Dzhalmuhambetov A.Ju., Fisenko M.A

ской механики (бифуркации, динамический хаос). Квантовая механика, введя вероятностное предсказание последующих состояний системы, в корне изменила представления о причинной эволюции состояний.

Еще в рамках классической механики было показано, что принцип причинности можно выразить и с помощью вариационных принципов, важнейшим из которых является принцип наименьшего действия. Действие при движении системы от момента времени t1 к моменту t2 определяется интегралом:

где L(q, q, t) – функция Лагранжа, характеризующая динамические свойства системы, ее внутренние и внешние взаимодействия, q – обобщенные координаты, q – обобщенные скорости системы.

Центральная роль действия в физике обусловлена существованием основного закона физики – принципа наименьшего действия, согласно которому для реального движения системы величина действия экстремальна – его вариация обращается в нуль:

Из инвариантности действия относительно соответствующих преобразований симметрии следуют упоминавшиеся выше законы сохранения: в частности энергии, импульса и углового момента.

Из принципа наименьшего действия можно вывести динамические

Если ввести для описаниявзаимодействий в системе функцию Гамильтона:

где pi L qi – обобщенные импульсы, динамика системы будет подчиняться каноническим уравнениям Гамильтона:

Они также описывают причинные изменения классических систем с течением времени.

Принцип наименьшего действия позволяет получить уравнения движения не только для системы частиц, но и для полей, в том числе и для квантованных полей. Для поля действие определяется как интеграл в четырехмерном пространстве-времени:

где L(x) – плотность функции Лагранжа, называемая лагранжианом;

x (ct,r) – координата мировой точки; d4x (cdt,dr). При таком подходе

41

построение теории элементарных частиц сводится к нахождению фундаментального лагранжиана, описывающего рассматриваемые поля, частицы и взаимодействия междуними.

Уравнения электромагнитного поля также следуют из принципа наименьшего действия. Если электромагнитное поле в вакууме характеризовать электрической напряженностью E(r,t) и магнитной индукцией

B(r,t), то причинная связь этих характеристик с распределением плотно-

стей зарядов и токов j выражается системой дифференциальных уравнений Максвелла:

где 0 и 0 – электрическая и магнитная постоянные, связанные со скоростью света в вакууме: 0 0 c 2 . Найти векторные поля E(r,t) и B(r,t) можно, решив систему уравнений Максвелла при заданных начальных или граничных условиях.

Рассмотренные выше динамические уравнения являются обратимыми. Это означает, что в них можно заменить переменную времени t на переменную, взятую с противоположным знаком (–t). И тогда эти уравнения будут по состоянию системы в данный момент времени определять состояния в предыдущие моменты. Но в реальности события разворачиваются всегда так, что время имеет только одно направление. Поэтому применимость динамических уравнений, описывающих идеализированные системы, ограничена. Обычно в динамике эти ограничения накладываются искусственно. Например, отбрасываются решения уравнений, соответствующие отрицательному времени.

В релятивистской физике принцип причинности накладывает ограни-

Причинно связанными могут быть только такие события, для которых квадрат (времениподобного) интервала положителен. Только для таких событий имеют смысл слова «раньше» и «позже».

Квантовый детерминизм. Волновая функция и оператор эволюции

В нерелятивистской квантовой физике состояния системы описываются вектором состояния (t) или волновой функцией (r,t) r (t),

а ее взаимодействия описываются оператором Гамильтона Hˆ . Принцип причинности выражается уравнением Шредингера:

42

которое тоже может быть получено из принципа наименьшего действия. Решение этого уравнения позволяет в принципе найти волновую функцию(r,t) системы в момент времени t, если известна волновая функция(r,0) в начальный момент времени. Но в отличие от решения классических уравнений, которые в момент t определяют координаты и скорости

классического детерминизма, то есть состояния определяются статистически – амплитудой (r,t) вероятности. Если в классической механике по начальным значениям координат и импульсов частиц можно однозначно определить их значения в последующие моменты времени, то в квантовой механике, во-первых, невозможно одновременно определить координаты и импульсы частиц (принцип неопределенностей), а во-вторых, в последующие моменты времени можно найти только вероятности значений координат и импульсов.

