Квантова механіка_Модуль 2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уманский государственный педагогический университет им. П. Тычины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

∫Hmn' (t )eiωmnt dt

∫Hmn' (t )eiωmnt dt

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2015

Размер:

1.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Сукупність всіх шарів і оболо-

нок конкретного атома з вказанням

числа електронів в кожній оболонці

називається електронною

конфігу-

рацією. Електронна

конфігурація в

загальних рисах відображає будову

багатоелектронного атома і набли-

жено характеризує

його

основний

незбуджений стан.

Електрони в

одній

оболонці

при фіксованих n і l мають у відпові-

дності з принципом Паулі різні зна- чення квантових чисел m і ms. Враховуючи, що магнітне квантове число m може приймати лише такі значення: m = 0, ±1, ±2, ±3,..., ±l , тобто всього 2l+1 значення, а

m = ± 1 , то максимальне число електронів в оболонці з орбітальним квантовим чи-

s	2

слом l з урахуванням 2-х орієнтацій спіну дорівнює 2(2l+1), або в s–оболонці 2, в p 6, в d 10, в f 14 і т. д. В одному шарі є

n−1
∑2	(2l +1) = 2n2	(1)
l =0
різних квантових станів і стільки ж електронів, якщо цей шар заповнений.

Заповнення шарів електронами відповідає періодам елементів в таблиці Мен- дєлєєва. Тому, згідно з формулою (1), для періодів, здавалося б, можливі числа еле- ментів: 2 (n=1), 8 (n=2), 18 (n=3), 32 (n=4), 50 (n=5) … І дійсно, число елементів в періодах співпадає з вказаними числами, але в іншій послідовності: 2, 8, 8, 18, 18, 32, а VII період не завершений (див. табл., в якій вказана послідовність заповнення оболонок).

Період	Електронні стани			Повне число	Щоб зрозуміти причину ро-
				станів	зходження ідеальної схеми запов-
I	1s			2	нення шарів з реальною, зверне-
II	2s	2p		8	мося до діаграми енергетичних
III	3s	3p		8	рівнів електрона на мал. (відміти-
					мо, що діаграма тільки якісно вір-
IV	4s	3d	4p	18	мо, що діаграма тільки якісно вір-
					но передає розташування рівнів).
V	5s	4d	5p	18	но передає розташування рівнів).
VI	6s	4f 5d 6p		32	На протязі перших трьох
VI	6s	4f 5d 6p		32	періодів ніяких відхилень від іде-
VII	7s	6d	5f …	…	періодів ніяких відхилень від іде-
VII	7s	6d	5f …	…	альної схеми немає, тому що ене-
					альної схеми немає, тому що ене-

ргетичні рівні станів, що відносяться до перших трьох шарів, не перекриваються. Але рівень 4s в N – шарі виявляється нижче рівня 3d попереднього М – шару (див. мал.). Це означає, що після оболонки 3p почне заповнюватись не оболонка 3d, а оболонка 4s наступного N – шару. Аналогічна ситуація зустрічається і далі, причо- му енергетично вигідною виявляється послідовність заповнення оболонок і шарів, представлена в таблиці.

Ця послідовність не тільки пояснює число елементів в періодах, але і схо- жість і відмінність їх оптичних і хімічних властивостей, які визначаються числом електронів у останній оболонці. Щоб зрозуміти ці властивості, будемо уявляти собі кожен новий наступний елемент шляхом додавання одного електрона до електрон-

ної оболонки попереднього атома і збільшення заряду ядра на 1, з урахуванням принципу Паулі. Досліджуватиметься тільки основний стан, при якому заповню- ються стани з найвищими доступними квантовими числами n, l при умові, щоб енергія атома була мінімальною.

Почнемо з 1–го елемента періодичної системи елементів Менделєєва (ПСЕМ)

– атома водню. В основному його стані є 1 електрон в стані 1s1. Маючи в s - оболо- нці 1 електрон, водень може порівняно легко віддавати його іншим атом, перетво- рюючись на позитивний іон Н+, завдяки чому може утворювати стійкий хімічний зв'язок з негативним іоном, який відібрав у нього цей електрон.

При переході до наступного елементу Не потрібно додати ще один електрон в стані 1s з протилежно напрямленим спіном, відповідно до принципу Паулі. Утво- рюється замкнена електронна оболонка з стійкою електронною конфігурацією іне- ртного газу; He: 1s2. В гелії завершується заповнення К–шару.

