Dzhalmuhambetov A.Ju., Fisenko M.A

Наиболее весомый вклад в изучение самоорганизации внесли бельгийский физик русского происхождения Р.И. Пригожин и немецкий физик Г. Хакен. В своих работах Р.И. Пригожин особенно выделял роль неравновесности открытых систем в процессах возникновения структур и порядка из хаоса. Научное направление, изучающее процессы самоорганизации в системах различной природы, Г. Хакен назвал синергетикой, акцентируя внимание в большей степени на совместности функционирования элементов открытой неравновесной системы в процессе самоорганизации.

В открытых системах вдали от равновесия под действием крупномасштабных флуктуаций возникают коллективные формы движения, называемые модами по аналогии с излучением лазера. Между модами возникает конкуренция, происходит отбор наиболее устойчивых из них, что приводит к спонтанному возникновению макроскопических структур. Такие системы имеют множество вариантов развития. В точке бифуркации (точке раздвоения) происходит выбор пути, приобретение нового качества. В роли созидающего начала здесь выступает хаос. При этом мельчайшее возмущение, флуктуация могут служить толчком, определяющим выбор пути к макроскопическому результату. Так, например, происходит переход лазера в состояние генерации когерентного излучения, когда из огромного множества оптических мод доминирующими становятся лишь некоторые, вбирающие в себя энергию накачки. Процессы самоорганизации описываются нелинейными уравнениями и имеют пороговый характер.

Заслугой неравновесной термодинамики, значительный вклад в развитие которой внесли представители Брюссельской школы во главе с И. Пригожиным, является установление того факта, что самоорганизация является общим свойством открытых систем. При этом именно неравновесность служит источником упорядоченности. Основная трудность, которая возникает при анализе процессов самоорганизации, состоит в том, что нельзя пользоваться представлениями линейной термодинамики необратимых процессов. Предположение о существовании линейных соотношений между потоками и термодинамическими силами здесь оказывается несправедливым, поскольку формирование структур происходит вдали от равновесия. Поясним это на примерах.

Обсудим основные закономерности перехода ламинарного течения жидкости в турбулентное на примере теченияводы. При термодинамическом равновесии вода находится в покое. Нарушим равновесие, создав, например, градиент давления. Вода начнет перемещаться в сторону меньших давлений, как в трубе при напоре. До некоторой критической скорости течение будет ламинарным, то есть вода будет перемещаться слоями, параллельными направлению течения. В этом случае потоки и термодинамические силы связаны линейными соотношениями. Если скорость движения воды V превысит некоторое критическое значение Vc, то картина движения жидкости коренным образом изменится: поток станет турбулентным (рис. 7). В этом состоя-

81

нии, соответствующем большим отклонениям от равновесия, необходимо учитывать нелинейность, вызванную резко возросшими диссипативными процессами, тот естьпроцессами рассеяния энергии потока жидкости.

Рис. 7. Движение жидкости:

а– термодинамическое равновесие; б – ламинарное течение V < Vc;

в– турбулентное течение V > Vc

Проблема перехода к турбулентности в гидродинамических течениях – одна из самых трудных проблем в классической физике. Надежного количественного описания возникновения турбулентности до сих пор нет.

Одна из картин возникновения турбулентности предложена Л.Д. Ландау в 1944 г. Зарождение турбулентности по мере увеличения скорости или числа Рейнольдса происходит, согласно Ландау, следующим образом. По определению, число Рейнольдса Re = VL/v, где v – коэффициент вязкости, деленный на плотность, а L – характерный линейный размер, фигурирующий в задаче. С увеличением числа Рейнольдса при превышении порогового значения критической скорости или критического числа Recr некоторые из малых возмущений, которые всегда существуют вследствие флуктуации, перестают затухать. Система теряет устойчивость и переходит в новый периодический режим. В этом случае говорят о первой бифуркации (бифуркации Хопфа). При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса новый периодический режим опять становится неустойчивым, возникают незатухающие колебания, по крайней мере, еще с одной частотой и так далее. Ландау предположил, что если двигаться от стационарного течения при малых Re в область увеличения Re, то «интервалы между числами Рейнольдса, соответствующими последовательному появлению новых частот, быстро сокращаются. Что касается вновь появляющихся движений, то они имеют все более мелкие масштабы». Таким образом, согласно Ландау, турбулентность есть результат последовательной потери устойчивости течений с менее сложной структурой с формированием течений с более сложной структурой.