Уравнение Шредингера, также как и классические динамические уравнения, является обратимым во времени. Поэтому направление времени необходимо задавать дополнительно. Рассмотрим, каким образом это делается в физике.

Формальное решение уравнения Шредингера можно записать в виде:

где постоянная Планка принята за единицу ( = 1). В этой формуле видно,

как задается положительное направление времени. Задать направление времени можно иначе, если представить оператор эволюции интегралом:

( + 0), определяющая правило обхода (сверху) полюсов запаздывающей функции (оператора) Грина:

43

Итак, правило обхода сверху полюсов функции Грина устраняет обратимость уравнения Шредингера (рис. 4).

t < 0

Hˆ i

t > 0

Рис. 4. Схема обхода полюсов запаздывающей функции Грина

Для решения квантово-механических задач методами теории возмущений гамильтониан системы представляют в виде:

(6.14)

где Hˆ0 – гамильтониан невозмущенной системы, а Vˆ – оператор возмущения. В этом случае функция Грина находится как решение операторного уравнения Дайсона:

Аналогичный учет необратимости времени, когда состояние системы в данный момент времени может зависеть лишь от состояний в более ранние моменты, приводит к так называемым дисперсионным соотношениям. В качестве примера можно привести соотношения Крамерса-Кронига:

где ( ) и ( ) – действительная и мнимая части диэлектрической про-

ницаемости, зависящие от частоты поля , – удельная проводимость среды. Здесь P означает, что интегралы берутся в смысле главного значения. Таким образом, устанавливается взаимосвязь преломления электромагнитных волн, характеризуемого действительной частью ( ), с их поглощением средой, которое определяется мнимой частью ( ) диэлектрической проницаемости.

44

Фазовые траектории. Нелинейность и динамический хаос

Движение классической динамической системы можно наглядно геометрически интерпретировать, если ввести понятие фазовой траектории. Под фазовым пространством системы понимают декартово пространство всех координат и импульсов частиц системы. Размерность фазового пространства системы N частиц равна 6N. Состояние системы в данный момент времени характеризуется фазовой точкой. Изменение состояния системы приводит к изменению положения этой точки в фазовом пространстве. Процесс последовательного изменения состояний отражает фазовая траектория системы, описывающая ее динамику. В силу единственности решения динамических уравнений фазовая траекторияне может самопересекаться.

В этих условиях обратимость во времени динамических уравнений, определяющих последовательность положений фазовой точки, означает следующее. Если в какой-либо момент времени заменить в уравнениях время t на (–t), то фазовая точка вернется в исходное положение, двигаясь по фазовой траектории в обратном порядке. И.Р. Пригожин и его последователи подвергли глубокому критическому анализу вопрос об обратимости динамических систем.

Под классической детерминированностью подразумевают однозначную взаимосвязь причины и следствия. Детерминированный закон осуществляет строго однозначное преобразование начального состояния в будущее состояние для любого t > t0. В противоположность детерминированности говорят о хаосе, под которым подразумевают случайный непредсказуемый характер состояний и процессов. Для анализа движения оказывается чрезвычайно важным, являются ли динамические уравнения линейными или нелинейными. Например, уравнения Максвелла в вакууме являются линейными, так как электромагнитное взаимодействие является линейным, то есть для векторов поля E(r,t) и B(r,t) имеет место принцип суперпозиции. Уравнение Шредингера для микрочастиц также является линейным, так как оно отвечает принципу суперпозиции для амплитуд вероятностиa1 1 a2 2 . Линейность или нелинейность классических уравнений Ньютона, Лагранжа и Гамильтона зависит от вида силовой функции или функций Лагранжа и Гамильтона, соответственно.

Исследования последних десятилетий показали, что в нелинейных детерминированных динамических системах с потерей энергии (диссипативных) незамкнутая фазовая траектория может стремиться к ограниченной области фазового пространства – странному аттрактору. Фазовая траектория в таких областях является неустойчивой, что приводит к хаотичности состояния системы – динамическому хаосу. Другими словами строго детерминированные законы могут приводитьк статистическим закономерностям.