Унаступного елемента, літію, починається забудова L–шару. Третій електрон літію попадає в s–стан. 2s–оболонка виявляється розташованою в більш далекій, зовнішній області простору порівняно з 1s – оболонкою. В результаті більш слабкої взаємодії з ядром 2s – електрон легко покидає атом. Хімічні і оптичні властивості Li і H виявляються схожими, тому що вони обумовлені наявністю одного слабо зв’язаного електрона у зовнішній оболонці.

Наступним елементом є 4Ве з електронною конфігурацією (1s)2(2s)2. Берилію для отримання заповненого шару необхідно або віддати 2 електрони 2s, або при- йняти 6 електронів в стані 2р. Зрозуміло, що енергетично легше зробити 1-й варі- ант, і це пояснює 2+ валентність атомів Ве. Подальші переходи до більш важких атомів до Ne включно (Z=10) одержуються послідовним додаванням 2р-електронів. При цьому енергії зв’язку доданих електронів в цілому ростуть через зростання за- ряду ядра. На Ne завершується заповнення 2–го електронного шару (L), тому ми приходимо до стійкої електронної конфігурації інертного газу як у Не.

У11Na (Z=11) починає заповнюватись 3-тій шар. При переході від Ne до Na спостерігається різке падіння іонізаційного потенціалу, як при переході від Ne до Li. Так само змінюються хімічні і оптичні властивості, оскільки ми приходимо до електронної конфігурації з одним валентним електроном у зовнішній оболонці. 8 елементів від Na до Ar отримуються за рахунок заповнення станів 3s і 3р, в резуль- таті чого утворюється ряд елементів, аналогічний ряду елементів від Li до Ne, який утворився за рахунок заповнення станів 2s і 2р. Обом рядам відповідає однакова періодична зміна хімічних властивостей.

Отже, відкрита Мендєлєєвим закономірність пояснюється періодичністю змін

уструктурі зовнішніх електронних оболонок. Схожі між собою елементи розташо- вуються у вертикальних стовпчиках (групах) таблиці і мають схожі зовнішні обо- лонки (лужні метали, галоїди F, Cl, …, інертні гази).

Елементи, що мають заповненні d- і f- оболонки, або не містять їх зовсім, на- зивають елементами головних груп. Ті елементи, в яких як раз відбувається запов- нення цих станів, називають елементами проміжних груп. Зокрема, заповнення оболонок 3d, 4d, 5d, відбувається в групах елементів, які називаються групами залі- за, паладію і платини. В ПСЕМ вони розташовані особняком. Аналогічна ситуація має місце при заповнені 4f–оболонки, в ряді елементів, названих рідкоземельними –

лантаноїдами (58Ce, …, 70Y), та в останній групі проміжних елементів, де заповню- ються 6d- і 5f- оболонки (група актиноїдів).

РОЗДІЛ ІІІ. АТОМ У ЗОВНІШНІХ ПОЛЯХ

§35. Теорія збурень для стаціонарних станів з дискретним спектром (НСО)

Рівняння Шредінгера в небагатьох конкретних задачах розв’язується точно. Тому для обчислення хвильових функцій використовуються різноманітні наближе- ні методи. Теорія збурень використовується для розв’язування таких задач, в яких енергія системи складається з кількох частин, причому одна з них – збурення – набагато менша від інших. Представимо оператор Гамільтона у вигляді:

	= H0 + H ′ , де H0		'– збурення.
H		– незбурений гамільтоніан, H

Припустимо, що нам відомий розв’язок рівняння Шредінгера з незбуреним га- мільтоніаном:

	0	0	0	(1)
H	0ψ n	= Enψ n .
Необхідно знайти розв’язок рівняння			+ H ′)ψ = Eψ .
				(2)
Hψ = Eψ	або (H 0
Відносно рівняння (1) припустимо, що всі значення оператора H0				невироджені і є