В качестве другого примера рассмотрим образование ячеек Бенара в жидкости. Ячейки Бенара в неравновесной термодинамике играют исключительную роль, поскольку в этом явлении отчетливо проявляются все основные черты термодинамики необратимых процессов.

Если слой жидкости сильно нагреть, то возникнет инверсный градиент температур Т между нижней и верхней поверхностями (рис. 8). Жидкость у нижней поверхности вследствие теплового расширения имеет меньшую плотность, чем вблизи верхней поверхности. Из-за наличия силы

82

тяжести и архимедовой силы система оказывается неустойчивой, поскольку легкий нижний слой и тяжелый верхний стремятся поменяться местами.

Рис. 8. Эффект Бенара. Сечение сосуда, нагреваемого снизу

Однако вследствие вязкости жидкости при небольших градиентах температуры движение не возникает и тепло передается только путем теплопроводности. Лишь при достижении критического значения температурного градиента появляется конвекционный поток, обладающий характерной структурой в виде шестиугольных ячеек (рис. 9).

Рис. 9. Эффект Бенара:

а– вид сверху на ячейки; б – отдельная ячейка.

Взатемненном ядре ячейки жидкость движется вверх

Внутри ячеек жидкость поднимается вверх, а по краям опускается вниз. Экспериментально наблюдать эффект Бенара можно, например, с помощью следующего простого устройства: на сковородку диаметром около 20 см, подогреваемую снизу горячей водой, наливается слой минерального масла толщиной примерно 0,5 см. Чтобы увидеть потоки в жидкости, к маслу подмешиваются мелкие алюминиевые опилки, равномерно распределенные в объеме жидкости.

По сравнению со слабонеоднородным распределением параметров в покоящейся жидкости конвекционные ячейки являются более высоко организованной структурой, возникающей в результате коллективного движения молекул в жидкости. Поскольку система обменивается со средой только теплом и в стационарных условиях получает (при температуре T1) такое же количество тепла q, что и отдает (при температуре T2 < T1), то выходит, что система отдает энтропию среде ( S = q/T1 – q/T2 < 0).

Иными словами, внутренняя структура или самоорганизация поддерживается за счет поглощения отрицательной энтропии (негэнтропией).

Ячейки Бенара, если говорить упрощенно, как бы в миниатюре воспроизводят условия, необходимые для существования жизни на Земле. Земля получает высококачественную энергию от Солнца, перерабатывает

83

энергию, что сопровождается ростом энтропии, и выбрасывает ее в космическое пространство вместе с наработанной энтропией. Именно это обстоятельство обеспечивает жизнедеятельность на Земле.

В качестве еще одного примера физической системы, упорядоченность которой есть следствие внешнего воздействия, рассмотрим лазер. При самом грубом описании газовый лазер – это стеклянная трубка с рабочим веществом, в которую поступает свет от некогерентного источника (обычной лампы), а выходит из нее узконаправленный когерентный световой пучок, при этом выделяется некоторое количества тепла (рис. 10).

Рис. 10. Лазер как самоорганизующаяся система

При малой мощности накачки электромагнитные волны, которые испускает лазер, некоррелированные, и излучение подобно излучению обычной лампы. Такое некогерентное излучение – это шум, хаос. При повышении внешнего воздействия в виде накачки до порогового критического значения некогерентный шум преобразуется в «чистый тон», то есть испускается чисто синусоидальная волна – отдельные атомы ведут себя строго коррелированным образом, то есть самоорганизуются.

В сверхкритической области режим «обычной лампы» оказывается нестабильным, а лазерный режим стабильным (см. рис. 11). Видно, что образование структуры в жидкости и в лазере формально описывается весьма сходным образом. Аналогия связана с наличием тех же самых типов бифуркаций в соответствующих динамических уровнях.