45

Термодинамические системы. Уравнение Лиувилля

Под термодинамическими системами обычно понимают многочастичные системы, для которых при неизменной плотности (N/V = const) можно устремить к бесконечности число частиц и объем (N , V ). Их макроскопические состояния описываются статистически. Для этого вводится понятие ансамбля. Под ансамблем понимают множество копий системы, макроскопические состояния которых такие же, как у рассматриваемой термодинамической системы, а микросостояния (фазовые точки) с той или иной вероятностью распределены в фазовом пространстве. В классической физике ансамблю соответствует функция распределения (q, p, t), имеющая смысл плотности вероятности обнаружить в момент времени t фазовую точку системы в элементе фазового объема с фазовыми коорди-

натами (q1, q2, … q3N, p1, … p3N).

Изменения состояний, происходящие с течением времени, описываются уравнением Лиувилля:

где H = H(q, p, t) – классическая функция Гамильтона системы. Функция распределения нормируется условием

Если известна функция распределения, то термодинамические величины находятся как средние по распределению. Например, энергия макросистемы равна:

К числу важнейших термодинамических величин относится энтропия. Она является мерой недостатка информации о системе или мерой хаотичности движения частиц и определяется следующим образом:

где k – постоянная Больцмана, h3N – элементарный фазовый объем, приходящийся на одно квантовое состояние.

В квантовой статистической физике ансамбль макросистем описывается квантовым аналогом функции распределения – матрицей плотности или статистическим оператором ˆ . Матрица плотности подчиняется уравнению фон Неймана, которое часто называют квантово-механическим уравнением Лиувилля:

46

В квантовой физике энтропия определяется посредством матрицы плотности формулой, аналогичной классическому определению (6.22):

Постоянную Больцмана в определениях (6.22) и (6.26) можно положить равной единице, если температуру выражать в энергетических единицах. По своему статистическому смыслу энтропия является мерой хаотичности движения частиц системы или мерой недостатка упорядоченности.

Уравнение Лиувилля наиболее полным образом описывает эволюцию термодинамической системы с течением времени. Оно является обратимым, хотя о строгом его решении для реальных макросистем не может идти и речи, так велико число переменных. Уравнение Лиувилля позволяет в результате использования различных методов сокращенного описания получать кинетические уравнения с относительно небольшим числом переменных. Кинетические уравнения являются необратимыми.

Закон возрастания энтропии и необратимость времени

Замкнутые термодинамические системы, предоставленные самим себе, релаксируют к равновесному состоянию. При равновесии системы выполняется условие ( / t) = 0. В этом случае функция распределения является интегралом движения, также как и гамильтониан. Функция распределения замкнутой системы может быть записана в виде:

где W – число микросостояний, отвечающих данному макросостоянию. Энтропия в этом случае выражается формулой:

Состояние статистического равновесия достигается замкнутой системой самопроизвольно, как результат движения и взаимодействия её составляющих частиц. Можно рассмотреть процесс перехода системы в равновесное состояние как последовательность ряда неравновесных макроскопических состояний с одинаковой энергией. Энтропия является макроскопической величиной, которая характеризует отклонение состояний системы от равновесного состояния и описывает направленность процессов в замкнутой системе.

Макросостояния замкнутой неравновесной системы изменяются до наступления равновесия. При этом система последовательно переходит из менее вероятных состояний в более вероятные состояния, то есть последовательно возрастает энтропия системы. В равновесии энтропия системы достигает своего максимального значения. Внутреннее движение при рав-

47

новесии не прекращается. Однако смена микросостояний происходит таким образом, что макроскопическое состояние остаётся неизменным. Для замкнутой классической системы смене микросостояний соответствует движение фазовой точки по фазовой поверхности постоянной энергии, которая является аттрактором.

Итак, энтропия замкнутой системы не убывает – она возрастает или в предельном случае полного равновесия остается постоянной:

dS /dt 0. (6.29)

Это утверждение называется законом возрастания энтропии. Смысл энтропии как параметра, характеризующего макросостояние, в том и состоит, что энтропия показывает степень неравновесности системы: отклонение от равновесия тем больше, чем меньше энтропия. Закон возрастания энтропии замкнутой системы задает направление времени или по определению А. Эддингтона «стрелу времени» в термодинамических процессах, протекающих в макросистемах.

Закон возрастания энтропии соответствует второму закону термодинамики, выражаемомунеравенством Клаузиуса:

Здесь Q – количество теплоты, полученной системой (для замкнутой системы Q = 0). С учетом первого закона термодинамики Q = U + A получаем неравенство:

где A – работа, совершаемая системой. В равновесном или обратимом процессе система проходит через равновесные состояния, а в рассмотренном выше соотношении берется знак равенства.