тільки дискретний спектр власних значень. Представимо невідому функцію ψ

розв’язку рівняння (2) у вигляді ряду по власним функціям ψ 0 , які утворюють пов-
										n
ну систему:							ψ = ∑Cnψ n0 .
							ψ = ∑Cnψ n0 .
Тоді	∑Cn (H 0						n				і проінтегруємо по
Тоді	∑Cn (H 0		+ H	)ψ n = E∑Cnψ n . Помножимо це рівняння на ψ m							і проінтегруємо по
			'	0		0				0*
	n			n
dV:				∑Cn ∫ψ m		0ψ n dV + ∑Cn ∫ψ m		H ψ n dV = E∑Cn ∫ψ m ψ n dV .
				∑Cn ∫ψ m	H	0ψ n dV + ∑Cn ∫ψ m		H ψ n dV = E∑Cn ∫ψ m ψ n dV .
				0*		0	0*	' 0		0*	0
				n			n			n
Враховуючи (1) та умову нормування ∫ψ m0*ψ n0dV = δmn , отримаємо:
				∑Cn En0δmn + ∑Cn Hmn'				= E∑Cnδmn = ECm
					n		n	n
або						(E − Em0	)Cm = ∑Cn H mn'		,		(3)
де H mn = ∫ψ m							n			( H mn = Hnm внаслідок самос-
де H mn = ∫ψ m		H ψ n dV - матричний елемент оператора H '								( H mn = Hnm внаслідок самос-
'	0*	'	0							'	'*

пряженості оператора

H ').

Скористаємося припущенням демо Cm і енергію Е в ряд:

Cm = Cm0 + Cm1

про малість збурення

(

H mn′

) і розкла-

+ Cm2 + ...,

E = E 0 + E1 + E 2

+ ... ,

де Cm0 , E0 - незбурені значення, Cm1 , E1 - збурення 1–го порядку відносно зовнішнього збурення. Підставимо ці ряди в (3); отримаємо:

(Cm0 + Cm1 + Cm2 + ...)(E 0 + E1 + E 2 + ... − Em0 )= ∑(Cn0 + Cn1 + Cn2 + ...)Hmn′ .				(*)
Нехай незбурена система перебуває в k -тому стані з хвильовою функцією ψ k0 і
енергією Ek0 . Покладемо E 0 = Ek0 .	В нульовому наближенні хвильова функція ψ k
співпадає з ψ k0 , тому ψ k0 = ∑Cm0ψ m0 ,	звідки ψ k0 = ∑Cm0ψ m0 Cm0	0, m ≠ k	= δmk	. Підстав-
		=
m	n	1, m = k

ляючи цей результат в (*), отримаємо:

(δmk + Cm1 + Cm2 + ...)(Ek0 + Ek1 + Ek2 + ... − Em0 ) = ∑(δnk + Cn1 + Cn2 + ...)H mn′ .

У цій формулі слід прирівняти доданки одного порядку малості. У 1–му наближені:

(Ek0 − Em0 )Cm1 + Ek1δmk = Hmk' , m=1,2, ….

1.	Нехай m = k, отримаємо Ek	= Hkk	= ∫ψ k	H ψ k dV ,			m = 1, 2,... , тобто, Ek дорівнює
	(1)	′	0*	€	′	0	(1)

середньому значенню оператора збурення по хвильовій функції незбуреного стану 2. m ≠ k, Em ≠ Ek (припускається відсутність виродження). Тоді

C1	(E 0	− E0	)= H ′	C1	=	H ′		.
							mk
						E 0	− E 0
m	k	m	mk	m
						k	m

Хвильова функція в наближені 1–го порядку дорівнює:

ψ k = ∑Cmψ m

= Cm = δmk + Cm

= ∑(δmk + Cm )ψ m = ψ k +

∑Cmψ m =

1 0

= ψ k0 + Ck1ψ k0 + ∑Cm1ψ m0 = (1 + Ck1 )ψ k0 + ∑Cm1ψ m0 .

m≠k

Коефіцієнти Ck1

визначаються з умови нормування:

∫

ψ k 2

dV =

1 = ∫ψ k0*ψ k0 dV = ∫ (1 + Ck1* )ψ k0*

+ ∑Cm1 *ψ m0

× (1+ Ck1 )ψ k0* + ∑Cm1ψ m0

dV =

n≠k

m≠k

= ∫(1 + Ck1* )(1+ Ck1 )ψ k0 *ψ k0 dV + ∑∫(1 + Ck1* )Cm1ψ k0*ψ m0 dV + ∑Cm1 * (1 + Ck1 )∫ψ m0*ψ k0 dV +

m≠k

+∑∑Cm1 *Cn1 ∫ψ m0*ψ n0dV = (1 + Ck1* + Ck1 + Ck1*Ck1 )∫

ψ k0

2 dV + ∑∑Cm1 *Cn1δmk =

m≠k n≠k

2 +

∑

2 = 1.

m≠k n≠k

= 1 + C′* + C′

C′

m≠k

Звідси Ck1* + Ck1

= 0 , отже, Ck1

- уявне. Але хвильова функція визначена з точністю до

фазового множника, тому можна покласти Ck1 = 0 .