Рис. 11. Излучение лазера в докритической и сверхкритической области

84

До сих пор мы приводили примеры образования пространственных структур. Структуры могут образовываться и во времени, их называют временными.

Рис. 12. Изменение численности рысей и зайцев-беляков.

На оси ординат отложена численность в тысячах, на оси абсцисс – годы. (Рисунок с сайта www.globalchange.umich.edu)

Известным примером временных структур может служить эволюция численности зайцев-беляков и рысей, которая характеризуется колебаниями во времени. На рисунке 12 показано изменение числа рысей и зайцевбеляков, установленное по числу заготовленных шкурок, полученных компанией «Хадсон Бей» на протяжении 90 лет.

Количественные изменения популяции определяются многими факторами, однако для качественного объяснения временной корреляции на рисунке 12 можно ограничиться одним наиболее существенным фактором. Рыси питаются зайцами, а зайцы поедают растительный корм, который имеется в неограниченном количестве. Теперь легко понять колебания численности животных. Возрастание числа зайцев приводит к росту запасов доступной пищи у рысей, поэтому они начинают интенсивно размножаться и их число увеличивается. На каком-то этапе рысей становится так много, что уничтожение зайцев происходит очень быстро. Число зайцев начинает убывать. Запасы пищи у рысей уменьшаются, и соответственно уменьшается их численность. В результате число зайцев увеличивается. Рыси снова начинают размножаться, и все повторяется сначала.

Рассмотренный пример известен под названием процесса хищникжертва или процесса Лотки-Вольтерра. Модель Лотки-Вольтерра описывает не только колебания популяций в экологии, она является также моделью незатухающих концентрационных колебаний в химических системах. Конечно, модель Лотки-Вольтерра является идеализацией. Однако от этого ее значение не уменьшается. С термодинамической точки зрения эта модель интересна тем, что описываемый ею процесс занимает промежуточное по-

85

ложение между устойчивым стационарным состоянием с минимальным производством энтропии и периодическим процессом с предельным циклом. В случае предельного цикла система из любого состояния приближается со временем к такому периодическому движению (предельному циклу), характеристики которого определяются свойствами самой системы.

Помимо пространственных и временных структур, рассмотренных выше, возможно образование в результате самоорганизации пространст- венно-временных структур. Множество примеров такого рода дают химические реакции. Одной из первых исследованных и наиболее впечатляющих реакций этого типа является реакция Белоусова – Жаботинского.

В термостатированной колбе исследуются окислительно-восстанови- тельные реакции Се3+-Се4+ , Се4+-Се3+ в растворе серной кислоты H2SO4,

малоновой кислоты СН2(СООН)2, сульфата церия Се2(SO4)3 и бромида калия КВгО3. При добавлении в раствор индикатора окислительно-восста- новительных реакций (ферроина) можно следить за ходом реакции по изменению цвета или, более точно, по спектральному поглощению. При достаточно высокой концентрации веществ, участвующих в реакции, наблюдаются весьма необычные явления. Цвет раствора периодически (при определенных концентрациях, например, каждые четыре минуты) меняется от красного (избыток Ce3+) до синего (избыток Се4+). Кривая изменения цвета показывает, что имеют место типичные релаксационные колебания, то есть колебания, форма которых сильно отличается от синусоидальной. При определенных концентрациях после некоторого числа колебаний спонтанно возникают неоднородности концентрации и образуются устойчивые красные и синие слои, которые можно наблюдать примерно в течение 30 минут. Так как реакция идет в замкнутой системе, система, в конце концов, приходит в однородное равновесное состояние.

Интерес к химическим колебаниям определялся надеждой понять механизм периодических биологических процессов. Хорошо известно чувство времени у многих биологических объектов, начиная от простейших и кончая высокоорганизованными. Точность хода этих часов бывает поразительна. В некоторых случаях она достигает нескольких минут или даже секунд в сутки. Загадка биологических часов способствовала резкому увеличению исследований в области химических и биологических колебаний.

