Dzhalmuhambetov A.Ju., Fisenko M.A

2.2.Микрочастицы и их свойства

2.1.В опытах Резерфорда атомы золота (19779 Au) бомбардировались

-частицами с энергией порядка 10 МэВ. При этом было обнаружено, что незначительная часть -частиц испытывает рассеяние под достаточно большими углами. Оцените расстояние наибольшего сближения -частицы с центром (ядром) атома золота, полагая сосредоточенными в нем практически всю массу и весь положительный заряд атома, если -частица рассеивается под углом 180 .

2.2. Плотность ядерного вещества почти одинакова у всех атомных ядер. Оцените эту плотность на примере ядра атома водорода. Радиус ядра атома водорода приблизительно равен 1,3 10–15 м.

2.3.Пользуясь релятивистской формулой связи полной энергии с массой (E = mc2) и считая энергию электрона электростатической, оцените классический радиус электрона.

2.4.Оцените диаметр атома ртути, если ее плотность равна 13,6 г/см3. Молярная масса ртути равна 0,201 кг/моль.

2.5.Оцените средний диаметр молекул воздуха, если известно, что

плотность жидкого воздуха при –192 С составляет 960 кг/м3. Молярную массу воздуха считать равной 0,029 кг/моль.

2.6.Определите расстояние междуближайшими друг к другуионами Na

иCl в кристалле каменной соли. В кубической решетке NaCl ионынатриячередуются с ионами хлора. Плотность каменной соли равна 2,17 г/см3. Молярная масса соли 0,0584 кг/моль.

2.7.При нормальных условиях масса газа в 6,319 г занимает объем 2,00 дм3. Найдите массу молекулы этого газа? Определите, что это за газ?

2.8.В теории Бора атом водорода рассматривался на основе следующей модели. Вокруг ядра с положительным зарядом e вращается электрон с зарядом – e. Движением ядра в атоме можно пренебречь, так как масса электрона в 1836 раз меньше чем уядра. Размером ядра в сравнении с радиусом орбиты электрона также можно пренебречь. В невозбужденном состоянии атома, то есть в состоянии с наименьшей энергией, радиус круговой орбиты электрона

в теории Бора составляет rB = 0,053 нм. Определите энергию невозбужденного атома водорода, частотуобращения электрона по орбите.

2.9.Оцените среднюю плотность вещества в атоме водорода, полагая радиус атома равным боровскому радиусу. Сравните эту величину с плотностью воды и плотностью ядерной материи.

2.10.Нерелятивистская частица массы m имеет энергию E и заключена в объеме V. Найдите занимаемый ею фазовый объем Г и число W квантовых состояний с энергиями меньшими E. Как изменится W, если учесть два состояния спина фермиона?

2.11.Вырожденный идеальный газ из N фермионов массы m находится в объеме V при температуре T = 0. Учитывая, что в одном квантовом состоянии может находиться не более одного фермиона, найдите энергию

91

Ферми (максимальную энергию частицы) для этого газа. Найдите также кинетическую энергию всего газа и среднюю энергию одной частицы.

2.12. В ядерной модели ферми-газа атомное ядро рассматривается как система, состоящая из идеального ферми-газа нейтронов и ферми-газа протонов, которые удерживаются ядерными силами в сферической потенциальной яме. Определите кинетическую энергию нейтронов и протонов ядра с массовым числом A и зарядом Z. Оцените глубинупотенциальной ямы для нейтронов и протонов. Удельная энергия связи ядра равна 8 МэВ/нуклон, а радиус ядра равен 1,3 10–15 A1/3 м.

2.13. Оцените величину коэффициента поверхностного натяжения для ядерного вещества, рассматривая его как жидкость. Удельная энергия свя-

зи ядра равна приблизительно 8 МэВ/нуклон, а радиус ядра с массовым числом A равен 1,3 10–15 A1/3 м.

2.14.Оцените радиус R атома с порядковым номером Z, предполагая его шаром с точечным ядром в центре, окруженным вырожденным электронным газом при 0 К, плотность которого принять одинаковой во всем объеме. Воспользуйтесь условием минимума энергии для равновесного состояния системы.

2.15.Используя результаты, полученные в предыдущей задаче, оцените сжимаемость атома в рассмотренной модели.

2.16.При сгорании некоторой массы неизвестного углеводорода образовалось 7,7 г углекислого газа и 3,6 г воды. Определить молекулярную формулу углеводорода и его массу.

