Приложение 2. Методические указания
________________________________________________________________
Образец выполнения задания
1) tg (0,55x + 0,1)=x 2 ; 2) x 3 - 0,2x 2 + 0,5x + 1,5=0.
________________________________________________________________
1) Отделим корень графически. Построим графики функций
y1 = tg (0,55x + 0,1) и y2 = x 2 (рис.3), составив таблицы значений этих функций:
x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
y2 = x 2 0 0,04 0,16 0,36 0,64 1
0,55x 0 0,11 0,22 0,33 0,44 0,55
y1 0,1 0,21 0,33 0,46 0,60 0,76
Y
1 _
0,8 _ Y2= x 2
0,6
_
Y1=
tg
(0,55x + 0,1)
0,4 _
0,2 _
0
| | | | |
0,2 0,4 0,6 X0 0,8 1 X
Рис.3
Таким образом положительный корень уравнения заключён в
промежутке [0,6 ; 0,8 ]
Чтобы уточнить корень методом хорд, определим знаки функции
f (x) = tg (0,55x + 0,1) - x 2 на концах промежутка [0,6 ; 0,8 ] и знак её второй производной в этом промежутке:
f (0,6) = tg 0,43 - 0,36 = 0,4586 - 0,36 = 0,0986 ;
f (0,8) = tg 0,54 - 0,64 = 0,5994 - 0,64 = - 0,0406 ;
0,55
f ' (x) = _________________________ - 2x ;
cos 2 (0,55x + 0,1)
f '' (x) = 0,55 . 2cos 3 (0,55x +0,1) sin (0,55x +0,1) . 0,55 - 2 =
0,605 sin (0,55x +0,1)
= ______________________________ - 2 < 0 при x [0,6 ; 0,8 ] .
cos 3 (0,55x +0,1)
Для вычисления применяем формулу:
f (x n )
x n + 1 = x n - __________________ . (b - x n ) , где b = 0,8; x0 = 0,6.
f (b) - f (x n )
Вычисления удобно располагать в таблице:
n x n 0,8 - x n 0,55 x n +0,1 tg (0,55 x n +0,1)
0 0,6 0,2 0,43 0,4586
1 0,742 0,058 0,5081 0,5570
0,750 0,50 0,5125 0,5627
3 0,7052 0,0498 0,5126 0,5628
n x n 2 f (x n ) f (0,8) - f (x n ) f (x n )
h = ___________________ . (b - x n )
f (0,8) - f (x n )
0 0,36 0,0986 -0,1392 -0,142
1 0,5506 0,0064 -0,0470 -0,008
2 0,5625 0,0002 -0,0408 -0,0002
3 0,5628 0
Ответ: x = 0,750 .
2) Отделим корни аналитически. Находим
f (x) = x 3 - 0,2x 2 + 0,5x + 1,5 ;
f ' (x) = 3x 2 - 0,4x + 0,5 ;
D = 0,16 - 6 < 0 .
Составим таблицу знаков функции f (x):
x - -1 0 +
sign f (x) - - + +
Уравнение имеет один действительный корень, лежащий
в промежутке [ -1, 0 ].
Чтобы уточнить корень, находим вторую производную f '' (x) = 6x - 0,4 ;
в промежутке [ -1, 0 ] выполняется неравенство f '' (x) < 0 .
Для вычислений применяем формулу:
f (a )
x n + 1 = a - __________________ . (x n - a ) ,
f (x n ) - f (a )
где a = -1; x0 = 0; f (a) = f (-1) = - 1 - 0,2 - 0,5 +1,5= - 0,2 .
Вычисления располагаем в таблице:
n x n x n 3 x n 2 0,2 x n 2 0,5 x n
0 0 0 0 0 0
1 -0,882 -0,6861 0,7779 0,1556 -0,441
2 -0,943 -0,8386 0,8892 0,1778 -0,4715
-0,946 -0,8466 0,8949 0,1790 -0,473
-0,946
n f (x n ) f (x n ) +0,2 x n - a f (a) (x n - a )
___________________
f (x n ) – f (a)
0 1,5 1,7 1 -0,118
1 0,2173 0,4173 0,118 -0,057
2 0,0121 0,2121 0,057 -0,054
3 0,0014 0,2014 0,054 -0,054
Ответ: x~ -0,946 .