- •Задание 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
- •Приложение 1. Варианты задания
- •Приложение 2. Методические указания
- •Литература.
- •Задание 2. Решение трансцендентных уравнений.
- •Приложение 1. Варианты задания.
- •Приложение 2. Методические указания
- •Литература.
- •Задание 3
- •Приложение 2. Методические указания образец выполнения задания
- •Продолжение таблицы 3
- •Литература
- •Задание 4. Вычисление определенных интегралов.
- •Приложение 1. Варианты задания.
- •Приложение 2. Методические указания
- •Литература.
- •Задание 5. Интерполирование и экстраполирование функций.
- •Литература.
- •Задание 6.
- •Приложение 1. Варианты задания.
- •Приложение 2. Методические указания
- •Литература
- •Задание 7.
- •Постановка задачи
- •1) Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,001.
- •Приложение 1. Варианты задания.
- •Приложение 2. Методические указания
- •Образец выполнения задания
- •Литература
- •Задание 8
- •Порядок выполнения работы
- •Литература
Литература
Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. – М.: Высш.шк.,2005.
Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций. – СПб.:БХВ-Петербург, 2004.
Гусак А.А. Справочник по высшей математике. – Мн.: ТетраСистемс, 2004.
Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учебное пособие для вузов/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М.,2005.
Кетков Ю., Кетков А., Шульц М. MATLAB 7 программирование, численные методы. БХВ-Петербург, 2005.
Задание 8
СИМПЛЕКС – МЕТОД
ПОИСКА ОПТИМУМА
Цель задания – изучение и освоение экспериментального симплексного метода поиска технического оптимума объекта.
Задание: в процессе работы должна быть составлена программа, реализующая основные принципы симплексного метода и позволяющая найти оптимальные режимы объекта, то есть значения факторов, определяющие экстремизм выходной характеристики. Экспериментальный отклик объекта имитируется специальной подпрограммой по заданной модели.
Теоретическая часть
Симплексом называется выпуклая фигура в к-мерном пространстве, содержащая к+1 вершину. Симплекс называется правильным, если все его ребра равны. В нуль-мерном пространстве симплекс – точка. В одномерном пространстве симплекс отрезок прямой, в двумерном пространстве – треугольник, в трехмерном – тетраэдр. Суть симплексного метода заключается в следующем: в заданном пространстве к-факторов (Х1, Х2,…,Хк) задаются координаты к+1 вершины начального симплекса. При этом сам начальный симплекс может быть ориентирован в пространстве произвольно, произвольным является и его местонахождение в пространстве. Вершины начального симплекса можно рассматривать как план эксперимента. Координаты вершин подставляются в качестве входных данных подставляются в качестве входных данных в программу, реализующую модель объекта, и определяются значения входной характеристики в вершинах симплекса. Полученные (к+1) значений выходной характеристикисравниваются между собой и выбирается вершина с наихудшим значением. Эта вершина отображается симметрично относительно центра противоположной грани. Таким образом получается новая вершина, образующая с предыдущими (кроме наихудшей), новый симплекс. По координатам отображенной вершины нового симплекса определяется значение выходной характеристикии сравнивается со всеми предыдущими значениями, кроме «наихудшего». Затем выбирается «наихудшая» вершина, она вновь зеркально отображается, вновь сравниваются значенияв вершинах и так далее цикл повторяется.
В итоге происходит движение симплекса к экстремуму функции . Такое движение в среднем оказывается близким к движению в направлении градиента функции.
При движении в области экстремальных значений симплекс начинает вращаться около одной из вершин. Это является признаком того, что координаты данной вершины и есть искомые оптимальные значения факторов.
Если в процессе поиска оптимума окажется, что отраженная «наихудшая» вершина в новом симплексе также оказывается «наихудшей», то следует отразить вторую по наихудшести вершину.
Так следует поступать и при попадании отраженной вершины за границы области из изменения факторов.
Пусть имеется К факторов и соответствующий им начальный симплекс в общем случае соответствует следующему симплексному плану.
-
Х1
Х2
Х3
…….
Хк
1
Х11
Х21
Х31
…….
Хк1
2
Х21
Х22
Х32
…….
Хк2
3
Х13
Х23
Х33
…….
Хк3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Х1
Х2
Х3
Хк
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
к+1
Х1к+1
Х2к+1
Х3к+1
…….
Хкк+1
В этом плане каждая строчка представляет собой совокупность координат, соответствующих определенной вершине симплекса.
Допустим, что в результате сравнения значений выходной характеристики в различных вершинах симплекса наихудшей оказалась i-вершина. Следовательно, её надо отобразить. При этом мы должны получить (к+2) вершину, то есть значения факторов соответствующих (к+2)-му опыту. Эти значения получаются по формулу:
xji – значение j-го фактора, соответствующего наихудшей вершине, xjk+2 – значение j-го фактора в отраженной вершине.
Иными словами, чтобы найти значение фактора xj в отраженной вершине, нужно величину (2/к) умножить на сумму всех значений фактора х во всех к+1 вершинах (опытах) за вычетом фактора х в наихудшей точке.
Это правило применяется и при нахождении значений факторов во всех последующих опытах.
Эксперименты на реальном объекте имитируются в лабораторной работе с помощью имитационной модели.