2.17.При гидрировании твердых фуллеренов (C60, C70) теоретически возможно получить максимально насыщенные водородом фуллерены

(C60H60, C70H70). Какова их удельная емкость по водороду?

2.3.Макросистемы

2.3.1.Вещество и его превращения

3.1.1.Найдите объем, приходящийся на одну молекулу воздуха

(удельный объем), и оцените среднее расстояние между молекулами при нормальных условиях (Pн = 105 Па; Tн = 273 К).

3.1.2.Во сколько раз уменьшится плотность воды в результате ее превращения в пар (испарения) при нормальных условиях?

3.1.3.Определите по справочным данным наибольшую и наименьшую плотности веществ в конденсированном состоянии при нормальном давлении. Сравните эти значения с плотностью атома водорода, с плотностью ядерного вещества и с планковской плотностью.

3.1.4.Оцените энергию водородных связей молекул воды, если ее

удельная теплота парообразования составляет 2,3 МДж/кг. На одну молекулу воды в кристаллах льда приходится две водородные связи O…H. Считать, что каждая молекула воды связана с четырьмя другими.

92

3.1.5. Пользуясь результатами предыдущей задачи, оцените коэффициент поверхностного натяжения воды. Диаметр молекулы воды принять равным 3 10–10 м.

3.1.6.Оцените долю разрываемых водородных связей при плавлении льда, если удельная теплота плавления льда равна 0,33 МДж/кг, а удельная теплота парообразования воды при температуре кипения 2,3 МДж/кг.

3.1.7.Оцените энергетический выход для процесса горения углеводородного топлива (бензина, керосина и др.), формулу которых можно пред-

ставить в виде n (CH2). Удельная теплота сгорания составляет приблизительно 43 МДж/кг.

3.1.8.При ферментации глюкозы получается диоксид углерода (угле-

кислый газ) и вода: C6H12O6 6CO2 6H2O. Какое количество глюкозы прореагировало, если образовалось 20,0 дм3 углекислого газа при нормальных условиях?

2.3.2.Энтропия и информация

3.2.1.Газ, состоящий из N частиц, располагается в одной из половин сосуда, разделенного перегородкой на равные объемы. Как изменится число состояний газа после того, как перегородку убрали? Как изменится энтропия газа? Как изменится информация о местоположении частиц газа?

3.2.2.При изотермическом расширении при температуре T = 300 К объем одного моля идеального газа увеличился в два раза, что соответствует увеличению хаотичности и уменьшению определенности в положениях частиц. Определите уменьшение информации о системе. Какое количество теплоты было сообщено газу?

3.2.3.Определите потерю информации: а) в процессе таяния одного

грамма льдапри tпл = 0 С; б) в процессе превращенияв пар одногограмма воды при tкип = 100 С; в) в процессе таяния и в процессе парообразования в расчете на одну молекулу. Удельная теплота плавления льда = 3,3 105 Дж/кг, удельнаятеплотапарообразованияводы r= 2,3 106 Дж/кг.

3.2.4.В изолированной от внешней среды системе, состоящей из двух металлических тел одинаковой теплоемкости C, разделенных перегородкой с малой теплопроводностью, устанавливается тепловое равновесие. Начальные температуры тел равны T1 и T2. Определите уменьшение информации о системе (увеличение энтропии) в процессе установления равновесия, то есть в процессе ее хаотизации.

3.2.5.В условиях предыдущей задачи найдите производство энтропииSi в каждом из тел и энтропию Se, переданную от одного тела к другому.

3.2.6.Тело человека содержит примерно 1013 клеток. Допустим, среди них нет одинаковых и их нельзя поменять местами без нарушения функционирования организма, то есть относительное расположение клеток в

93

теле человека однозначно. Какое количество информации необходимо для построения такой структуры? Насколько понизится энтропия при «построении» организма человека из беспорядочного набора клеток?

3.2.7.Известно, что развитие технологий в настоящее время сопровождается резким увеличением плотности записи информации на различных носителях (Несколько тысяч лет назад человечество обходилось глиняными табличками и папирусами). Как бы Вы оценили теоретический предел возможной плотности записи информации?

3.2.8.Молекула ДНК в одной из своих цепей содержит фрагмент с последовательностью нуклеотидов: Т А Ц Г Г А А Ц Т … Достройте соответствующий фрагмент второй цепи, используя принцип комплементарности (А-Т, Г-Ц). Какой объеминформации (в битах) содержит данный фрагмент?