С энтропией как величиной, характеризующей степень внутренней организации (точнее ее недостатка) многочастичной системы, тесно связано понятие информации. Неравновесному состоянию макросистемы соответствует меньшая энтропия, чем равновесному. Но в неравновесном состоянии мы можем иметь больше информации о системе, чем в равновесном. Другими словами, чем меньше энтропия, тем большую информацию мы можем иметь о системе. Поэтому отрицательную энтропию или негаэнтропию рассматривают как меру возможной информации о системе. Следовательно, информацию можно определить как разность энтропии

Рассмотрим следующий пример. Пусть имеется N атомов, каждый из которых может находиться в одном из двух состояний. Пример микросостояния такой системы приведен в следующей таблице:

... …

48

Если состояниям атомов поставить в соответствие цифры 1 или 0, то каждое микросостояние можно охарактеризовать одним из 2N двоичных чисел:

1 0 0 1 1 0 0 … … 0 1 0 1

Пусть система находится в равновесном состоянии. Так как каждый атом с равной вероятностью может находиться в любом из двух состояний, число микросостояний W0 = 2N. (Если энергии состояний отличаются незначительно, то количество атомов в состоянии 1 приблизительно равно числу атомов в состоянии 0). Энтропия состояния максимальна и равна по величине:

S0 klnW0 Nkln2,

а информация о системе равна нулю:

I0 S0 S0 0.

Пусть теперь состояние одного из атомов зафиксировано, то есть мы знаем, в каком из двух состояний он находится. Тогда число микросостояний, отвечающих данному макроскопическому состоянию системы, уменьшается до W1 = 2N–1. Энтропия и информация соответственно равны:

S1 klnW1 (N 1)kln2, I1 S0 S1 kln2.

Если зафиксировать состояние двух атомов, то энтропия и информация будут равны:

S2 klnW2 (N 2)kln2, I2 S0 S2 2 kln2.

Продолжая этот процесс до конца, придем к такому состоянию системы, когда каждый атом однозначно будет находиться в определенном состоянии: WN = 1. В этом случае энтропия системы равна нулю, а информация о системе максимальна:

Отсюда видно, что в единицах СИ минимальный объем информации как физической величины, называемый битом, равен:

I 1бит kln2 0,956 10 23 Дж/К.

Итак, информация является мерой упорядоченности в системе. Мерой же беспорядка или хаоса является энтропия.

Задачи с решениями

Задача 1.6.1. Показать, что уравнение Лагранжа для материальной точки, движущейся в одномерном потенциальном поле U(x), эквивалентно динамическому уравнению Ньютона.

Решение. Рассматриваемая система имеет одну степень свободы. Ее функция Лагранжа представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий, выраженных как функции координаты x и скорости материальной точки x:

L mx2 U(x) 2

49

Уравнение Лагранжа системы с одной степенью свободы имеет вид:

d L L 0. dt x x

Вычислив производные функции Лагранжа, получаем уравнение:

mx U ,

x

которое представляет собой динамическое уравнение точки, где взятый со знаком минус градиент потенциальной энергии равен проекции силы, действующей на точку со стороны поля.

Задача 1.6.2. Из принципа наименьшего действия вывести уравнение Шредингера для частицы в потенциальном поле U(r , t), задав плотность функции Лагранжа комплексного скалярного поля (r,t) в виде:

При варьировании действия по * уравнение Эйлера-Лагранжа данной вариационной задачи примет вид:

Подставив их в уравнение Эйлера-Лагранжа, находим уравнение поля :

i 2 2 U .

t 2m

Это уравнение Шредингера для волновой функции нерелятивистской частицы в потенциальном поле U (r , t), если и m – постоянная Планка и

масса частицы.

Задача 1.6.3. В изолированной от внешней среды системе, состоящей из двух металлических тел одинаковой теплоемкости C, разделенных перегородкой с малой теплопроводностью, устанавливается тепловое равновесие. Начальные температуры тел равны T1 и T2. Определите уменьшение информации о системе в процессе установления равновесия, то есть в процессе ее хаотизации.

50