Отже, рівні енергії і хвильова

функція дорівнюють:

= Ek0 + Hkk' , ψ k

= ψ k0

+ ∑Cm1ψ m0

= ψ k0 + ∑

′ ψ

(4)

Ek0

m≠k

− Em0

Виписуючи члени 2–го порядку малості, отримаємо в 2-му наближені із (*):

(Ek0 − Em0 )Cm2 + Ek1Cm1 + Ek2δmk = ∑Cn1 Hmn' ,

або при m=k:

Ek1Ck1 + Ek2 = ∑Cn1 Hkn' .

Оскільки Ck1 = 0,

то з урахуванням явного виду Cn

отримаємо

E 2

∑

Hkn'

(5)

n≠k

Ek0 − En0

Умова збіжності ряду (5):

Hkn'

Ek0 − En0

(6)

тобто відстань між незбуреними рівнями набагато більша порівняно із збуреними.

§36. Теорія збурень при наявності виродження (НСО)

Може виявитись, що рівні енергії незбуреної задачі вироджені. Це означає, що одній і тій же енергії En0 відповідає декілька станів, які описуються хвильовими фу-

нкціями ψ n01 ,ψ n02 ,...ψ ns0 . Число станів s називають кратністю виродження. Слід чекати, що зовнішнє поле зніме виродження, тобто вироджений рівень енергії розщепиться

на s близьких рівнів, кожному з яких відповідає своя хвильова функція, яка є ліній- ною комбінацією функцій ψ kr0 :

ψ = ∑Ckrψ kr0 .				(1)
		k ,r
Вважатимемо збурення малим і будемо шукати в першому наближенні теорії
збурень близькі рівні енергії, на які розщеплюється вироджений рівень.
Підставимо (1) в рівняння (35.2)	(H	0 + H ′)ψ = Eψ ,		помножимо його на ψ np та
				0*
проінтегруємо по об’єму, тоді отримаємо аналогічно до (35.3) співвідношення:
	0		′
Cnp (E − En		)= ∑Hnp,kr Ckr ,		(2)
		k ,r
де позначено
′		0 *	′ 0
Hnp,kr	= ∫ψ np		H ψ kr dV .
У (2) ми повинні прирівняти доданки першого порядку малості, для цього кое-

фіцієнти Ckr0 слід взяти в нульовому наближенні. Але в нульовому наближенні хви-

льова функція ψ є суперпозицією функції ψ nr0 , тобто Ckr0					відмінні від 0 лише при
k=n. Представивши енергію у (2) у вигляді				E = En0 + E′ , отримаємо замість (2) рів-
няння:
Cp E		s		, або ∑(H pr	− δ pr E	)Cr = 0	(3)
Cp E	′	= ∑H p,r Cr		, або ∑(H pr	− δ pr E	)Cr = 0	(3)
0			0			0
		r =1		r ≠ p

(тут опущено в позначеннях фіксований індекс n).

Система однорідних рівнянь (3) має нетривіальний розв’язок лише в тому ви- падку, якщо обертається в 0 детермінант, складений із коефіцієнтів при невідомих, тобто при умові

H ' − E '	H '	...	H '
11	12		1s
H '	H ' − E '	...	H '	= 0 .
21	22		2 s		(4)
...	...	... ...			(4)
...	...	... ...
H '	H '	...	H ' − E '
s1	s 2		ss

Рівняння (4) називається секулярним. Воно є рівнянням s-го порядку відносно E′ і

має s коренів. Розв’язавши його, знайдемо для E		s-значень:			E1 , E2 ,..., Es . Це означає,
	′		+ E1		′	′	′	+ Es , тобто
що n -й рівень енергії розщеплюються на s підрівнів: En			+ E1	, En		+ E2	,..., En	+ Es , тобто
		0	′		0	′	0	′

замість одного рівня E0 отримаємо s близько розташованих рівнів. Це означає, що

зовнішнє силове поле знімає виродження з даного рівня. В окремих випадках деякі корені секулярного рівняння можуть виявитись рівними між собою, тоді говорять що збурення лише частково знімає виродження в системі.