3.2.9.В молекулах ДНК нуклеотиды объединены в триплеты (кодоны). Существует 64 различных триплетов. Оцените объем информации во фрагменте молекуле ДНК, содержащей тысячунуклеотидов.

2.4.Планеты, звезды, галактики и Вселенная

4.1.Определите массу Земли, если ее радиус равен 6400 км, а ускорение свободного падения у ее поверхности равно 9,8 м/с2. Гравитационную

постоянную считать равной 6,67 10–11 Н м2/кг2. Оцените среднюю плотность земного вещества.

4.2.Оцените средние значения концентрации нейтронов и протонов в Земле, считая их приблизительно равными. Масса Земли M = 5,96 1024 кг,

аее радиус R = 6370 км.

4.3.Найдите кинетическую энергию орбитального движения Земли вокруг Солнца, а также энергию вращательного движения Земли вокруг своей оси. Определите энергию гравитационного взаимодействия Земли и Солнца. Сравните полученные величины.

4.4.Определите гравитационную энергию Земли, считая ее однородным шаром с плотностью 5,5 г/см3. Сравните эту величину с гравитационной энергии ее взаимодействия с Солнцем,вычисленной в предыдущей задаче.

4.5.Найдите отношение моментов импульса суточного вращения Земли и ее орбитального движения.

4.6.Определите массу Солнца, если радиус орбиты Земли равен R = 1,5 1011 м (астрономическая единица). Оцените среднюю плотность солнечного вещества. Радиус Солнца равен r = 6,96 108 м.

4.7.Оценить температуру в центре Солнца, где давление P ~ 1016 Па, а плотность = 158 г/см3.

4.8.Оценить температуру водородной плазмы, при которой возможно протекание термоядерной реакции синтеза.

4.9.Какие размеры будет иметь нейтронная звезда, имеющая плот-

ность близкую к плотности ядерного вещества 1017 кг/м3, если ее масса равна массе Солнца M 2 1030 кг?

94

4.10.Оценить равновесный радиус R нейтронной звезды массой М, предполагая ее шаром, состоящим из вырожденного нерелятивистского нейтронного газа при 0 К. Плотность вещества полагать одинаковой во всем объеме звезды. Воспользуйтесь условием минимума энергии системы

вравновесном состоянии.

4.11.В условиях предыдущей задачи изучите зависимость радиуса и энергии равновесной нейтронной звезды от ее массы. При какой массе радиус такой звезды будет равен гравитационному радиусу Шварцшильда? Во сколько раз она больше массы Солнца?

4.12.Оцените давление в центре нейтронной звезды, принимая ее массу равной массе Солнца и считая ее плотность одинаковой во всем объеме. Воспользуйтесь результатами решения задачи 4.10.

4.13.Воспользовавшись формулой для энергии равновесной нейтронной звезды, полученной при решении задачи 4.10, оцените сжимаемость вещества нейтронной звезды.

4.14.Оцените равновесный радиус R белого карлика (звезды) массой М, предполагая ее шаром, состоящим из вырожденного нерелятивистского электронного и протонного газов при 0 К. Плотность вещества полагать одинаковой во всем объеме звезды. Воспользуйтесь условием минимума энергии системы в равновесном состоянии.

4.15.Оцените отношение величины гравитационной энергии к полной релятивистской энергии для Солнца и для нейтронной звезды с массой равной массе Солнца.

4.16.Оцените величину второй космической скорости (скорости удаления) на Солнце, на белом карлике и на нейтронной звезде с массами равными массе Солнца. Сравните их.

4.17.Оцените массу Галактики (галактики Млечного Пути), если известно, что скорость движения Солнца вокруг центра Галактики составляет примерно 250 км/с (период обращения около 200 млн. лет), а расстояние от центра Галактики до Солнца равно примерно 10 кпк (килопарсек). Галактика относится к спиральным галактикам, у которых основная часть массы сосредоточена в центральной области.

4.18.Используя результаты предыдущей задачи, оцените среднюю плотность вещества Галактики. Центральную область Галактики можно считать сферической.

4.19.Оцените гравитационную массу Вселенной, считая ее радиус равным 20 млрд. световых лет. Считать, что полная энергия Вселенной величина примерно одного порядка, что и модуль гравитационной энергии.