Образование структур в жидкости, химически реагирующих системах и живой природе имеет много общего. Все рассмотренные явления, несмотря на их многообразие,проявляют определенное сходство: в ходе неравновесного процесса из пространственно однородного состояния самопроизвольно возникает пространственная или временная структура. По терминологии И. Пригожина, такие структуры называют диссипативными.

Диссипативные структуры образуются в открытых системах, то есть в системах, способных обмениваться веществом и энергией с внешней средой. В системах, где возможно формирование структур, второе начало не

86

нарушается. Оно лишь проявляется в более общем виде, уточняя условия структурирования системы. А именно, стационарная неравновесная система, имеющая диссипативную структуру, должна потреблять отрицательную энтропию. С законом возрастания энтропии здесь все в порядке. Если диссипативные структуры возникают как очаги внутри большой изолированной системы, то суммарная энтропия будет возрастать. Более того, в расширенной системе, включающей диссипативные структуры, скорость возникновения энтропии выше за счет интенсивной генерации энтропии в структурных очагах.

Совместимость второго начала термодинамики со способностью к самоорганизации – одно из крупнейших достижений современной термодинамики. Существование диссипативных структур «легализовало» существование жизни. И. Пригожин пишет: «Жизнь больше не выглядит как островок сопротивления второму началу термодинамики или как деятельность каких-то демонов Максвелла. Она возникает теперь как следствие общих законов физики с присущей ей специфической кинетикой химических реакций, протекающих в далеких от равновесия условиях. Благодаря этим специальным кинетическим законам потоки энергии и вещества создают флуктуационный и структурный порядок в открытых системах».

Возникновение диссипативных структур носит пороговый характер. Неравновесная термодинамика связала пороговый характер с неустойчивостью, обратив внимание, что новая структура всегда является результатом неустойчивости и возникает из флуктуации. Кратко говорят о порядке через флуктуации. В докритическом режиме флуктуации будут затухать. В рассмотренном выше примере образования ячеек Бенара при малых разностях температур возникающие флуктуационные конвективные потоки будут рассасываться за счет действия сил вязкого трения. В сверхкритическом режиме, то есть выше порога, флуктуации уже не рассасываются. Они усиливаются, достигают макроскопического уровня и делают устойчивым новый режим, новую структуру, которая возникает вслед за неустойчивостью. Таким образом, пороговый характер самоорганизации связан с переходом одного устойчивого стационарного состояния в другое.

Условия, вызывающие появление новой структуры, способствуют кооперативному поведению микропроцессов системы в противоположность обычной тенденции к хаотическому поведению. При термодинамическом равновесии вероятность того, что макроскопическое число молекул спонтанно организуется в регулярный поток или сфазированный коллектив пренебрежимо мала. Система может образовать упорядоченные структуры только вследствие того, что внешние ограничения (температурный градиент, поле излучения) удерживают систему вдали от равновесия. Во всех этих явлениях самоорганизации проявляется новый принцип упорядочения, несводимый к больцмановскому принципухаотизации.

87

Самоорганизация в системе связана с формированием структуры более сложной, чем первоначальная. Такой переход сопровождается понижением порядка симметрии. Существует образное выражение «порядок есть нарушение симметрии». Если взять, например, пустое пространство, то оно в высшей степени симметрично: любая точка подобна любой другой и ни в одной точке нет внутреннего различия между разными направлениями. Появление структуры сразу понижает порядок симметрии. Например, возникновение гексагональных ячеек Бенара приводит к тому, что уже не все точки пространства и не все направления эквивалентны.

Изучением общих закономерностей процессов самоорганизации в системах различной природы занимается научная дисциплина – синергетика. Она охватывает физику, химию, биологию, социологию, языкознание, лингвистику и ищет общие аналогии и закономерности. Таким образом, синергетика – это наука о поведении сложных нелинейных систем, характеризующихся переходами из одного типа эволюции в другой.

Задачи с решениями

Задача 1.10.1. Рассмотрите простейшую модель одномодового лазера, как самоорганизующейся системы, и запишите нелинейное уравнение, описывающее динамикуизменения числа фотонов.Определите порог генерации.