§37. Теорія нестаціонарних збурень (НСО)

Часто збурення, що діють на квантово-механічну систему, мають нестаціонар- ний характер, тобто залежать від часу. Отже, оператор збурення є функцією часу:

		Вважатимемо стаціонарні стани незбуреної системи відомими,									тобто,
H	' = H '(t ).	Вважатимемо стаціонарні стани незбуреної системи відомими,									тобто,
								i
що нам відомі хвильові функції ψ n0 (r, t )				= ψ n0 (r )e−					Ent , які задовольняють незбуреному
рівнянню Шредінгера

			∂ψ n0 (r, t )				0
							0			(r, t ).
		i	∂t		=	H	0ψ n			(r, t ).	(1)
			∂t

Обмежимось випадком, коли стани незбуреної системи належать дискретному спектру.

При наявності збурення хвильова функція системи ψ задовольняє рівнянню

	∂ψ		+ H ′)ψ .
i	∂t	= (H 0	+ H ′)ψ .	(2)

У нестаціонарному полі енергія системи не зберігається, тому задача полягає не в знаходженні стаціонарних станів збуреної системи, а в обчисленні залежної від часу хвильової функції системи. Метод розв’язання цієї задачі був запропонований П.Діраком. Його часто називають теорією збурень Дірака або методом варіації ста- лих. Розв’язок рівняння (2) у методі варіації сталих представляється у вигляді розк- ладання по власним функціям незбуреної системи:

ψ (r, t )= ∑Ck (t )ψ k0 (r, t ).

(3)

Оскільки хвильові функції

ψ k0 (r, t ) утворюють повну систему функцій, таке розкла-

дання завжди можливе. На відміну від (33.3) коефіцієнти Ck

є функціями часу. Під-

ставимо (3) в (2), дістанемо

dCk

∂ψ k0

dCk

i ∑

ψ k + i ∑Ck

= ∑Ck H 0ψ k +∑Ck H

'ψ k

i ∑

ψ k

(r, t )= ∑Ck H

ψ' k

(r, t ),

∂t

dCk

−

Ek t

i ∑

ψ k

(r )e

∑Ck H

ψ' k

(r )e

(4)

E t

і проінтегруємо отримане рів-

Помножимо рівняння (4) на ψ m0 * (r, t )=ψ m0 * (r )e m

няння по всьому об’єму. Враховуючи умову ортонормування ∫ψ m0 *ψ k0 dV = δmk , отри- маємо:

dCm

= ∑H mk' eiωmk t Ck ,

(5)

0 *

− Ek

де

H mk′

(t ) = ∫ψ m

(r )H

'ψ k

(r )dV , ωmn =

(6)

Система рівнянь (5)

є точною. Вона еквівалентна вихідному рівнянню (2),

оскільки сукупність коефіцієнтів Ck повністю визначає хвильову функцію ψ . Але

зрозуміло, що розв’язання нескінченної системи рівнянь (5) не є більш простою за- дачею, ніж розв’язок вихідного рівняння (2).

Для спрощення системи рівнянь (5) скористаймося малістю збурення. Припус- тимо, що спочатку (при t ≤ 0 ) система була незбуреною і перебувала у деякому ста- ціонарному стані з хвильовою функцією ψ n0 . Тоді у формулі розкладання (3) при

t ≤ 0 всі коефіцієнти, крім n -ного, дорівнюють нулю:

Ck (0) = δkn .

(7)

Починаючи з t = 0 система зазнає дії малого збурення. Вважатимемо, що вна- слідок слабості збурення хвильова функція початкового стану мало змінюється з часом. Тому при t > 0 коефіцієнт Ck шукають у вигляді:

Ck (t ) = Ck0 (t )+ Ck1 (t )+ Ck2 (t )+ ... ,

(8)

де Ck0 (t ≥ 0) = Ck (0) = δkn . Поправки Ck1 (t ) мають той же порядок, що і збурення, Ck2 (t )- квадратичні по збуренню і т. д. Підставимо (8) у (5), прирівнюємо доданки першого порядку малості, знайдемо:

										61
	dCm1 (t )	0	iωmk t			iωmk t		iωmnt
		= ∑Ck (t )e		′			′		′	(9)
i				′			′		′
i				Hmk	=∑δkne H mk			= e H mn .
	dt	k			k

При цьому були опущені всі члени 2–го і більш високого порядку малості по збу- ренню. Інтегруючи (9), отримаємо:

	1	t
Cm1 (t ) =		∫eiωmnt H mn′ (t )dt ≡ Cmn1 (t ).	(10)
	i
		0

Аналогічним чином можна знайти поправки до Cm0 другого і більш високого поряд-

ку малості. Але якщо збурення досить мале, то в розкладанні можна обмежитись малим числом членів. Таким чином, хвильова функція в любий момент часу t>0 може бути знайдена, в принципі, з бажаною точністю.