4.20.Считая, что масса Вселенной приходится в основном на прото-

ны, оцените число протонов во Вселенной. Масса протона равна mp = 1,66 10–27 кг.

4.21. Оцените среднюю плотность вещества во Вселенной. Сколько протонов приходится в среднем на один кубический метр во Вселенной?

95

жду 50-й и 60-й параллелями; б) между 30-й и 40-й параллелями. Сравните полученные величины.

5.1.4. Определите, на сколько процентов меньше падает световой энергии в единицу времени в полдень зимнего солнцестояния (22 декабря), чем в полдень летнего солнцестояния (22 июня) на широте . Угол между земной осью и нормалью плоскости земной орбиты равен 23 27 . Расчеты произвести для широт: Астрахани ( = 46 ), Москвы ( = 56 ) и С. Петер-

бурга ( = 60 ).

5.1.5.Оцените общую массу всей атмосферы Земли. Сколько всего кислорода содержится в атмосфере.

5.1.6.Какая часть атмосферного кислорода Земли израсходуется при сжигании двух миллиардов тонн угля? (Эта цифра близка к данным о мировой добыче угля за год.)

5.1.7.Оцените массу всей воды, содержащейся в гидросфере Земли. Каким образом можно осуществить такую оценку?

5.1.8.Предложите методы оценки массы водяных паров, содержащихся в атмосфере.

5.1.9.Оцените ежесекундную кинетическую энергию, которой обла-

дает у поверхности Земли воздушный поток скоростью 5 м/с и сечением 100 м2. Какое количество электроэнергии можно получить за сутки, если в электрическую энергию преобразовать 10 % кинетической энергии потока?

5.1.10.Оцените суточный поток и кинетическую энергию воды в реке

сплощадью поперечного сечения 500 м2 при средней скорости течения равной 1 м/с.

2.5.2.Биосфера Земли. Живые системы

5.2.1.Оцените общее количество связанного углерода во всей биомассе живых организмов на Земле.

5.2.2.Оцените, какое количество энергии могло бы выделиться при сгорании сухого органического вещества, содержащегося во всей биосфере планеты.

5.2.3.Оцените количество углекислого газа и углерода в атмосфере, если доля углекислого газа в атмосфере 0,03 %. Сравните количество углерода в атмосфере с количеством связанного углерода в биосфере Земли.

5.2.4.Оцените количество связанного кислорода в общей биомассе Земли и сравните с массой свободного кислорода в атмосфере. Можно ли считать,что весь атмосферный кислород произведен живыми организмами?

5.2.5.Растение в солнечный день поглощает около 5 г углекислого газа на каждый квадратный метр своей листовой поверхности. Рассчитайте,

сколько приблизительно граммов связанного углерода накопит за день подсолнечник, листовая поверхность которого 1,8 м2. Какое количество солнечной энергии при этом используется растением?

5.2.6.Каким образом Вы оценили бы количество углекислого газа, выдыхаемого в среднем взрослым человеком ежесуточно?

97

5.2.7. Сравните удельные (в расчете на одну атомную единицу массы) «энергоёмкости» молекулы АТФ и пороха. Удельная теплота сгорания пороха равна 3 106 Дж/кг. Оцените удельную массовую энергоёмкость для гальванических элементов, используемых в быту.

5.2.8. С точки зрения теории самоорганизации существование на Земле упорядоченной структуры в виде биосферы возможно лишь при отводе в космическое пространство большего количества энтропии, чем приходит с солнечным излучением и вырабатывается в биосфере в результате диссипативных процессов. Можно сказать, что самоорганизация поддерживается за счет поглощения отрицательной энтропии, называемой по предложению Бриллюэна негэнтропией. Поглощая солнечное излучение, растительный покров Земли понижает эффективную температуру уходящего излучения, увеличивая поток отводимой энтропии. Это увеличивает энтропию Вселенной, но обеспечивает поддержание стационарного состояния на Земле. В этом проявляется общее свойство жизни как упорядоченной подсистемы – она ускоряет рост энтропии системы в целом (во Вселенной), но создает упорядоченность локально (на Земле). Постоянство негэнтропийного рациона Земли лежит,по-видимому, в основе закона Вернадского о сохранении биомассы на Земле. Оцените годовой негэнтропийный рацион Земли?

2.6. Человек и человечество

По данным 2006 г. добыча сырой нефти в России составляла в год приблизительно 470 млн т, а выработка электроэнергии – около 1 трлн. кВт ч. Количество крупного рогатого скота на 2006 г. оценивается на Земле в 1,3 млрд. голов.