Решение. Лазер – это устройство, в котором в процессе стимулированного излучения порождаются фотоны. Скорость изменения со временем числа фотонов n определяется уравнением вида:

Первое слагаемое в правой части уравнения есть скорость прироста числа фотонов, обусловленного стимулированным излучением, пропорциональная числу уже имеющихся фотонов n и числу возбужденных атомов N, а G – коэффициент усиления.

Второе слагаемое отражает потери, которые обусловлены уходом фотонов через торцы лазера. Скорость ухода пропорциональна числу имеющихся фотонов. Коэффициент в этом слагаемом равен 2 1/t0 , где t0 – время жизни фотона в лазере.

Теперь следует учесть одно важное обстоятельство, которое делает уравнение (1) нелинейным. Число возбужденных атомов уменьшается за счет испускания фотонов. Это уменьшение N пропорционально числу имеющихся в лазере фотонов, поскольку эти фотоны постоянно заставля-

88

где N0 – число возбужденных атомов, поддерживаемое внешней накачкой, в отсутствии лазерной генерации. Подставляя (2) в уравнение (1), получаем основное уравнение упрощенной лазерной модели:

Здесь положительный постоянный коэффициент k1 = αG. Коэффициент k дается выражением:

знак которого определяется величиной N0. Если число возбужденных атомов N0, создаваемых накачкой, невелико, то значение коэффициента k положительно. В этом случае лазерной генерации нет. При больших значениях N0 коэффициент k может стать отрицательным,и тогда лазер переходит в режим генерации. Изменение знака происходит в точке бифуркации,когда:

GN0 = 2χ. (5)

Это условие есть условие порога лазерной генерации. Ниже или выше порога лазер работает в совершено разных режимах.

Вопросы для самоконтроля

1.Что такое бифуркация? Приведите примеры бифуркаций.

2.Как может сочетаться понижение энтропии в открытой неравновесной системе со вторым законом термодинамики?

3.Приведите примеры образования структур разного типа в результате самоорганизации открытых диссипативных систем.

89

2.Задачи для самостоятельного решения

2.1.Фундаментальные частицы и взаимодействия. Естественная система единиц

1.1.В естественной системе единиц принимается = c = 1. Запишите в естественной системе единиц формулы закона Кулона и закона всемирного тяготения. Найдите безразмерные константы электромагнитного и гравитационного взаимодействий.

1.2.Запишите в естественной системе единиц формулы для энергии ионизации атома водорода и для классического радиуса электрона.

1.3.Используя соотношения, содержащие мировые физические константы, получите выражения для планковской длины и планковского интервала времени.

1.4.Получите выражения для планковской энергии и планковской температуры. Вычислите их, а также вычислите планковскую массу и планковскую плотность материи.

1.5.Определите кварковый состав квартета барионов: ++, +, 0 и –, если известно,что указанные барионы состоят из кварков первогопоколения.

1.6.Какое количество энергии выделяется в процессе бета-распада свободного нейтрона: n p e e ?

1.7.Масса -мезона приблизительно в 270 раз больше массы электрона. Пользуясь соотношением неопределенностей оцените время жизни виртуального -мезона и сравните его со временем жизни реального -мезона. На какое максимальное расстояние сможет переместиться виртуальный-мезон? Сравните это расстояние с радиусом ядра.

1.8.Оцените отношение кулоновских и гравитационных сил взаимодействия нуклонов в атомном ядре.

1.9.Пользуясь соотношением неопределенностей Гейзенберга и зная размеры ядра, оцените кинетическую энергию нуклона в атомном ядре. Сравните ее с энергией покоя нуклона.

1.10.Зная размеры атома, оцените кинетическую энергию электрона в атоме. Сравните ее с потенциальной энергией и энергией покоя электрона.

1.11.Энергия стационарных состояний атома водорода выражается в единицах СИ формулой:

Используя соотношения, связывающие физические величины, выраженные в естественной системе единиц (ЕСЕ), с их значениями в единицах СИ покажите, что в ЕСЕ эта формула имеет вид:

En 2me 12 , 2 n

где n – главное квантовое число. Объясните, почему в это выражение постоянная тонкой структуры входит в квадрате.

90