Квантова теорія не дозволяє передбачити однозначно, якою буде енергія сис- теми після виключення (зняття) збурення, але дозволяє обчислити ймовірність ви- явити систему у стані m з енергією Em , якщо до початку збурення система перебу-

вала в стані n з енергією En . Ця ймовірність, яку позначимо Wmn , зв’язана з коефіці- єнтами Ck (t ) у розкладанні функції стану (3):

Wmn = Cmn* (t )Cmn (t ) =		Cmn (t )		2 .	(11)

Зокрема, згідно з (10), у першому наближені теорії збурень для переходів m ≠ n (11) дає:

З формул (11), (12) випливає, зокрема, що ймовірність прямого і зворотного процесів дорівнюють одна одній: Wmn = Wnm . Це є окремий випадок дуже загальної

закономірності мікросвіту - принципу мікроскопічної оберненості явищ. Звернемось до трактування поняття про ймовірність переходу. Як і всі ймовір-

нісні характеристики в квантовій механіці, величини Wmn набувають статистичного змісту у застосуванні їх до великої кількості однорідних явищ. Нехай відбулось Nn переходів між станом n і різними станами m, причому Nn 1. Тоді числа конкрет- них переходів знаходяться за формулою

Nnm = NnWnm .

(13)

Особливого аналізу заслуговує протікання квантового переходу («скачка») по часу. Нехай відома ймовірність деякого фіксованого переходу n-m за час t і нехай за формулою (13) отримано число переходів, наприклад, 106. У який момент відбувся кожен перехід, розрахувати за допомогою квантової механіки неможливо. І хоч ми знаємо, що перехід настає внаслідок еволюції системи протягом скінченого промі- жку часу t, момент настання кожного з переходів – це зовсім не кінець дії збурення. Отриманий перехід – явище випадкове, а всі 106 переходів відбулись за проміжок часу t.

Відмітимо також, що обчислення ймовірностей переходів за формулами (11), (12) основане на розкладанні (3). Але коефіцієнти розкладання в теорії збурень зна- ходяться за наближеними формулам (8), причому доданки Cmn1 , Cmn2 ,... повинні бути

малими величинами. Оскільки вони зростають з часом, то розраховувати ймовірно- сті переходів по формулі (12) можна лише при невеликому часі дії збурення.

§38. Атом у електричному полі. Ефект Штарка.

Якщо атом помістити у зовнішнє електричне поле, то його енергетичні рівні зміщуються. Це явище називається ефектом Штарка (1913р). Штарк виявив розще- плення ліній серії Бальмера в електричному полі на декілька компонент.

Існує лінійний і нелінійний ефект Штарка. Лінійний притаманний лише водне- подібним атомам. Це пов’язано з тим, що для воднеподібних атомів має місце ви- родження не тільки по магнітному квантовому числу m, але й по орбітальному ква- нтовому числу l. Для всіх інших атомів виродження по l відсутнє, і тому для них лінійний ефект Штарка не спостерігається.

Зміщення рівнів енергії під дією зовнішнього однорідного електричного поля з напруженістю ε визначається додатковим доданком у гамільтоніані


	' = − pε = ε (0, 0,ε ) \|\| Oz	= − pzε = [ p = er ] = −ezε ,	(1)
H	' = − pε = ε (0, 0,ε ) \|\| Oz	= − pzε = [ p = er ] = −ezε ,	(1)

де p = er - дипольний момент атома. Для слабких полів обчислення можна провести за теорією збурень. Зміщення рівнів енергії у першому наближенні визначається відповідними діагональними матричними елементами H nn' . Але для всіх атомів, крім воднеподібних, вони дорівнюють 0. Тому зміщення рівнів у електричному по- лі виявляється ефектом 2–го порядку по E: ∆En ε 2 . Фізично це пояснюється так.