6.1.Современное население Земли составляет примерно 6,3 млрд. человек. Оцените, какую часть от биомассы планеты составляет суммарная масса всех людей, живущих на Земле. Соотнесите это число с той ролью, которую играет человечество в живой природе.

6.2.Оцените суммарную биомассу растений, используемых человеком

всельском и лесном хозяйствах. Какую долю от растительной биомассы планеты составляет эта величина?

6.3.Оцените общее поголовье и биомассу домашних животных на Земле. Оцените долю домашних животных в общей биомассе животного мира планеты?

6.4.Оцените общее годовое потребление человечеством энергии, содержащейся в пище, если в среднем человеку необходимо в сутки 45 ккал энергии на 1 кг веса. Сравните эту энергию с вырабатываемой на Земле электроэнергией за тот же период.

6.5.Оцените количество атомов углерода (C), кислорода (O) и водорода (H) в организме человека, вес которого составляет 80 кг.

6.6.Предложите способ оценки и оцените время, за которое обновятся на 20 % атомы, из которых состоит тело взрослого человека?

98

6.7.Энергетическая ценность 100 г пшеничного хлеба 250 ккал. Каково отношение высвобождаемой при потреблении такого количества хлеба энергии к энергии покоя всех его электронов.

6.8.Какое количество тепловой энергии можно получить при сжигании нефти, газа и угля, добываемых на Земле за год? Какое количество углекислого газа образуется при их сжигании?

2.7. Нелинейные системы. Синергетика и самоорганизация

7.1.Решите логистическое уравнение Ферхюльста x x x2 , которое описывает эволюцию популяции одного вида в условиях ограниченности пищевых ресурсов. Исследуйте, как зависит решение этого уравнения от начальных условий x x0 .

7.2.Исследуйте решения нелинейного уравнения x x x2 c при различных значениях параметра c.

7.3.Решите численно на компьютере уравнение линейного осциллятора (рекомендуется использовать математические пакетыMathcad или Mathlab):

x 2 x 02x 0,

нелинейное уравнение генератора Ван-дер-Поля:

x (1 x2)x 02x 0,

и нелинейное уравнение генератора Рэлея:

x (1 x2)x 02x 0.

Постройте графики x(t) при различных значениях параметров и . Постройте фазовые портреты систем.

7.4. Исследуйте динамику населенности системы «хищник – жертва» на основе уравнений Вольтерра-Лотки:

n n nm, m mn m,

где n – число жертв, а m – число хищников. Постройте фазовый портрет динамики системы при различных значениях коэффициентов уравнений.

99

3.Примерные темы рефератов

1.Научный метод познания природы.

2.Естественнонаучные знания в древнем мире.

3.Астрономия от Коперника до Ньютона.

4.Современные тенденции развития естествознания.

5.Научные революции в XX в.

6.Основные структуры материального мира.

7.Фундаментальные взаимодействия в природе.

8.Пространство и время в современном естествознании.

9.Симметрия и законы сохранения.

10.Релятивистские концепции в физике.

11.Корпускулярно-волновой дуализм.

12.Законы движения в квантовой физике.

13.Принцип причинности. Детерминизм и вероятность.

14.Принцип наименьшего действия и динамические законы.

15.Статистические законы. Хаос и порядок.

16.Необратимость времени и закон возрастания энтропии.

17.Вероятность и информация.

18.Роль информации в биологических системах.

19.Информационные системы в обществе.

20.Вещество в природе и его взаимопревращения.

21.Периодическая система элементов.

22.Физические и химические свойства воды и ее роль в природе.

23.Горячая модель Вселенной.

24.Гипотезы о возникновении и эволюции звезд.

25.Термоядерные реакции как источник энергии звезд.

26.Роль гравитации во Вселенной.

27.Звездные системы. Галактики.

28.Нейтронные звезды.

29.Черные дыры.

30.Вещество и антивещество во Вселенной.

31.Земля, особенности ее строения.

32.Атмосфера Земли.

33.Гидросфера Земли.

34.Человек и биосфера.

35.Синергетика и современное естествознание.

Рефераты должны быть выполнены в объеме 12–18 страниц печатного текста формата А4. Они должны содержать титульный лист, план или оглавление, список использованных источников. Студенты могут предложить свои формулировки тем рефератов.

100