законом. Різні
частинки існують у збудженому стані протягом різного часу. Можна визначити час існування збудженого стану як середню тривалість перебування частинки в збу- дженому стані:
τ i |
= |
1 |
= |
1 |
. |
(3) |
|
|
|||||
|
|
Ai |
∑Aik |
|
||
k
Якби рівні енергії відповідали строго визначеним значенням енергій Ei , то пе- реходам між рівнями відповідали б строго визначені різниці енергій Ei − Ek = hν ik . Насправді ж кожен рівень характеризується деяким інтервалом ∆Ei енергій, який називається шириною рівня і, відповідно, кожен перехід – деяким інтервалом ∆Eik різниці енергій – шириною лінії, яка дорівнює сумі ширин комбінованих рівнів:
|
|
∆Eik = ∆Ei + ∆Ek . |
(4) |
|
|
|
Ширину рівнів і ліній для вільної нерухомої атомної |
||
|
|
системи називають природною шириною. Порядок її ве- |
||
∆Ei |
||||
|
личини може бути визначеним з квантово-механічного |
|||
|
|
|||
|
||||
|
|
співвідношення невизначеностей для енергії і часу. Якщо |
||
|
|
тривалість існування системи дорівнює ∆t , то невизначе- |
||
|
|
ність для енергії цієї системи ∆Ε задовольняє виразу: |
|
|
|
|
∆Ε ∆t ~ . |
(5) |
|
|
|
|||
∆Ek |
|
Величина ∆Ε і є шириною рівня, для якого час існу- |
||
|
|
вання τ = ∆t . Рівень буде нескінченно вузьким для систе- |
||
|
|
|||
ми, час існування якої наближається до ∞. Це справджується, наприклад, для нор-
83
мального (основного) рівня системи, для якого час існування нескінченно великий. Навпаки, для збудженого рівня з малим часом існування ширина рівня буде знач- ною. Вважаючи, що ∆t τ i , для певного рівня Еі, згідно з формулами (3) та (5), діс-
танемо ∆E |
, або, в одиницях частот: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
i |
τ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∆ν |
|
= |
∆Ei |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
(6) |
||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πτ |
i |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для звичайних часів існування збуджених електронних станів τ ~ 10−8 c маємо |
|||||||||||||||||||||
∆ν ~ |
1 |
Гц ~ 107 Гц ν = 1015 Гц (λ = 300нм). |
Зазначимо, |
|
що величина ∆ν |
не зале- |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2π 10−8 |
|
||||||||||||||||||||
жить від ν . При певних τ i i τ k |
комбінованих рівнів Ei |
i |
Ek згідно з (4), (6) і (3): |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
∆ν ik |
= ∆ν i + ∆ν k ~ |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
|
|
( Ai + Ak ) , |
(7) |
|||||
|
|
|
|
|
|
τ i |
τ k |
2π |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
||||||||||
тобто ширина спектральної лінії пропорційна сумі повних ймовірностей спонтан-
них переходів. Якщо нижній рівень є основним, то для нього τ k = ∞ i |
Ak = ∞ , |
і тоді |
ширина лінії співпадає з шириною верхнього рівня, з якого відбувся перехід. |
|
|
Підкреслимо, що навіть у випадку Ak = 0 , ширина спектральної лінії визнача- |
||
ється не ймовірністю Aik певного переходу, а повною ймовірністю |
Ai = ∑Aik |
всіх |
|
k |
|
переходів з верхнього рівня, який є для них початковим. |
|
|
§48. Оптичний квантовий генератор (лазер)
Розглянемо для простоти систему атомів з двома рівнями E1 , E2 (E2 > E1 ) (див. мал.). Спонтанне випромінювання, обумовлене
переходами E2 → E1 , з ймовірністю A21 випромінюється в різних на-
прямках з неупорядкованою фазою, тобто являє собою некогерентне випромінювання. Напрям поширення, фаза і поляризація вимушено- го (індукованого) випромінювання (ймовірність переходу ρ B21 ) має
E2
E1
співпадати з напрямком поширення, фазою і поляризацією зовнішнього електрома- гнітного випромінювання. Отже, вимушене випромінювання має бути когерентним.
Повна ймовірність переходу з E2 на E1 дорівнює сумі ймовірностей спонтан- ного вимушеного випромінювання.
w21 = A21 + ρ B21 , |
(1) |
причому частота зовнішнього випромінювання повинна лежати в межах ширини лінії резонансного переходу
ν |
|
= |
E2 − E1 |
. |
(2) |
21 |
|
||||
|
|
h |
|
||
|
|
|
|
||
При резонансних переходах система може також під дією зовнішніх електро- магнітних хвиль переходити з нижнього рівня на вищий з поглинанням кванта ене- ргії. Ймовірність такого переходу:
w12 = ρ B12 . |
(3) |
Нехай заселеність рівнів E1 i E2 складає N1 і N2 |
відповідно. Тоді потужність |
(інтенсивність) індукованого випромінювання дорівнює:
p = hν |
21 |
Z (вим) = hν |
21 |
N |
2 |
ρ B , |
(4) |
21 |
21 |
|
21 |
|
а для індукованого поглинання потужність є:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84 |
p |
= hν |
|
Z ( погл) = hν |
N ρ B |
= |
ν |
= |
E1 − E2 |
= −ν |
|
|
= −hν |
N ρ B . |
(5) |
|
12 |
|
21 |
|
||||||||||||
12 |
|
12 |
12 1 12 |
|
|
12 |
|
h |
|
21 1 12 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Враховуючи, що згідно (46.8) B12 = B21 |
(g1 = g2 ) , для сумарної потужності інду- |
||||||
кованого випромінювання маємо: |
= ρhν 21B21 (N2 − N1 ). |
|
|||||
p = p21 + p12 |
(6) |
||||||
При термодинамічній рівновазі заселеність рівнів визначається температурою |
|||||||
згідно з розподілом Больцмана (46.6): |
|
|
|
|
|
||
|
N1 |
|
(E2 − E1 ) |
|
hν 21 |
|
|
|
= e kT |
= e |
kT |
, |
(7) |
||
|
|
||||||
|
N2 |
|
|
|
|
|
|
що завжди дає N1 > N2 . Тому електромагнітне випромінювання, що проходить через
речовину, яка знаходиться в стані термодинамічної рівноваги, повинно завжди ним поглинатися( p < 0 ).
Для того, щоб випромінювання не поглиналось, а, навпаки, підсилювалось, не- обхідно порушити стан термодинамічної рівноваги і створити такий ансамбль ато- мів або молекул, для яких заселеність нижніх рівнів була б менша заселеності вер- хніх рівнів, тобто N1 < N2 . Кажуть, що такий ансамбль має інверсну заселеність. Для
них, згідно з (7), температура T є від’ємною. [Але Т<0 лише для цієї пари рівнів в умовах порушення термодинамічної рівноваги]. На створенні тим чи іншим спосо- бом інверсної заселеності і наступному підсиленні пропущених через середовище електромагнітних хвиль або генерації випромінювання основані всі квантові підси- лювачі і генератори, які називають мазерами або лазерами в залежності від діапа- зону частот (надвисокі радіочастоти та оптичний діапазон, відповідно), в яких вони працюють.