Для атомів при відсутності поля (ε = 0 ) дипольний момент p = 0 , тому взаємодія з полем здійснюється за рахунок поляризації атома, тобто за рахунок індукованого (наведеного) самим полем дипольного моменту. Його величина залежить від харак- теру руху електронів атома і пропорційна ε : p = αε . При зміні поля на нескін- ченно малу величину dε енергія змінюється на величину

dE = − p dε = −αε dε = −αε dε ;

інтегруючи по E від 0 до E, отримаємо повну зміну енергії рівня:

∆En	= −	αn	ε 2 .	(2)

	2

Величина αn називається поляризованістю атома в n–му стані, в зовнішньому елек- тричному полі (в загальному випадку це є αik( n) - тензор).

Розглянемо тепер ефект Штарка в атомі водню. Його основний стан 1s ( n = 1, l = 0, m = 0) не змінюється у першому наближенні при включенні поля, тому

що очікувана добавка до енергії ∫ψ100* H ψ' 100 dV = 0 .

При дослідженні стану з n = 2 слід врахувати, що цей стан чотирикратно виро- джений і тому хвильову функцію в першому наближені представимо у вигляді ком- бінації вироджених станів (§36):

k
ψ = ∑ Ciψ i ,	(3)

i =1

де кожна з функцій ψ	1	=ψ 0	ψ	2	= ψ 0	ψ	3	=ψ 0	ψ	4	= ψ 0	ψ	=ψ 0
	1	200,		2	210,		3	211,		4	21,−1	( i	nl m

збурене рівняння

) задовольняють не-

		0	(4)
	H 0ψ i	= E2ψ i .	(4)

Підставляючи (3) в рівняння (H 0	+ H ')ψ = Eψ , отримаємо систему рівнянь
	∑ Ci	(εδik − Hik' ) = 0 ,	(5)

									63
де	ε =	0		'	*	'	'	= −eε z) . Відмінні від 0 матричні елементи:
де	ε =	E − E2		i Hik	= ∫ψ i H	ψ k dV ,	(H	= −eε z) . Відмінні від 0 матричні елементи:
						H12'	= H21' = −eε ∫ψ 200* z ψ 210 dV = −3eε a ,		(6)
де	a =		2	= 0, 53 10−10 м - борівський радіус. Тому секулярне рівняння (34.4),					яке
де	a =		m e2						яке
			m e2
		0

випливає з (5), матиме вигляд:

	ε	3eε a	0	0
	ε	3eε a	0	0
	3eε a	ε	0	0	= 0 або ε 2 (ε 2 − 9e2 a2ε 2 )= 0 .	(7)
	0	0	ε	0
	0	0	0	ε
4 кореня секулярного	рівняння дорівнюють: ε1 = 3eaε , ε 2 = −3eaε ,					ε3 = ε 4 = 0 . Отже,

при включенні зовнішнього електричного поля 4-кратно вироджений рівень атома водню розщеплюється на 3 рівні. Величина розщеплення рівнів ±3eε a пропорційна

напруженості електричного поля ε . Тому таке розміщення носить назву лінійного ефекту Штарка. В інших атомах лінійний ефект Штарка відсутній, тому що у них рівні з різними числами l вже розщеплені і мають різну енергію, а середній дипо-

льний момент в цих станах дорівнює нулю і, відповідно, матричний елемент H ′ = 0

у першому наближенні.

Під дією зовнішнього електричного поля відбувається ще одна важлива зміна стану атома. На енергію електрона в атомі накладається поле ezε , яке необмежено


зменшується при	z → −∞ (Oz ε ). Через це область великих від’ємних значень ко-
		ординати z стає класично доступною для
	U	атомного електрона, як і область в середині
	eε z	атома. Дві вказані області розділені потенціа-
		атома. Дві вказані області розділені потенціа-
О	z	льним бар’єром. Ширина бар’єру і його висо-
	z	та зменшуються при збільшені напруженості

			Е	поля. З’являється можливість проходження
			Е	атомного електрона через бар’єр і його вихід
				атомного електрона через бар’єр і його вихід
	Ze	2		за межі атома, тобто можливість спонтанної
		2
−

	r	іонізації атома. Для достатньо сильних полів
	r	або високих енергетичних рівнів (великі збу-
		або високих енергетичних рівнів (великі збу-
		дження атомів) ймовірність іонізації наближа-
		ється до 1. Строго кажучи, при наявності зов-

нішнього поля рух атомних електронів стає необмеженим, а тому енергетичний спектр атома із дискретного перетворюється у неперервний.

§39. Атом у магнітному полі. Ефект Зеемана

Розглянемо атом з одним валентним електроном у зовнішньому однорідному

магнітному полі. На електрон будуть діяти одночасно магнітне поле H, кулонівське поле ядра та самоузгоджене поле решти електронів. Останнє будемо вважати сфе- рично-симетричним і позначимо потенціальну енергію електрона у цьому полі че-

рез U (r ), так що у цьому полі зберігаються момент імпульсу M та його проекція M z . У магнітному полі електрон набуває додаткової енергії, якій відповідає гаміль- тоніан збурень

					64

				ɵ	(1)
			H' = −µH ,		(1)

де					(2)
де	µ	= µ o	+ µ s		(2)

- магнітний момент електрона, який складається з орбітального магнітного моменту та спінового магнітного моменту.

Спрямуємо вісь z вздовж магнітного поля. Тоді напруженість поля H – вектор

з компонентою H(0,0,H), тому
									(1')
H' = − zH = −					( oz + sz )H.				(1')
Далі врахуємо зв’язок між магнітним моментом
Далі врахуємо зв’язок між магнітним моментом								µ oz і відповідним орбітальним
моментом M z :
					e
	µ o, z	= −				M z	,		(3)
	µ o, z	= −				M z	,		(3)
			2m0c
та між спіновим магнітним моментом і проекцією спінового моменту
					e ɵ
	µ s, z	= −				s z .			(4)
	µ s, z	= −				s z .			(4)
				m0 c

Ці співвідношення дозволяють записати оператор збурення у вигляді:

	e	ɵ	ɵ
H' =		(M z + 2s z )H = Ω(M z + 2s z ),		(5)
H' =	2m c	(M z + 2s z )H = Ω(M z + 2s z ),		(5)
	0

де Ω = H – так звана Ларморова частота. 2m0c

Враховуючи (5), запишемо рівняння Шредінгера для атома в магнітному полі:

H0ψ + Ω(M z

+ 2sɵz )ψ = Eψ ,

(6)

де H0 – гамільтоніан атома у відсутності магнітного поля ( H=0):

H0ψ 0 = E0ψ 0 , ψ =ψ nlmm = Rnl (r )Ylm (θ ,ϕ )u(ms ) .

(7)

Але функція ψ nlmm є також власною функцією операторів M z

i sz :

M ψ

= m ψ

m = 0, ±1,..., ±l ;

s ψ

= m ψ

, m = ±

(8)

nlmm

z nlmm

завдяки чому рівняння (6) можна переписати у вигляді

0ψ + Ω (m + 2ms )ψ

= Eψ або

(9)

H 0ψ = Eψ ,

де

E' = E − Ω (m + 2ms ) = Enl0 .

(10)

Рівняння (9) точно співпадають по математичній формі з рівнянням Шредінгера (7)

і тому вони мають однаковий енергетичний спектр: E ' = E		= E 0	, звідки
	0	nl
E = Enlmm	= Enl0 + Ω (m + 2ms ) = Enl0 + Ω (m ±1).			(11)
	s

Це означає, що енергія атома починає залежати від величини магнітного поля та від орієнтації моменту імпульсу (квантового числа m ) відносно поля. Отже, в магніт- ному полі рівні, які при його відсутності співпадають, тепер розщеплюються. Це явище відкрито Зееманом і називається ефектом Зеемана. Відмітимо, що самі хви- льові функції електрона в магнітному полі не змінюються, отже атом не деформу- ється магнітним полем.

На малюнку показано розщеплення s- і p –термів. Розщеплення р-рівня отри- мується, якщо перебрати всі можливі значення m при l=1, тобто m = 0, ±1. Розщеп-

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.11.2019108.03 Кб17ЗМ 1 лекція 2.doc
#
26.11.2019115.71 Кб6ЗМ1 лекція 1.doc
#
22.05.201518.13 Кб21Зміст ІНДЗ.docx
#
09.03.2015209.41 Кб38Зоопсихологыя Т.2.doc
#
07.02.2015593.24 Кб58Квантова механіка. Лекції. Модуль 1.pdf
#
07.02.20151.26 Mб27Квантова механіка_Модуль 2.pdf
#
07.02.2015658.8 Кб30Квантова механіка_Модуль 3.pdf
#
07.02.2015743.73 Кб20Квантова механіка_Модуль 4.pdf
#
20.03.2016903.26 Кб32Кенігсбергер Г. Середньовічна Європа 400 - 1500 рр..rtf
#
07.02.201516.41 Mб641Киреев Н. Г. - История Турции. XX век - 2007.pdf
#
07.09.201983.32 Кб18Кислотні опади.docx